1、第九章 立体几何初步 第五节 直线、平面垂直的判定及其性质最新考纲考情索引核心素养1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.2018全国卷，T18(1)2018全国卷，T19(1)2017全国卷，T182017全国卷，T10、T19(1)2016全国卷，T18(1)1.逻辑推理2.直观想象3.数学运算1直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面内的_直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直(2)判定定理与性质定理任意定理文字语言图形表示符号表示判定定理一条直线与一个
2、平面内的_都垂直，则该直线与此平面垂直_ _abO _ _l性质定理两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线_ _ ab两条相交直线lalbabab平行2.直线和平面所成的角(1)平面的一条斜线和它在_所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角(2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为_(3)范围：0，2.平面上的射影90和03二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的_所组成的图形叫做二面角(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作_的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角两个半平面垂直于棱4平面与平面垂直(1)平面与平
3、面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是_，就说这两个平面互相垂直(2)判定定理与性质定理.直二面角定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面经过另一个平面的一条_，则这两个平面互相垂直_ _ 垂线ll性质定理如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们_的直线垂直于另一个平面 alall交线1三个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)(3)垂直于同一条直线的两个平面平行2使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数
4、条直线，就垂直于这个平面”1概念思辨判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行()(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面()(4)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.()解析：(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则有l或l与斜交或l或l，故(1)错误(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误(4)若平面内的一条
5、直线垂直于平面内的所有直线，则，故(4)错误答案：(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(人A必修2P73A组T1改编)下列命题中不正确的是()A如果平面平面，且直线l平面，则直线l平面B如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面C如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面D如果平面平面，平面平面，l，那么l(2)(人A必修2P67T2改编)在三棱锥P-ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.若PAPBPC，则点O是ABC的_心；若PAPB，PBPC，PCPA，则点O是ABC的_心解析：(1)根据面面垂直的性质，A不正确直线l平面或l或直线l与相交(2)如图1，连接OA，
6、OB，OC，OP，在RtPOA，RtPOB和RtPOC中，PAPBPC，所以OAOBOC，即O为ABC的外心如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于H，D，G.因为PCPA，PBPC，PAPBP，所以PC平面PAB，又AB平面PAB，所以PCAB，因为ABPO，POPCP，所以AB平面PGC，又CG平面PGC，所以ABCG，即CG为ABC边AB上的高同理可证BD，AH分别为ABC边AC，BC上的高，即O为ABC的垂心答案：(1)A(2)外 垂3典题体验(1)(2019广州一模)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A若，m，n，则mnB若m，mn，n，则
7、C若mn，m，n，则D若，m，n，则mn(2)(2017全国卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()AA1EDC1 BA1EBDCA1EBC1DA1EAC(3)(2019毫州模拟)如图甲所示，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，如图乙所示，那么，在四面体A-EFH中必有()AAH平面EFH BAG平面EFHCHF平面AEFDHG平面AEF解析：(1)若，m，n，则m与n相交、平行或异面，故A错误；因为m，mn，所以n，又因为n，所以，故B正确；若mn
8、，m，n，则与的位置关系不确定，故C错误；若，m，n，则mn或m，n异面，故D错误(2)如图，由题设知，A1B1平面BCC1B1，从而A1B1BC1.又B1CBC1，且A1B1B1CB1，所以BC1平面A1B1CD，又A1E平面A1B1CD，所以A1EBC1.(3)因为AHHE，AHHF，且EFHFF，所以AH平面EFH，A正确；因为过A只有一条直线与平面EFH垂直，所以B不正确；因为AGEF，EFAH，AGAHA，所以EF平面HAG，因为EF平面AEF，所以平面HAG平面AEF，所以过H作平面AEF的垂线，一定在平面HAG内，所以C不正确；因为HG不垂直于AG，所以HG平面AEF不正确，所以
9、D不正确故选A.答案：(1)B(2)C(3)A考点1 线面垂直的判定与性质(讲练互动)【例】(2018全国卷)如图，在三棱锥P-ABC中，ABBC22，PAPBPCAC4，O为AC的中点(1)证明：PO平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC2MB，求点C到平面POM的距离(1)证明：因为APCPAC4，O为AC的中点，所以OPAC，且OP2 3.连接OB.因为ABBC 22 AC，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC，OB12AC2.由OP2OB2PB2知，OPOB.由OPOB，OPAC且OBACO，知PO平面ABC.(2)解：如图，作CHOM，垂足为H，又由(1)可得OPCH，所以CH
