1、第十章 平面解析几何 第二节 两条直线的位置关系最新考纲考情索引核心素养1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离.2016全国卷，T62016四川卷，T102015广东卷，T41.直观想象2.数学运算1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线 l1、l2，若其斜率分别为 k1，k2，则有 l1l2_当直线 l1、l2 不重合且斜率都不存在时，l1l2.(2)两条直线垂直如果两条直线 l1、l2 的斜率存在，设为 k1，k2，则有 l1l2_k1k2k1
2、k21当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为 0 时，l1l2.2两条直线的交点的求法直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2 为常数)，则 l1 与 l2 的交点坐标就是方程组A1xB1yC10，A2xB2yC20的解3三种距离公式P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|_点 P0(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离d_平行线 AxByC10 与AxByC20 间的距离d_（x2x1）2（y2y1）2|Ax0By0C|A2B2|C1C2|A2B21三种常见的直线系方程(1)与直线 AxByC0 平
3、行的直线系方程是 AxBym0(mR 且 mC)(2)与直线 AxByC0 垂直的直线系方程是 BxAyn0(nR)(3)过直线 l1：A1xB1yC10 与 l2：A2xB2yC20 的交点的直线系方程为 A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括 l2.2在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑3在运用两平行直线间的距离公式 d|C1C2|A2B2时，一定要注意将两方程中 x，y 的系数分别化为相同1概念思辨判断下列说法的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)当直线 l1 和 l2 斜率都存在时，
4、一定有 k1k2l1l2.()(2)如果两条直线 l1 与 l2 垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(3)已知直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2 为常数)，若直线 l1l2，则 A1A2B1B20.()(4)点 P(x0，y0)到 直 线 y kx b 的 距 离 为|kx0b|1k2.()(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离()解析：(1)直线 l1，l2 可能重合(2)如果 l1l2，若 l1 的斜率 k10，则 l2 的斜率不存在答案：(1)(2)(3)(4)(5)2教材衍化(1)(人 A 必修 2P1
5、14B 组 T1)与直线 3x4y50 关于 x 轴对称的直线的方程为()A3x4y50 B3x4y50C3x4y50 D3x4y50(2)(人 A 必修 2P101A 组 T10 改编)已知 P(2，m)，Q(m，4)，且直线 PQ 垂直于直线 xy10，则 m_.解析：(1)设所求直线上任一点的坐标为(x，y)，关于x 轴的对称点的坐标为(x，y)且对称点在已知的直线上，所以所求直线方程为 3x4y50.故选 B.(2)由题意知 m42m1，所以 m42m，所以m1.答案：(1)B(2)13典题体验(1)(2016北京卷)圆(x1)2y22 的圆心到直线 yx3 的距离为()A1 B2 C
6、.2 D2 2(2)(2019郑州一模)如果直线 ax2y3a0 与直线3x(a1)ya7 平行，则 a_(3)(2019重庆调研二)直线 l1：xy60 与 l2：3x3y20 的距离为_解析：(1)圆心坐标为(1，0)，所以圆心到直线 yx3 即 xy30 的距离为|103|12（1）2 22 2.(2)因为直线 ax2y3a0 与直线 3x(a1)ya7 平行，即直线 ax2y3a0 与直线 3x(a1)y(a7)0 平行，所以a3 2a13a（a7），解得 a3.(3)直线 l1 可化为 3x3y180，则 l1l2，所以这两条直线间的距离 d|182|32328 23.答案：(1)C
