1、课时规范练65绝对值不等式 基础巩固组1.(2019山东潍坊三模,23)已知函数f(x)=|x-2|+|2x+a|,aR.(1)当a=1时,解不等式f(x)5;(2)若存在x0满足f(x0)+|x0-2|3,求a的取值范围.2.(2019福建龙岩期末,23)设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)略;(2)若x-1,2,f(x)+t20).(1)证明:f(x)4;(2)若不等式f(x)-x+4a4x的解集为x|x2,求实数a的值.5.(2019河北衡水中学七调,23)设f(x)=|x-1|+2|x+1|的最小值为m.(1)求m的值;(2)设a,bR,a2+b2=m,求1a2+1+4b2
2、+1的最小值.6.(2019河北张家口期末,23)已知函数f(x)=|2x+a|-|2x-1|(aR).(1)若a=2,求不等式f(x)3的解集;(2)若不等式f(x)2的解集非空,求a的取值范围.综合提升组7.(2019湖北宜昌元月调研,23)设函数f(x)=|x+1|+3|x-a|.(1)当a=1时,解不等式f(x)2x+3;(2)若关于x的不等式f(x)x的解集;(2)若关于x的不等式f(x)2a2+a恰有3个整数解,求实数a的取值范围.参考答案课时规范练65绝对值不等式1.解 (1)当a=1时,f(x)=|x-2|+|2x+1|,由f(x)5得|x-2|+|2x+1|5.当x2时,不等
3、式等价于x-2+2x+15,解得x2;当-12x2时,不等式等价于2-x+2x+15,即x2,不等式无解;当x-12时,不等式等价于2-x-2x-15,解得x-43,所以x-43.所以原不等式的解集为-,-432,+).(2)f(x)+|x-2|=2|x-2|+|2x+a|=|2x-4|+|2x+a|2x+a-(2x-4)|=|a+4|.因为原命题等价于(f(x)+|x-2|)min3,所以|a+4|3,所以-7a-1.故所求实数a的取值范围为(-7,-1).2.(2)解 f(x)=-3x,-1x-12,x+2,-12x1,3x,1x2,f(x)在-1,-12上是减函数,在-12,2上是增函数
4、,f(-1)=3,f(2)=6,f(x)max=6,6-t2+7t,t2-7t+60,解得t(1,6).3.解 (1)f(x)=|2x+2|+|x-1|=3x+1,x1,x+3,-1x0),当xa时,x-a4x,x-a3,这与xa0矛盾,故不成立,当xa时,a-x4x,xa5,又不等式的解集为x|x2,所以a5=2,故a=10.5.解 (1)当x-1时,f(x)=-3x-12,当-1x2,当x1时,f(x)=3x+14,当x=-1时,f(x)取得最小值m=2.(2)由题意知a2+b2=2,a2+1+b2+1=4,1a2+1+4b2+1=14(a2+1+b2+1)1a2+1+4b2+1=145+
5、b2+1a2+1+4(a2+1)b2+194.当且仅当b2+1a2+1=4(a2+1)b2+1时,即a2=13,b2=53等号成立,1a2+1+4b2+1的最小值为94.6.解 (1)a=2,f(x)=|2x+2|-|2x-1|=-3,x12.当x12时,f(x)3恒成立,x12.不等式f(x)3的解集为12,+.(2)f(x)=|2x+a|-|2x-1|(2x+a)-(2x-1)|=|a+1|.由f(x)2的解集非空,|a+1|2.a+12或a+1-2,解得a1或a-3.a的取值范围为a|a1或a-3.7.解 (1)f(x)=|x+1|+3|x-a|2x+3可转化为x1,4x-22x+3,或
6、-1x1,4-2x2x+3,或x-1,2-4x2x+3,解得1x52或14x1或无解.所以不等式的解集为14,52.(2)依题意,问题等价于关于x的不等式|x+1|+|x-a|4有解,即(|x+1|+|x-a|)min4,又|x+1|+|x-a|x+1-x+a|=|a+1|,当(x+1)(x-a)0时取等号.所以|a+1|4,解得-5a0),由柯西不等式得,a+2b+3c12+22+32a2+b2+c2=14,当且仅当a=b2=c3,即a=1414,b=147,c=31414时取等号.故a+2b+3c的最大值为14.9.解 (1)对任意实数x,都有|x+2|+|x-4|-m0恒成立.因为|x+
7、2|+|x-4|(x+2)-(x-4)|=6,所以6m,即m6,所以实数m的取值范围是(-,6.(2)由(1)知n=6,所以4a+5b+13a+2b=n6=1,所以4a+7b=(4a+7b)4a+5b+13a+2b=(a+5b)+(3a+2b)4a+5b+13a+2b=4+1+4(3a+2b)a+5b+a+5b3a+2b5+24(3a+2b)a+5ba+5b3a+2b=9,当且仅当b=5a,即a=313,b=1513时取等号,所以4a+7b的最小值为9.10.解 (1)f(x)=-x-1,x23,5x-5,23xx,所以当x23时,-x-1x,x-12.当23xx,54xx,x32,所以不等式f(x)x的解集为-,-1254,+.(2)由(1)知f(x)的单调减区间为-,23,单调增区间为23,+.又f(-2)=1,f(-1)=0,f(0)=-1,f(1)=0,f(2)=3,所以02a2+a1,所以-1a-12或0a12,故a的取值范围为-1,-120,12.
