1、第十章 平面解析几何 第七节 抛物线最新考纲考情索引核心素养1.了解抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)2.理解数形结合的思想3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用.2018全国卷，T202018全国卷，T202017全国卷，T202016全国卷，T202016全国卷，T51.直观想象2.数学运算1抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离_的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的_相等准线2抛物线的标准方程与几何性质y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)标准方程p的几何意义
2、：焦点F到准线l的距离图形顶点_性质 对称轴y0 x0O(0，0)焦点Fp2，0Fp2，0F0，p2F0，p2离心率_准线方程_xp2yp2_范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR性质开口方向向右向左向上向下xp2yp2e11焦半径：抛物线y22px(p0)上一点P(x0，y0)到焦点Fp2，0 的距离|PF|x0p2，也称为抛物线的焦半径2抛物线的焦点弦：设过抛物线y22px(p0)的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)y1y2p2，x1x2p24.(2)若直线AB的倾斜角为，则|AB|2psin2x1x2p.1概念思辨判断下列说法的正误(正确的打“”，错
3、误的打“”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线()(2)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是a4，0，准线方程是xa4.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形()(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x22ay(a0)的通径长为2a.()答案：(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(人A选修11P63T1改编)过点P(2，3)的抛物线的标准方程是()Ay292x或x243yBy292x或x243yCy292x或x243yDy292x或x243y(2)(人A选修11
4、P64A组T3改编)抛物线y28x上到其焦点F距离为5的点P有()A0个B1个C2个D4个解析：(1)设抛物线的标准方程为y2kx或x2my，代入点P(2，3)，解得k92，m43，所以y292x或x243y.故选A.(2)设P(x1，y1)，则|PF|x125，所以x13，y12 6.故满足条件的点P有两个故选C.答案：(1)A(2)C3典题体验(1)(2016全国卷)设F为抛物线C：y24x的焦点，曲线ykx(k0)与C交于点P，PFx轴，则k()A.12B1 C.32D2(2)(2019永州模拟)已知抛物线ypx2(其中p为常数)过点A(1，3)，则抛物线的焦点到准线的距离等于()A.9
5、2B.32C.118D.16(3)(2018北京卷)已知直线l过点(1，0)且垂直于x轴，若l被抛物线y24ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_解析：(1)因为y24x，所以F(1，0)又因为曲线y kx(k0)与C交于点P，PFx轴，所以P(1，2)将点P(1，2)的坐标代入ykx(k0)得k2.故选D.(2)由抛物线ypx2(其中p为常数)过点A(1，3)，可得p3，则抛物线的标准方程为x213y，则抛物线的焦点到准线的距离等于16.故选D.(3)由题知直线l的方程为x1，则直线与抛物线的交点为(1，2 a)(a0)又直线被抛物线截得的线段长为4，所以4 a4，即a1.所以抛物线的
6、焦点坐标为(1，0)答案：(1)D(2)D(3)(1，0)考点1 抛物线的定义及应用(讲练互动)【例1】(2019南昌模拟)设抛物线C：x2py2(p0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，B为l上一点，满足AF 12FB，则直线AB的斜率为()A1 B 2 C2 D2 2解析：如图所示，过点A作AD直线l，垂足为D，由抛物线的定义可知|AD|AF|，设|AF|m，因为AF 12FB，所以|FB|2|AF|2m，所以|BD|9m2m22 2m，设直线AB的倾斜角为，则|tan|BD|AD|2 2，所以直线AB的斜率ktan 2 2，故选D.答案：D【例2】(2017全国卷)已知F是抛物线C：y
7、28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|_解析：如图，过M、N分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M1、N1，设抛物线的准线与x轴的交点为F1，则|NN1|OF1|2，|FF1|4.因为M为FN的中点，所以|MM1|3，由抛物线的定义|FM|MM1|3，从而|FN|2|FM|6.答案：6与抛物线有关的最值问题的两个转化策略转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，利用“两点之间线段最短”使问题得解转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决变式训练1(2019汕头调研)已知
8、P是抛物线y24x上的一个动点，Q是圆(x3)2(y1)21上的一个动点，N(1，0)是一个定点，则|PQ|PN|的最小值为()A3 B4 C5 D.21解析：由抛物线方程y24x，可得抛物线的焦点F(1，0)，又N(1，0)，所以N与F重合过圆(x3)2(y1)21的圆心M作抛物线准线的垂线MH，交圆于Q，交抛物线于P，则|PQ|PN|的最小值等于|MH|13.答案：A2(2019新余一中模拟)动点P到点A(0，2)的距离比它到直线l：y4的距离小2，则动点P的轨迹方程为()Ay24xBy28xCx24yDx28y解析：因为动点P到点A(0，2)的距离比它到直线l：y4的距离小2，所以动点P
