1、第2课时函数的最大值、最小值【自主预习】主题1：函数的最大值观察下列两个函数的图象，回答有关问题：(1)比较两个函数的图象，它们是否都有最高点？提示：图中函数y=f(x)=-x2的图象上有一个最高点；图中函数y=f(x)=-x的图象上没有最高点.(2)通过观察图你能发现什么？用文字语言描述：对任意xR，都有f(x)f(0).最大值的定义：_一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对任意的xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)=M.那么，称M是函数y=f(x)的最大值.主题2：函数的最小值观察下列两个函数的图象，回答有关问题.(1)比较两个函数的图象，它
2、们是否都有最低点？提示：图中函数y=f(x)=x2的图象有一个最低点.图中函数y=f(x)=x的图象没有最低点.(2)通过观察图你能发现什么？用文字语言描述：对任意xR都有_.f(x)f(0)最小值的定义：_一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对任意的xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)=M.那么，称M是函数y=f(x)的最小值.【深度思考】结合教材P31例4，你认为应怎样求函数的最大值、最小值？第一步：_.第二步：_.利用函数单调性的定义判断函数在所给定义域内的单调性根据单调性确定函数的最大值、最小值【预习小测】1.函数y=2x+1在1，2上的
3、最大值是()A.3B.4C.5D.1【解析】选C.因为y=2x+1为增函数，所以y=2x+1在1，2上递增，所以ymax=22+1=5.2.函数f(x)=x2-4x+3，x1，4的最小值为()A.-1B.0C.3D.-2【解析】选A.因为f(x)在1，2上是减函数，在2，4上是增函数，所以f(x)的最小值为f(2)=-1.3.若f(x)=x+1(x-2，1)，则f(x)的最大值与最小值分别为()A.0，-1B.2，0C.2，-1D.1，-2【解析】选C.因为函数f(x)=x+1为增函数，故在-2，1上也是增函数，所以最大值为2，最小值为-1.4.函数f(x)在区间-2，5上的图象如图所示，则函
4、数的最大值为.【解析】由题图可知，f(x)在x=5处取得最大值，故f(x)的最大值为f(5).答案：f(5)5.函数f(x)=，x2，4，则f(x)的最大值为；最小值为.【解析】由函数f(x)=(x2，4)的图象可知，函数f(x)在区间2，4上是减函数，所以最大值为f(2)=1，最小值为f(4)=.答案：16.求函数f(x)=x+在1，2上的最大值、最小值.(仿照教材P31例4的解析过程)【解析】设1x1x22，则f(x1)-f(x2)=因为1x1x22，所以x1-x20，1x1x24，所以x1x2-40，所以f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在1，2上是减函数，从
5、而函数的最大值是f(1)=1+4=5，最小值是f(2)=2+2=4.【互动探究】1.在最大值、最小值的定义中，实数M应满足什么条件？提示：M是一个函数值，即存在一个元素x0I，使M=f(x0).2.函数f(x)最大值、最小值的几何意义是什么？提示：函数最大值的几何意义是对应图象最高点的纵坐标，函数最小值的几何意义是函数图象的最低点的纵坐标.3.若函数f(x)在区间a，b上是单调递增的，则函数f(x)的最大值是；最小值是.提示：f(b)f(a)【探究总结】知识归纳：方法总结：求函数最大值、最小值的方法(1)观察法.适用于简单函数，如一次函数等.(2)图象法.对已知图象的函数用此方法.(3)配方法
6、.对二次(或二次型)函数适用.(4)单调性法.可判断在闭区间上单调的函数适用.注意事项：(1)最值M一定是一个函数值，是值域中的一个元素.(2)在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域.【题型探究】类型一：函数最大(小)值的求解【典例1】(2016济宁高一检测)求函数y=(-4x-2)的最大值和最小值.【解题指南】先判断函数在-4，-2上的单调性，再求函数的最大、最小值.【解析】设-4x1x2-2，因为f(x1)-f(x2)=因为x1+10，x2+10，x1-x20，所以0，所以f(x1)f(x2)，所以f(x)=在-4，-2上单调递增.所以ymax=f(-2)=2，ymin=f(-4)=.【
7、规律总结】求函数最值的三种方法(1)观察法：对于简单的初等函数，如一次函数、二次函数、反比例函数，可以依据定义域求出值域，观察得出.(2)图象法：对于图象较容易画出的函数的最值问题，可借助于图象直观求出.(3)单调性法：对于较复杂的函数，可利用单调性的判断方法，判断出函数的单调性，然后求最值.提醒：利用单调性求最值时，一定要先确定函数的定义域.【巩固训练】1.函数的最大值是()A.1B.2C.3D.4【解析】选D.当x0时，2x+33；当0 x1时，31时，-x+54.综上可知，当x=1时，y有最大值4.2.已知函数f(x)=x+.(1)证明：f(x)在(1，+)内是增函数.(2)求f(x)在
