1、北京市东城区2019-2020高三一模线上统练数学二班级_ 姓名_第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10题，每题4分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，则满足的集合的个数是（ ）.（A） （B） （C） （D）（2）在复平面内，已知复数对应的点与复数对应的点关于虚轴对称，则点的坐标为（ ）.（A） （B） （C） （D）（3）已知点A(2，a)为抛物线图象上一点，点F为抛物线的焦点，则等于（ ）.（A） （B） （C） （D）（4）下列函数中，与函数的定义域和值域都相同的是（ ）.（A） （B） （C） （D）（5）已知两个向量，则“”是“ ”的（
2、 ）. （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（6）已知和是两个不同平面，是与 不同的两条直线，且，那么下列命题正确的是 （ ）.（A）与 都不相交 （B）与都相交（C） 恰与 中的一条相交（D）至少与中的一条相交（7）两条平行直线和间的距离为，则的值分别为（ ）. （A） （B） （C） （D）（8）数列是等差数列 ，是各项均为正数的等比数列，公比，且，则（ ）.（A） + （B） （C）+ （D）（9）若函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间 上单调递增，则的最大值为（ ）. （A） （B） （C） （D） （10）标
3、准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形“”形视标，且从视力的视标所在行开始往上，每一行“”的边长都是下方一行“”边长的倍，若视力的视标边长为，则视力的视标边长为（ ）.（A）（B）（C）（D） 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5题，每题5分，共25分。（11）二项式的展开式共有7项，则 ；常数项为 . （12）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，将角的终边按逆时针方向旋转后经过点，则 .（13）某四面体的三视图如图所示该四面体的六条棱的长度中，最大的是 （14）函数，数列满足， 函数是增函数； 数列是递增数列 写出
4、一个满足的函数的解析式 .写出一个满足但不满足的函数的解析式 . （15） 在中国决胜全面建成小康社会的关键之年，如何更好地保障和改善民生，如何切实增强政策“获得感”， 成为 2019 年全国两会的重要关切某地区为改善民生调研了甲、乙、丙、丁、戊5个民生项目，得到 如下信息： 若该地区引进甲项目，就必须引进与之配套的乙项目； 丁、戊两个项目与民生密切相关，这两个项目至少要引进一个； 乙、丙两个项目之间有冲突，两个项目只能引进一个； 丙、丁两个项目关联度较高，要么同时引进，要么都不引进； 若引进项目戊，甲、丁两个项目也必须引进 则该地区应引进的项目为 三、解答题共6题，共85分。解答应写出文字说
5、明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题14分）在四棱锥中，为正三角形，平面平面，为的中点，.（）求证：平面平面； （）求直线与平面所成角的正弦值；（）在棱上是否存在点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，说明理由（17）（本小题14分）在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的正整数存在，求的值；若不存在，请说明理由设为等差数列的前项和，是等比数列， ，是否存在，使得且？（18）（本小题14分）2019年北京市百项疏堵工程基本完成.有关部门为了解疏堵工程完成前后早高峰时段公交车运行情况，调取某路公交车早高峰时段全程所用时间（单位：分钟）的数据，从疏堵工程完成前的数据中随机抽取5
6、个数据，记为A组，从疏堵工程完成后的数据中随机抽取5个数据，记为B组.A组：128，100，151，125，120B组：100，102，96，101，己知B组数据的中位数为100，且从中随机抽取一个数不小于100的概率是.（）求a的值；（）该路公交车全程所用时间不超过100分钟，称为“正点运行”从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，记两次运行中正点运行的次数为X，求X的分布列及期望；（）试比较A，B两组数据方差的大小（不要求计算），并说明其实际意义.（19）（本小题15分）已知函数其中a为常数，设e为自然对数的底数（）当时，求过切点为的切线方程；（）若在区间上的最大值为，求a的值；（）若不等式
7、恒成立，求a的取值范围（20）（本小题14分）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，且，离心率为.（）求椭圆C的方程；（）设点, 若点P在直线上，直线与椭圆交于另一点判断是否存在点，使得四边形为梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由（21） （本小题14分）数列 满足：记 的前 项和为 ，并规定 定义集合 （）对数列 ，求集合 ；（）若集合 （，），证明：；（）给定正整数 对所有满足 的数列 ，求集合 的元素个数的最小值参考答案：1-10：BCACD ABCAD11. 12. 13. 14. ； 答案不唯一15. 丙丁16. 证明：（）法一：因为为正三角形，为的中点， 所以.因为平面底面，
8、平面底面，所以平面.因为平面，所以.因为，所以.因为，所以平面.因为平面，所以平面平面. 4分法二：因为，所以.因为平面底面，平面底面， 所以平面.因为平面，所以平面平面. 4分（）在平面内作直线.所以平面.所以.以为原点建立空间直角坐标系如图所示.则.所以.设平面的法向量为.所以即令，则.所以设直线与平面所成的角为.则.所以直线与平面所成角的正弦值为. 9分（）在棱上存在点，使得平面. 因为平面,所以.要使平面成立，只需成立.设，. 所以.即.所以.所以.因为，所以由可得，即.所以.即. 14分17. 解：方案，设等比数列的公比为，设等差数列的公差为，由，得，又，故，又，由且，可得可知，得，
9、又为正整数，则，存在，使得且方案，设等比数列的公比为，设等差数列的公差为，由，得，又，故又，由且，可得，可知，得，又为正整数，则，存在，使得且方案，设等比数列的公比为，设等差数列的公差为，由，得，又，故又，即，解得，由且，可得，可知，得，又为正整数，则，存在，使得且18. （1）B组数据的中位数为100，根据B组的数据，从B组中随机抽取一个数不小于100的概率是，B组中不小于100的有4个数，所以；（）从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，“正点运行”概率分别为，从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，记两次运行中正点运行的次数为X，X可能值为，X的分布列为：X012，X期望为；（）对比两组数据
10、，组数据方差更小，说明疏堵工程完成后公交车运行时间更为稳定.19. 解：（）当时，则，切点，即，切线方程为，即（），当时，在上单调递增，无最大值当时，在上，单调递增；在上，单调递增，若函数在上取得最大值，则，且，则（）不等式恒成立，则恒成立，令，（），在上，单调递减；在上，单调递增，20. 解法1：（）由已知，又所以. 故，所以椭圆方程为.（）假设存在点使得四边形为梯形.由题可知，显然不平行，所以与平行，即.设点，, 直线方程为，由点在直线上，则联立，显然，可解得. 又由点在椭圆上，所以，即，将其代入，解得，.解法2：设直线方程为.由，所以，所以，又，所以.直线方程为，由，消，得.又, 所以，即，. 由可得，解得, ，解法3：假设存在点使得四边形为梯形. 由题可知，显然不平行，所以与平行, ，所以. 过点作于，则有，即，代入椭圆方程，求得，. 21.（）因为 ，所以 （）由集合 的定义知 ，且 是使得 成立的最小的 ，所以 又因为 ，所以 所以 （）因为 ，所以 非空设集合 ，不妨设 ，则由（）可知 ，同理 ，且 所以 因为 ，所以 的元素个数 取常数数列 ，并令 ，则 ，适合题意，且 ，其元素个数恰为 综上， 的元素个数的最小值为