10、平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离由题设可知OC 12 AC2，CM 23 BC 4 23，ACB45，所以OM2 53，CHOCMCsinACBOM4 55.所以点C到平面POM的距离为4 55.证明线面垂直的常用方法及关键1证明直线和平面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质2证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想变式训练(2019潍坊一中月考)如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD 13 DB，点C为圆O上
11、一点，且BC3AC，PD平面ABC，PDDB.求证：PACD.证明：因为AB为圆O的直径，所以ACCB.在RtABC中，由 3ACBC得，ABC30.设AD1，由3ADDB得，DB3，BC2 3.由余弦定理得CD2DB2BC22DBBCcos 303，所以CD2DB2BC2，即CDAB.因为PD平面ABC，CD平面ABC，所以PDCD，由PDABD得，CD平面PAB，又PA平面PAB，所以PACD.考点2 面面垂直的判定与性质(讲练互动)【例】(2017全国卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD，且BAPCDP90.(1)证明：平面PAB平面PAD；(2)若PAPDABDC，APD90，且
12、四棱锥P-ABCD的体积为83，求该四棱锥的侧面积(1)证明：由已知BAPCDP90，得ABAP，CDPD.由于ABCD，故ABPD，从而AB平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.(2)解：如图，在平面PAD内作PEAD，垂足为E.由(1)知，AB平面PAD，故ABPE，ABAD，可得PE平面ABCD.设ABx，则由已知可得AD 2x，PE 22 x.故四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD13ABADPE13x3.由题设得13x383，故x2.从而结合已知可得PAPDABDC2，ADBC2 2，PBPC2 2.可得四棱锥PABCD的侧面积为12PAPD12PAAB12PDD
13、C12BC2sin 6062 3.1判定面面垂直的方法(1)面面垂直的定义(2)面面垂直的判定定理(a，a)2在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直变式训练(2019河南中原名校质检)在四棱锥P-ABCD中，平面PAD平面ABCD，ABCD，PAD是等边三角形，已知AD2，BD2 3，AB2CD4.(1)设M是PC上一点，求证：平面MBD平面PAD；(2)求四棱锥P-ABCD的体积(1)证明：由题意得，AD2BD222(23)216AB2，所以ADBD.又平面PAD平面ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，BD平面 AB
14、CD，所以 BD平面 PAD，又 BD平面 MBD，所以平面 MBD平面 PAD.(2)解：如图，取 AD 的中点 O，连接PO，则 POAD.因为平面 PAD平面 ABCD，且平面PAD平面 ABCDAD，PO平面 PAD，所以 PO平面 ABCD，所以PO是四棱锥P-ABCD的高，且PO2 32 3，设RtADB中斜边AB边上的高为d，则1222 3124d，解得d3，即梯形ABCD的高为3，所以梯形ABCD的面积为422 33 3.所以四棱锥P-ABCD的体积为133 3 33.考点3 平行与垂直的综合问题(多维探究)角度 平行与垂直关系的证明【例1】(2018江苏卷)在平行六面体ABC
15、D-A1B1C1D1中，AA1AB，AB1B1C1.求证：(1)AB平面A1B1C；(2)平面ABB1A1平面A1BC.证明：(1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，ABA1B1.因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB平面A1B1C.(2)在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，四边形 ABB1A1 为平行四边形又因为 AA1AB，所以四边形 ABB1A1 为菱形，因此 AB1A1B.又因为 AB1B1C1，BCB1C1，所以 AB1BC.又因为 A1BBCB，A1B平面 A1BC，BC平面 A1BC，所以AB1平面A1BC.又因为AB1平面ABB1A1，所以平
16、面ABB1A1平面A1BC.角度 平行与垂直关系中的探索性问题【例2】(2019兰州实践模拟)如图所示的空间几何体EFG-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE平面ABCD，EFAB，EGAD，EFEG1.(1)求证：平面CFG平面ACE；(2)在AC上是否存在一点H，使得EH平面CFG？若存在，求出CH的长，若不存在，请说明理由(1)证明：连接BD交AC于点O，则BDAC.设AB，AD的中点分别为M，N，连接MN，则MNBD，连接FM，GN，则FMGN，且FMGN，所以MNFG，所以BDFG，所以FGAC.由于AE平面ABCD，所以AEBD.所以FGAE，又因为ACAEA，所以F
17、G平面ACE.又FG平面CFG，所以平面CFG平面ACE.(2)解：存在设平面ACE交FG于点Q，则Q为FG的中点，连接EQ，CQ，取CO的中点为H，连接EH，则CHEQ，CHEQ 22，所以四边形EQCH为平行四边形，所以EHCQ，因为EH平面CFG，CQ平面CFG，所以EH平面CFG，所以在AC上存在一点H，使得EH平面CFG，1处理平行与垂直的综合问题的主要数学思想是转化，要熟练掌握线线、线面、面面之间的平行与垂直的转化2(1)求条件探索性问题的主要途径：先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性(2)涉及点的位置探索性问题一般是先
18、根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点变式训练(2019淮北一中模拟)如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且PAAD.求证：(1)AF平面PEC；(2)平面PEC平面PCD.证明：(1)取PC的中点G，连接FG、EG，因为F为PD的中点，G为PC的中点，所以FG为CDP的中位线，所以FGCD，FG12CD.因为四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，所以AECD，AE12CD.所以FGAE，FGAE，所以四边形AEGF是平行四边形，所以AFEG，又EG平面PEC，AF平面PEC，所以AF平面PEC.(2)因为PAAD，F为PD中点，所以AFPD，因为PA平面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD，又因为CDAD，ADPAA，所以CD平面PAD，因为AF平面PAD，所以CDAF，又PDCDD，所以AF平面PCD，由(1)知EGAF，所以EG平面PCD，又EG平面PEC，所以平面PEC平面PCD.
