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2020届高考数学(文科)总复习课件:第七章 第二节 等差数列及其前N项和 .ppt

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资源描述

1、第七章 数 列 第二节 等差数列及其前 n 项和最新考纲考情索引核心素养1.理解等差数列的概念2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题4.了解等差数列与一次函数的关系.2018全国卷,T172017全国卷,T172016全国卷,T171.逻辑推理2.数学建模3.数学运算1等差数列的有关概念(1)定义:如果一个数列从_起,每一项与它的前一项的_都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列用符号表示为_(nN*,d 为常数)(2)等差中项:数列 a,A,b 成等差数列的充要条件是_,其中 A 叫做 a,b 的_第2项

2、差an1andAab2等差中项2等差数列的有关公式(1)通 项 公 式:an _,an am _(2)前n项 和 公 式:Sn _ _3等差数列的性质已知数列an是等差数列,Sn 是其前 n 项和(1)若 m,n,p,q,k 是正整数,且 mnpq2k,则 aman_a1(n1)d(nm)dna1n(n1)d2n(a1an)2apaq2ak(2)am,amk,am2k,am3k,仍是等差数列,公差为_(3)数列 Sm,S2mSm,S3mS2m,也是等差数列(4)若数列an的前 n 项和为 Sn,则 S2n1(2n1)an,S2nn(a1a2n)n(anan1)(5)等差数列的通项公式形如 an

3、anb(a,b为常数),前 n 项和公式形如 SnAn2Bn(A,B 为常数),结合函数性质研究等差数列常常可以事半功倍kd1已知数列an的通项公式是 anpnq(其中 p,q为常数),则数列an一定是等差数列,且公差为 p.2用定义法证明等差数列应注意“从第 2 项起”,如证明了 an1and(n2)时,应注意验证 a2a1 是否等于 d,若 a2a1d,则数列an不为等差数列3等差数列an的单调性:当 d0 时,an是递增数列;当 d0,4x20,3x0,解得 x4.所以等差数列的前三项为 log38,log312,log318,所以公差 dlog312log38log332,所以数列的第

4、四项为 log318log332log3273.故选 A.答案:A等差数列基本量的运算的思想与方法1方程思想:等差数列中包含 a1,d,n,an,Sn 五个量,可“知三求二”解决这些问题一般设基本量 a1,d,利用等差数列的通项公式与求和公式列方程(组)求解2整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用 a1,d 表示,寻求两者间的联系,整体代换即可求解3利用性质:运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程考点 2 等差数列的判定与证明(典例迁移)【例】(经典母题)若数列an的前 n 项和为 Sn,且满足 an2SnSn10(n2),a112.(1)求证:1Sn 成等差数列;(2)求数列

5、an的通项公式(1)证明:当 n2 时,由 an2SnSn10,得 SnSn12SnSn1,所以 1Sn 1Sn12,又 1S1 1a12,故1Sn 是首项为 2,公差为 2 的等差数列(2)解:由(1)可得 1Sn2n,所以 Sn 12n.当 n2 时,anSnSn1 12n12(n1)n1n2n(n1)12n(n1).当 n1 时,a112不适合上式故 an12,n1,12n(n1),n2.条件迁移 将本例条件“an2SnSn10(n2),a112”改为“Sn(Snan)2an0(n2),a12”,问题不变,试求解(1)证明:当 n2 时,anSnSn1 且 Sn(Snan)2an0.所以

6、 SnSn(SnSn1)2(SnSn1)0,即 SnSn12(SnSn1)0.即 1Sn 1Sn112.又 1S1 1a112.故数列1Sn 是以首项为12,公差为12的等差数列(2)解:由(1)知 1Snn2,所以 Sn2n,当 n2 时,anSnSn12n(n1).当 n1 时,a12 不适合上式,故 an2,n1,2n(n1),n2.结论迁移 本例条件不变,判断数列an是否为等差数列,并说明理由解:因为 anSnSn1(n2),an2SnSn10,所以 SnSn12SnSn10(n2)所以 1Sn 1Sn12(n2)又 1S1 1a12,所以1Sn 是以 2 为首项,2 为公差的等差数列

7、所以 1Sn2(n1)22n,故 Sn 12n.所以当 n2 时,anSnSn1 12n12(n1)12n(n1).所 以 an 1 12n(n1),又 an 1 an 12n(n1)12n(n1)12n 1n1 1n1 1n(n1)(n1).当 n2 时,an1an 的值不是一个与 n 无关的常数,故数列an不是一个等差数列等差数列的四种判断方法1定义法:an1and(d 是常数)an是等差数列可用来判定与证明2等差中项法:2an1anan2(nN*)an是等差数列可用来判定与证明3通项公式:anpnq(p,q 为常数)an是等差数列4前 n 项和公式:SnAn2Bn(A,B 为常数)an是