7、(2)3(3)8 23考点 1 两条直线的平行与垂直(讲练互动)【例】一题多解已知直线 l1：ax2y60 和直线 l2：x(a1)ya210.(1)当 l1l2 时，求 a 的值；(2)当 l1l2 时，求 a 的值解：(1)法一 当 a1 时，l1：x2y60，l2：x0，l1 不平行于 l2；当 a0 时，l1：y3，l2：xy10，l1 不平行于 l2；当 a1 且 a0 时，两直线方程可化为 l1：ya2x3，l2：y 11ax(a1)，由 l1l2 可得a2 11a，3（a1），解得 a1.综上可知，a1.法二 由 l1l2 知A1B2A2B10，A1C2A2C10，即a（a1）1
8、20，a（a21）160 a2a20，a（a21）6a1.(2)法一 当 a1 时，l1：x2y60，l2：x0，l1与 l2 不垂直，故 a1 不符合；当 a1 时，l1：ya2x3，l2：y 11ax(a1)，由l1l2，得a2 11a1a23.法二 因为 l1l2，所以 A1A2B1B20，即 a2(a1)0，解得 a23.1由一般式判定两条直线平行、垂直的依据若直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1l2A1B2A2B10，且 A1C2A2C10(或 B1C2B2C10)；l1l2A1A2B1B20.2当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考
9、虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意 x，y 的系数不能同时为零这一隐含条件变式训练1(2019揭阳一模)若直线 mx2ym0 与直线3mx(m1)y70 平行，则 m 的值为()A7 B0 或 7C0 D4解析：因为直线 mx2ym0 与直线 3mx(m1)y70 平行，所以 m(m1)3m2，所以 m0 或 7，经检验，都符合题意故选 B.答案：B2(2019池州月考)已知 b0，直线(b21)xay20 与直线 xb2y10 互相垂直，则 ab 的最小值等于_解析：由题意知 a0.因为直线(b21)xay20与直线 xb2y10 互相垂直，所以b21a 1
10、b21，abb21bb1b(b0)，所以 ab2，当且仅当 b1时取等号，所以 ab 的最小值等于 2.答案：2考点 2 两条直线的交点与距离问题(自主演练)【例 1】一题多解已知 P 是直线 2x3y60上一点，O 为坐标原点，且点 A 的坐标为(1，1)，若|PO|PA|，则 P 点的坐标为_解析：法一 设 P(a，b)，则2a3b60，a2b2（a1）2（b1）2，解得 a3，b4.所以 P 点的坐标为(3，4)法二 线段 OA 的中垂线方程为 xy10，则2x3y60，xy10.解得x3，y4，则 P 点的坐标为(3，4)答案：(3，4)【例 2】一题多解(2019湖南东部十校联考)经
11、过两条直线 2x3y10 和 x3y40 的交点，并且垂直于直线 3x4y70 的直线方程为_解 析：法 一 由 方 程 组2x3y10，x3y40，解 得x53，y79，即交点为53，79.因为所求直线与直线 3x4y70 垂直，所以所求直线的斜率为 k43.由点斜式得所求直线方程为 y7943x53，即 4x3y90.法二 由垂直关系可设所求直线方程为 4x3ym0，由方程组2x3y10，x3y40可解得交点为53，79，代入 4x3ym0 得 m9，故所求直线方程为 4x3y90.法三 由题意可设所求直线的方程为(2x3y1)(x3y4)0，即(2)x(33)y140，又因为所求直线与直
12、线 3x4y70 垂直，所以 3(2)4(33)0，所以 2，代入式得所求直线方程为 4x3y90.答案：4x3y90【例 3】已知点 P(4，a)到直线 4x3y10 的距离不大于 3，则 a 的取值范围为_解 析：由 题 意 得，点P到 直 线 的 距 离 为|443a1|5|153a5|.所以|153a5|3，即|153a|15，解得 0a10，所以 a 的取值范围是0，10答案：0，101求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程；也可利用过交点的直线系方程，再求参数2利用距离公式应注意：点 P(x0，y0)到直线 xa的距离 d|x0a|，到
