1、选修1-1第二章综合素质检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1顶点在原点，且过点(4,4)的抛物线的标准方程是()Ay24xBx24yCy24x或x24y Dy24x或x24y答案C解析抛物线过点(4,4)，设其方程为：y22px或x22py(p0)，将(4,4)代入可得p2，抛物线方程为y24x或x24y.2已知两定点F1(5,0)，F2(5,0)，曲线上的点P到F1，F2的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为()A1 B1C1 D1答案A解析|PF1|PF2|610|F1F2|，曲线为
2、双曲线，且a3，c5，b4，方程为1.33m5是方程1表示的图形为双曲线的()A充分但非必要条件B必要但非充分条件C充分必要条件D既非充分又非必要条件答案A解析当3m5时，m50，方程1表示双曲线若方程1表示双曲线，则(m5)(m2m6)0，m2或3m2，m2n2b0)，由题意得，|AF1|F1F2|2c24，c2，|AF1|AF2|2，|AF2|2，2a|AF1|AF2|6，a3，e.10.过双曲线C：1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于A若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A、O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为()A1 B1C1 D1答案A解析如图设双曲线的右焦点F，右
3、顶点B，设渐近线OA方程为yx，由题意知，以F为圆心，4为半径的圆过点O，A，|FA|FO|r4.ABx轴，A为AB与渐近线yx的交点，可求得A点坐标为A(a，b)在RtABO中，|OA|2c|OF|4，OAF为等边三角形且边长为4，B为OF的中点，从而解得|OB|a2，|AB|b2，双曲线的方程为1，故选A11F是抛物线y22x的焦点，P是抛物线上任一点，A(3,1)是定点，则|PF|PA|的最小值是()A2 BC3 D答案B解析如图，|PF|PA|PB|PA|，显然当A、B、P共线时，|PF|PA|取到最小值3().12. 若椭圆1(ab0)和圆x2y2(c)2(c为椭圆的半焦距)有四个不
4、同的交点，则椭圆的离心率e的取值范围是()A(，) B(，)C(，) D(0，)答案A解析要保证椭圆与圆有4个交点，只要保证bcb2a2c2,5c2a2，即e2，故e.由得4(a2c22ac)b2a2c2，即3a28ac5c20.两边同除以a2，得5e28e30，即(e1)(5e3)0，解得e1(舍去)或e，则e0，e.三、解答题(本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本题满分10分)求下列双曲线的标准方程(1)与双曲线1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线；(2)以椭圆3x213y239的焦点为焦点，以直线y为渐近线的双曲线解析(1)双曲线1的焦点为(2，0
5、)，设所求双曲线方程为：1(20a20)又点(3，2)在双曲线上，1，解得a212或30(舍去)，所求双曲线方程为1.(2)椭圆3x213y239可化为1，其焦点坐标为(，0)，所求双曲线的焦点为(，0)，设双曲线方程为：1(a0，b0)双曲线的渐近线为yx，a28，b22，即所求的双曲线方程为：1.18(本题满分12分)方程x2siny2cos1表示焦点在y轴上的椭圆，求的取值范围分析根据焦点在y轴上的椭圆的标准方程的特点，先将方程化为标准式，得到关于的关系式，再求的取值范围解析x2siny2cos1，1.又此方程表示焦点在y轴上的椭圆，即，2kb0)的左焦点为F(c,0)，离心率为，点M在
6、椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2y2截得的线段的长为c，|FM|.(1)求直线FM的斜率；(2)求椭圆的方程解析(1)由已知有，又由a2b2c2，可得a23c2，b22c2.设直线FM的斜率为k(k0)，则直线FM的方程为yk(xc)，由已知，有()2()2()2，解得k.(2)由(1)得椭圆方程为1，直线FM的方程为y(xc)，两个方程联立，消去y，整理得3x22cx5c20，解得xc，或xc.因为点M在第一象限，可得M的坐标为(c，c)由|FM|，解得c1，所以椭圆的方程为1.21(本题满分12分)已知椭圆4x2y21及直线yxm.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(
7、2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程解析(1)由得5x22mxm210.因为直线与椭圆有公共点，所以4m220(m21)0，解得m.(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由(1)知，5x22mxm210.由根与系数的关系，得x1x2，x1x2(m21)所以|AB|.所以当m0时，直线被椭圆截得的弦最长，此时所求的直线方程为yx.22(本题满分12分)(2015陕西文)如图，椭圆E：1(ab0)经过点A(0，1)，且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.解析(1)由题设知，b1，结合a2b2c2，解得a.所以椭圆的方程为y21.(2)由题设知，直线PQ的方程为yk(x1)1(k2)，代入y21，得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0.由已知0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20，则x1x2，x1x2从而直线AP，AQ的斜率之和kAPkAQ2k(2k)()2k(2k)2k(2k)2k2(k1)2.所以直线AP、AQ斜率之和为定值2.
