1、第四章 导数及其应用 第二节 导数在研究函数中的应用最新考纲考情索引核心素养1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)3.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题).2018全国卷，T21 2018全国卷，T212018全国卷，T21 2017全国卷，T212017全国卷，T21 2017全国卷，T212016全国卷，T21 2016全国卷，T121
2、.数学运算2.逻辑推理3.直观想象1函数的单调性与导数的关系函数 yf(x)在某个区间内可导，则：(1)若 f(x)0，则 f(x)在这个区间内_；(2)若 f(x)大小大小3.函数的最值与导数(1)函数 f(x)在a，b上有最值的条件如果在区间a，b上函数 yf(x)的图象是一条_的曲线，那么它必有最大值和最小值(2)求 yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤求函数 yf(x)在(a，b)内的_将函数 yf(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中_的一个是最大值，_的一个是最小值连续不断极值最大最小1函数 f(x)在区间(a，b)上递增，则 f(x)0，“f(x)0在(
3、a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件2对于可导函数 f(x)，“f(x0)0”是“函数 f(x)在 xx0 处有极值”的必要不充分条件3求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然地认为极值就是最值4函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系1概念思辨判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若函数 f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f(x)0.()(2)如果函数 f(x)在某个区间内恒有 f(x)0，则 f(x)在此区间内没有单调性()(3)函数的极大值一定大于其
4、极小值()(4)对于可导函数 f(x)，f(x0)0 是 x0 为极值点的充要条件()(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值()解析：(1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有 f(x)0.(3)函数的极大值也可能小于极小值(4)x0 为 f(x)的极值点的充要条件是 f(x0)0，且 x0两侧导函数异号答案：(1)(2)(3)(4)(5)2教材衍化(1)(人 A 选修 11P94 探究改编)如图是 f(x)的导函数 f(x)的图象，则 f(x)的极小值点的个数为()A1 B2 C3 D4解析：由题意知在 x1 处 f(1)0，且其左右两侧导数符号为左负右正答案：A(2
5、)(人 A 选修 11P94 例 4 改编)函数 f(x)3x2ln x2x 的极值点的个数是()A0 B1C2 D无数个解析：函数定义域为(0，)，且 f(x)6x1x26x22x1x，由于 x0，g(x)6x22x1 的 200，所以 g(x)0 恒成立，故 f(x)0 恒成立，即 f(x)在定义域上单调递增，无极值点答案：A3典题体验(1)(2019菏泽一中月考)函数 f(x)xln x 的单调递减区间为()A(0，1)B(0，)C(1，)D(，0)(1，)(2)(2017浙江卷)函数 yf(x)的导函数 yf(x)的图象如图所示，则函数 yf(x)的图象可能是()(3)(2019佛山质
6、检)函数 f(x)在定义域 R 内可导，若f(x)f(2x)，且当 x(，1)时，(x1)f(x)0，设af(0)，bf12，cf(3)，则 a，b，c 的大小关系是_(由小到大)解析：(1)函数的定义域是(0，)，且 f(x)11xx1x，令 f(x)0，解得 0 x1，所以单调递减区间是(0，1)(2)利用导数与函数的单调性及零点情况进行验证f(x)0 的解集对应 yf(x)的增区间，f(x)0 的解集对应 yf(x)的减区间，验证只有 D 选项符合(3)依题意得，当 x1 时，f(x)0，则 f(x)在(，1)上为增函数；又 f(3)f(1)，且10121，因此有 f(1)f(0)f12
7、，即有 f(3)f(0)f12，即 cab.答案：(1)A(2)D (3)cab第 1 课时 导数与函数的单调性(基础课)考点 1 求函数的单调区间(典例迁移)【例】(经典母题)已知函数 f(x)ax3x2(aR)在x43处取得极值(1)确定 a 的值；(2)若 g(x)f(x)ex，求函数 g(x)的单调减区间解：(1)对 f(x)求导得 f(x)3ax22x，因为 f(x)在 x43处取得极值，所以 f43 0，即 3a169 243 16a3 830，解得 a12.(2)由(1)得 g(x)12x3x2 ex故 g(x)32x22x ex12x3x2 ex12x352x22x ex12x
8、(x1)(x4)ex.令 g(x)0，得 x(x1)(x4)0，解得1x0 或 x4.所以 g(x)的单调减区间为(1，0)，(，4)迁移探究 1 若本例中函数 f(x)变为“f(x)ln x12x2x”，试求 f(x)的单调区间解：因为 f(x)ln x12x2x，且 x(0，)，所以 f(x)1xx1x1 52x1 52x.令 f(x)0，得 x11 52，x21 52(舍去)由 f(x)0，得 0 x1 52；由 f(x)1 52.所以函数 f(x)的单调递增区间为0，1 52，单调递减区间为1 52，.迁移探究 2 若本例的函数变为“f(x)x22 aln x，aR”，求 f(x)的单
9、调区间解：因为 f(x)x22 aln x，且 x(0，)，f(x)xaxx2ax.(1)当 a0 时，f(x)0，所以 f(x)在(0，)上为单调递增函数(2)当 a0 时，f(x)（x a）（x a）x，则有当 x(0，a)时，f(x)0，所以 f(x)的单调递增区间为(a，)综上所述，当 a0 时，f(x)的单调递增区间为(0，)，无单调递减区间当 a0 时，函数 f(x)的单调递减区间为(0，a)，单调递增区间为(a，)1求函数单调区间的步骤：(1)确定函数 f(x)的定义域；(2)求 f(x)；(3)在定义域内解不等式 f(x)0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式 f(x)0