9、到点A(0，2)的距离与它到直线y2的距离相等根据抛物线的定义可得点P的轨迹是以A(0，2)为焦点，直线y2为准线的抛物线，其标准方程为x28y，故选D.答案：D考点2 抛物线的标准方程与几何性质(多维探究)角度 求抛物线方程【例1】抛物线y22px(p0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|4|OF|，MFO的面积为4 3，则抛物线的方程为()Ay26xBy28xCy216xDy2152解析：设M(x，y)，因为|OF|p2，|MF|4|OF|，所以|MF|2p，由抛物线定义知xp22p，所以x32p，所以y 3p.又MFO的面积为4 3，所以12p2 3p4 3，解得p4
10、(p4舍去)所以抛物线的方程为y28x.答案：B角度 抛物线的性质【例2】(2019晋城模拟)抛物线C：y24x的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，点M在抛物线C上，当|MA|MF|2时，AMF的面积为()A1 B.2C2 D2 2解析：过M作MP垂直于准线，垂足为P，则|MA|MF|2|MA|MP|1cos AMP1cos MAF，则cos MAF 22，则MAF45，此时AMF是等腰直角三角形，易知|AF|MF|2，所以三角形AMF的面积为12222.故选C.答案：C1求抛物线的标准方程的方法求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可；抛物线方程有四种
11、标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量2由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离，从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程变式训练1(2019长沙模拟)A是抛物线y22px(p0)上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|4时，OFA120，则抛物线的准线方程是()Ax1 By1Cx2 Dy2解析：过A向准线作垂线，设垂足为B，准线与x轴的交点为D.因为OFA120，所以ABF为等边三角形，DBF30，从而p|DF|2，因此抛物线的准线方程为x1.故选A.答案：A2以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|42，|D
12、E|25，则C的焦点到准线的距离为()A2 B4 C6 D8解析：设抛物线的方程为y22px(p0)，圆的方程为x2y2r2.因为|AB|4 2，|DE|2 5，抛物线的准线方程为xp2，所以不妨设A4p，2 2，Dp2，5.因为点A4p，2 2，Dp2，5 在圆x2y2r2上，所以16p28r2，p24 5r2，所以16p2 8p24 5，所以p4(负值舍去)所以C的焦点到准线的距离为4.答案：B考点3 直线与抛物线的位置关系(多维探究)角度 直线与抛物线的交点问题【例1】(2016全国卷)在直角坐标系xOy中，直线l：yt(t0)交y轴于点M，交抛物线C：y22px(p0)于点P，M关于点
13、P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求|OH|ON|；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由解：(1)如图，由已知得M(0，t)，Pt22p，t.又N为M关于点P的对称点，故Nt2p，t，故直线ON的方程为yptx，将其代入y22px整理得px22t2x0,解得x10，x22t2p.因此H2t2p，2t.所以N为OH的中点，即|OH|ON|2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点理由如下：直线MH的方程为ytp2tx，即x2tp(yt)代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外，直线MH与C没有其他公共点角度
14、 与抛物线弦长或中点弦有关的问题【例2】(2019南充模拟)如图，过抛物线x22py(p0)的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|42 2，则p()A1 B2 C.52 D3解析：设准线与y轴的交点为G，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|a，则由已知得|BC|2a，由抛物线的定义得|BD|a，故sin BCD 22，则BCD45，在直角三角形ACE中，因为|AE|42 2，所以|AC|4 24，因为|AF|42 2，所以|CF|2 2，所以|GF|2，所以p2，故选B.答案：B解决直线与抛物线位置关系问题的三种常用方法1直线
15、与抛物线的位置关系和直线与椭圆的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系2有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p或|AB|yA|yB|p.3涉及抛物线的弦长、弦中点等相关问题时，一般采用“设而不求”“整体代入”的解法提醒：涉及弦的中点、弦所在直线的斜率时一般用“点差法”求解变式训练(2019佛山模拟)已知直线l过点P(2，0)且与抛物线E：y24x相交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A在第四象限，O为坐标原点(1)当A是PC中点时，求直线l的方程；(2)以AB为直径的圆交直线OB于点D，求|OB|OD|的值解：(1)因为A
16、是PC的中点，P(2，0)，C在y轴上，所以A点的横坐标为1，又A在第四象限，所以A(1，2)所以直线l的方程为y2x4.(2)显然直线l的斜率不为0，设l的方程为xmy2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立xmy2，y24x，消去x得y24my80，所以y1y28，故x1x2y214y2244，因为点D在以AB为直径的圆上，且在直线OB上，所以AD OD，设OD OB(x2，y2)，则AD OD OA(x2x1，y2y1)，所以AD OD(x2x1)x2(y2y1)y20，即2x2242y2280，易知0，所以(x22y22)4.所以|OB|OD|x22y22 2x222y22|(x22y22)4.