8、2，4上的最值.【解析】(1)任取x1，x2(1，+)，并且x1x11，所以x1-x21，所以x1x2-10，故(x1-x2)0，即f(x1)f(x2).所以f(x)在(1，+)内是增函数.(2)由(1)知f(x)在2，4上是增函数，所以当x2，4时，f(2)f(x)f(4).所以f(x)在2，4上的最大值为，最小值为.类型二：二次函数的最大值、最小值【典例2】(1)若函数f(x)满足f(x+1)=x(x+3)，xR，则f(x)的最小值为.(2)(2016银川高一检测)已知二次函数f(x)=-x2+2ax+1-a，x0，1，a为常数，求f(x)的最大值g(a)的解析式.【解题指南】(1)先求f
9、(x)的解析式，再利用配方法求f(x)的最小值.(2)根据二次函数f(x)=-x2+2ax+1-a的对称轴与区间0，1的关系，讨论单调性求解.【解析】(1)由f(x+1)=x(x+3)=(x+1)2+(x+1)-2，得f(x)=x2+x-2=所以f(x)的最小值是-.答案：-(2)函数f(x)=-x2+2ax+1-a的对称轴为x=a，当a1时，f(x)在0，1上递增，所以f(x)max=f(1)=a.所以g(a)=【延伸探究】1.(变换条件)典例2(2)条件若改为f(x)有最大值2，求a的值.【解析】函数f(x)的对称轴为x=a，当a1时，f(x)在0，1上递增，所以f(1)=2，即a=2；当
10、0a1时，f(x)在0，a上递增，在a，1上递减，所以f(a)=2，即a2-a+1=2，解得：a=与0a1矛盾.综上所述a=-1或a=2.2.(改变问法)典例2(2)条件不变，求f(x)的最小值h(a)的解析式.【解析】f(x)的对称轴为x=a，当a0时，f(x)在0，1上递减，所以f(x)min=f(1)=a，当0a 时，f(1)f(0)，所以f(x)min=f(1)=a.当 a0)在区间m，n上的最值的类型(1)若对称轴x=-在区间m，n内，则最小值为f(-)，最大值为f(m)，f(n)中较大者(或区间端点m，n中与x=-距离较远的一个对应的函数值为最大值)(2)若-n，则f(x)在m，n
11、上是减函数，最大值为f(m)，最小值为f(n).【巩固训练】设0 x1，则函数y=的最小值是.【解析】y=当0 x1时，0 x(1-x)=所以y4.答案：4类型三：函数最值的应用【典例3】(2016菏泽高一检测)已知A，B两城相距100km，在两城之间距A城xkm处D地建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距两城距离不得小于10km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数=0.3.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月.(1)把月供电总费用y表示成x的函数，并求定义域.(2)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用最小？【解题指南】(1)A城供电费用y1=0
12、.320 x2，B城供电费用y2=0.310(100-x)2，从而得出总费用，由x10且100-x10可得x的范围.(2)由二次函数的性质求最小值.【解析】(1)A城供电费用为y1=0.320 x2=6x2，B城供电费用y2=0.310(100-x)2=3(100-x)2，所以总费用为：y=y1+y2=6x2+3(100-x)2=9x2-600 x+30000.又得10 x90，故x的取值范围是x|10 x90.(2)y=9x2-600 x+30000=所以当x=时，y取得最小值.答：当核电站建在距A城km时，才能使供电总费用最小.【规律总结】解实际应用问题的五个步骤(1)审：审清题意，读懂题
13、，找出各量之间的关系.(2)设：从实际问题中抽象出数学模型，恰当设出未知数.(3)列：根据已知条件列出正确的数量关系.(4)解：转化为求函数的最值或解方程或解不等式.(5)答：回归实际，明确答案，得出结论.【巩固训练】首届世界低碳经济大会在南昌召开，大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨.最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=x2-200 x+80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单
14、位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？【解题指南】(1)先由条件表示出二氧化碳每吨平均处理成本，然后利用单调性求最值.(2)由收入减去成本，表示出每月的获利函数，在指定范围内求最值.【解析】(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为t(x)=可以证明t(x)在(0，400)为减函数，在400，+)上是增函数，故每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元.(2)设该单位每月获利为S，则因为400 x600，所以当x=400时，S有最大值-40000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损.拓展类型：与最值有关的恒成立问题【典例】当x(1，2)时，不等式x2+mx+40恒成立，求m的取值范围.【解题指南】分离出m，转化为求函数的最值，进而求得m的范围.【解析】当x(1，2)时，不等式x2+mx+40可化为m-5，故m-5.【规律总结】恒成立问题的两种求解方法方法一：构造常见的函数模型，将参数分离，然后根据函数的性质，转化为函数的最大、最小值问题求解.方法二：当函数的解析式较简单时，可以画出函数的图象，结合图象求最值.