10、，得单调递减区间2若所求函数的单调区间不止一个时，这些区间不能用“”及“或”连接，可用“，”与“和”连接考点 2 讨论函数的单调性(讲练互动)【例】(2017全国卷改编)已知函数 f(x)ex(exa)a2x，其中参数 a0.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若 f(x)0，求 a 的取值范围解：(1)函数 f(x)的定义域为(，)，且 a0.f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa)若 a0，则 f(x)e2x，在(，)上单调递增若 a0，则由 f(x)0，则 xlna2.当 x，lna2 时，f(x)0；当 xlna2，时，f(x)0.故 f(x)在，lna2上 单 调 递 减，在
11、 区 间lna2，上单调递增(2)当 a0 时，f(x)e2x0 恒成立若 a0，则由(1)得，当 xlna2 时，f(x)取得最小值，最小值为 flna2 a234lna2，故当且仅当 a234lna2 0，即 a2e34时，f(x)0.综上，a 的取值范围是2e34，01(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为 0 的点和函数的间断点2个别导数为 0 的点不影响所在区间的单调性，如f(x)x3，f(x)3x20(f(x)0 在 x0 时取到)，f(x)在 R上是增函数变式训练已知函数 f(x)x
12、4axln x32，其中 aR，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线 y12x.(1)求 a 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间解：(1)对 f(x)求导得 f(x)14 ax21x(x0)，由 f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线 y12x 知 f(1)34a2，解得 a54.(2)由(1)知 f(x)x4 54xln x32(x0)，则 f(x)x24x54x2.令 f(x)0，解得 x1 或 x5.但1(0，)，舍去当 x(0，5)时，f(x)0；当 x(5，)时，f(x)0.所以函数 f(x)的单调递增区间为(5，)，单调递减区间为(0，5)考点 3 函数单
13、调性的简单应用(多维探究)角度 比较大小或解不等式【例 1】已知 f(x)1xsin x，则 f(2)，f(3)，f()的大小关系正确的是()Af(2)f(3)f()Bf(3)f(2)f()Cf(2)f()f(3)Df()f(3)f(2)解析：因为 f(x)1xsin x，所以 f(x)1cos x，当 x(0，时，f(x)0，f(x)在(0，上是增函数，所以 f()f(3)f(2)答案：D【例 2】(2019惠州调研)已知函数 f(x)xsin xcos xx2，则不等式 f(ln x)fln 1x 2f(1)的解集为()A(e)B(0，e)C.0，1e(1，e)D.1e，e解析：f(x)x
14、sin xcos xx2 是偶函数，所以 fln 1x f(ln x)f(ln x)则原不等式可变形为 f(ln x)f(1)f(|ln x|)0，得 x0 时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增所以|ln x|11ln x11exe.答案：D角度 根据函数单调性求参数【例 3】(2019日照质检)已知函数 f(x)ln x，g(x)12ax22x.(1)若函数 h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求实数 a 的取值范围；(2)若函数 h(x)f(x)g(x)在1，4上单调递减，求实数 a 的取值范围解：h(x)f(x)g(x)ln x12ax22x，x0.h(x)1xax2.(1
15、)若函数 h(x)在(0，)上存在单调减区间，则当 x0 时，1xax20 有解，即 a 1x22x有解设 G(x)1x22x，所以只要 aG(x)min 即可又 G(x)1x1 21，所以 G(x)min1.所以 a1，即实数 a 的取值范围是(1，)(2)由 h(x)在1，4上单调递减，得当 x1，4时，h(x)1xax20 恒成立，则 a 1x22x恒成立，所以 aG(x)max.又 G(x)1x1 21，x1，4，因为 x1，4，所以1x14，1，所以 G(x)max 716(此时 x4)，所以 a 716.当 a 716时，h(x)1x 716 x 2 167x232x16x（7x4
16、）（x4）16x，因为 x1，4，所以 h(x)（7x4）（x4）16x0，当且仅当 x4 时等号成立所以 h(x)在1，4上为减函数故实数 a 的取值范围是 716，.1利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小2已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件 f(x)0(或 f(x)0)，x(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是 f(x)不恒等于 0 的参数的范围3若函数 yf(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f(x)0 在(a，b)上有解变式训练1已知函数 f(x)ln xx1x，若 af(e)，bf()，cf(log230)，则()AcbaBcabCbcaDacb解析：f(x)的定义域是(0，)，f(x)1x1 1x2x12234x2log224e.所以 f(log230)f()f(e)，即cb0)，因为函数f(x)kxln x在区间(2，)上单调递增，所以 f(x)0 在区间(2，)上恒成立即 k1x在区间(2，)上恒成立，而 y1x在区间(2，)上单调递减，所以 k12，所以 k 的取值范围是12，.答案：B