8、等差数列变式训练记 Sn 为等比数列an的前 n 项和已知 S22,S36.(1)求an的通项公式;(2)求 Sn,并判断 Sn1,Sn,Sn2 是否成等差数列解:(1)设an的公比为 q,由题设可得a1(1q)2,a1(1qq2)6.解得 q2,a12.故an的通项公式为 an(2)n.(2)由(1)可得Sna1(1qn)1q23(1)n2n13.由于 Sn2Sn143(1)n2n32n23223(1)n2n132Sn,故 Sn1,Sn,Sn2 成等差数列考点 3 等差数列的性质及应用(讲练互动)【例 1】(2019衡阳一模)在等差数列an中,a13a8a15120,则 a2a14 的值为(

9、)A6 B12C24 D48解析:因为在等差数列an中,a13a8a15120,所以由等差数列的性质可得 a13a8a155a8120,所以 a824,所以 a2a142a848.故选 D.答案:D【例 2】(2019惠州调研)设 Sn 是等差数列an的前n 项和,若a6a5 911,则S11S9()A1 B1C2 D.12解析:由等差数列前 n 项和公式得S11S911(a1a11)29(a1a9)211a69a5,因为a6a5 911,所以S11S91,故选 A.答案:A1项的性质在等差数列an中,若 mnpq2k(m,n,p,q,kN*),则 amanapaq2ak.在等差数列an中,a

10、man(mn)damanmn d(mn),其几何意义是点(n,an),(m,am)所在直线的斜率等于等差数列的公差2和的性质:在等差数列an中,Sn 为其前 n 项和,则:S2nn(a1a2n)n(anan1);S2n1(2n1)an.变式训练1(2019东北三省三校联考)等差数列an中,a1a3a539,a5a7a927,则数列an的前 9 项的和 S9等于()A66 B99 C144 D297解析:根据等差数列的性质知 a1a3a53a339,可得 a313.由 a5a7a93a727,可得 a79,故 S99(a1a9)29(a3a7)299,故选 B.答案:B2若一个等差数列前 3 项

11、的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和为 390,则这个数列的项数为()A13 B12 C11 D10解析:因为 a1a2a334,an2an1an146,a1a2a3an2an1an34146180,又因为 a1ana2an1a3an2,所以 3(a1an)180,从而 a1an60,所以 Snn(a1an)2n602390,即 n13.答案:A考点 4 等差数列前 n 项和及其最值(讲练互动)【例】(2018全国卷)记 Sn 为等差数列an的前 n项和,已知 a17,S315.(1)求an的通项公式;(2)求 Sn,并求 Sn 的最小值解:(1)设an的公差为 d,由题意得

12、 3a13d15.由 a17 得 d2.所以an的通项公式为 ana1(n1)d2n9.(2)由(1)得 Sna1an2nn28n(n4)216.所以当 n4 时,Sn 取得最小值,最小值为16.求等差数列前 n 项和 Sn 的最值的方法1函数法:利用等差数列前 n 项和的函数表达式 Snan2bn(a0),通过配方或借助图象求二次函数的最值2邻项变号法当 a10,d0 时,满足am0,am10 的项数 m 使得 Sn取得最大值,为 Sm(当 am10 时,Sm1 也为最大值);当 a10,d0 时,满足am0,am10 的项数 m 使得 Sn取得最小值,为 Sm(当 am10 时,Sm1 也

13、为最小值)变式训练1(2019云南质检)已知等差数列an中,a111,a51,则an的前 n 项和 Sn 的最大值是()A15 B20 C26 D30解析:设数列an的公差为 d,则 d14(a5a1)3,所以 an113(n1)143n,令 an143n0,解得n143,所以 Sn 的最大值为 S4411432(3)26,故选 C.答案:C2一题多解(2019合肥质检)已知等差数列an的前n 项和为 Sn,a81,S160,当 Sn 取最大值时 n 的值为()A7 B8 C9 D10解析:法一 由题意可得a8a17d1,S1616a116152d0,解得a115,d2,则 Snn216n(n8)264,则当 n8 时,Sn 取得最大值法二 因为an是等差数列,所以 S168(a1a16)8(a8a9)0,则 a9a81,即数列an的前 8 项是正数,从第 9 项开始是负数,所以(Sn)maxS8,故选 B.答案:B

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