13、直线 yb 的距离 d|y0b|；两平行线间的距离公式要把两直线方程中 x，y 的系数化为相等考点 3 对称问题(多维探究)角度 点关于点对称【例 1】过点 P(0，1)作直线 l 使它被直线 l1：2xy80 和 l2：x3y100 截得的线段被点 P 平分，求直线 l 的方程解：设 l1 与 l 的交点为 A(a，82a)，则由题意知，点 A 关于点 P 的对称点 B(a，2a6)在 l2 上，将其代入 l2 的方程，得a3(2a6)100，解得 a4，则 A(4，0)，又 P(0，1)，所以由两点式可得直线 l 的方程为 x4y40.角度 点关于线对称【例 2】求点 A(1，1)关于直线
14、 y2x1 的对称点A的坐标解：设点 A(1，1)关于直线 y2x1 的对称点为 A(a，b)，则 AA的中点为1a2，1b2，所以1b2 21a2 1，b1a121，解得a35，b95，即点 A(1，1)关于直线 y2x1 的对称点为 A35，95.角度 线关于线对称【例 3】(2019广州模拟)直线 x2y10 关于直线 xy20 对称的直线方程是()Ax2y10 B2xy10C2xy30 Dx2y30解析：由题意得直线 x2y10 与直线 xy20 的交点坐标为(1，1)在直线 x2y10 上取点 A(1，0)，设 A 点关于直线 xy20 的对称点为 B(m，n)，则n0m1（1）1，
15、m12n220，解得m2，n3.故所求直线的方程为y131x121，即 2xy10.答案：B常见对称问题的求解方法1中心对称点 P(x，y)关于 Q(a，b)的对称点 P(x，y)满足x2ax，y2by.直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决2轴对称点 A(a，b)关于直线 AxByC0(B0)的对称点 A(m，n)，则有nbmaAB 1，Aam2Bbn2 C0.直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决变式训练1(2019河北五校联考)直线 axy3a10 恒过定点 M，则直线 2x3y60 关于 M 点对称的直线方程为()A2x3y120 B2x3y120C2x3y12
16、0 D2x3y1202(2019揭阳一模)若直线 l1：x3y20 与直线 l2：mxyb0 关于 x 轴对称，则 mb()A.13B1C13D11解析：由 axy3a10，可得 a(x3)(y1)0，令x30，y10，可得 x3，y1，所以 M(3，1)，M 不在直线 2x3y60 上，设直线 2x3y60关于 M 点对称的直线方程为 2x3yc0(c6)，则|636|49|63c|49，解得 c12 或 c6(舍去)，所以所求的直线方程为 2x3y120，故选 D.答案：D2解析：直线 l1：x3y20 关于 x 轴对称的直线为 x3y20.由题意知 m0.因为 mxyb0，即 x ymb
17、m0，且直线 l1 与 l2关于 x 轴对称，所以有1m3，bm2，解得m13，b23，则 mb1323 1.答案：B核心素养欣赏 数学运算妙用直线系求直线方程一、平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系【例 1】求与直线 3x4y10 平行且过点(1，2)的直线 l 的方程解：由题意，设所求直线方程为 3x4yc0(c1)，又因为直线过点(1，2)，所以 3142c0，解得 c11.因此，所求直线方程为 3x4y110.二、垂直直线系由于直线 A1xB1yC10 与 A2xB2yC20 垂直的充要条件为 A1A2B1
18、B20.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系可以考虑用直线系方程求解【例 2】求经过点 A(2，1)，且与直线 2xy100垂直的直线 l 的方程解：因为所求直线与直线 2xy100 垂直，所以设该直线方程为 x2yC10，又直线过点 A(2，1)，所以有 221C10，解得 C10，即所求直线方程为 x2y0.三、过直线交点的直线系【例 3】已知直线 l 经过直线 l1：2xy50 与l2：x2y0 的交点(1)若点 A(5，0)到 l 的距离为 3，求 l 的方程；(2)求点 A(5，0)到 l 的距离的最大值解：(1)易知 l 不可能为 l2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2xy5)(x2y)0，即(2)x(12)y50.因为点 A(5，0)到 l 的距离为 3，所以|1055|（2）2（12）23，则 22520，所以 2 或 12，所以 l 的方程为 x2 或 4x3y50.(2)由2xy50，x2y0，解得交点 P(2，1)，如图，过 P 作任一直线 l，设 d 为点 A 到 l 的距离，则 dPA(当 lPA 时等号成立)，所以 dmaxPA（52）2（01）2 10，即点 A(5，0)到 l 的距离的最大值为 10.
