1、第七章 数 列 第二节 等差数列及其前 n 项和最新考纲考情索引核心素养1.理解等差数列的概念2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题4.了解等差数列与一次函数的关系.2018全国卷，T172017全国卷，T172016全国卷，T171.逻辑推理2.数学建模3.数学运算1等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从_起，每一项与它的前一项的_都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列用符号表示为_(nN*，d 为常数)(2)等差中项：数列 a，A，b 成等差数列的充要条件是_，其中 A 叫做 a，b 的_第2项
2、差an1andAab2等差中项2等差数列的有关公式(1)通 项 公 式：an _，an am _(2)前n项 和 公 式：Sn _ _3等差数列的性质已知数列an是等差数列，Sn 是其前 n 项和(1)若 m，n，p，q，k 是正整数，且 mnpq2k，则 aman_a1(n1)d(nm)dna1n（n1）d2n（a1an）2apaq2ak(2)am，amk，am2k，am3k，仍是等差数列，公差为_(3)数列 Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列(4)若数列an的前 n 项和为 Sn，则 S2n1(2n1)an，S2nn(a1a2n)n(anan1)(5)等差数列的通项公式形如 an
3、anb(a，b为常数)，前 n 项和公式形如 SnAn2Bn(A，B 为常数)，结合函数性质研究等差数列常常可以事半功倍kd1已知数列an的通项公式是 anpnq(其中 p，q为常数)，则数列an一定是等差数列，且公差为 p.2用定义法证明等差数列应注意“从第 2 项起”，如证明了 an1and(n2)时，应注意验证 a2a1 是否等于 d，若 a2a1d，则数列an不为等差数列3等差数列an的单调性：当 d0 时，an是递增数列；当 d0，4x20，3x0，解得 x4.所以等差数列的前三项为 log38，log312，log318，所以公差 dlog312log38log332，所以数列的第
4、四项为 log318log332log3273.故选 A.答案：A等差数列基本量的运算的思想与方法1方程思想：等差数列中包含 a1，d，n，an，Sn 五个量，可“知三求二”解决这些问题一般设基本量 a1，d，利用等差数列的通项公式与求和公式列方程(组)求解2整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用 a1，d 表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解3利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程考点 2 等差数列的判定与证明(典例迁移)【例】(经典母题)若数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 an2SnSn10(n2)，a112.(1)求证：1Sn 成等差数列；(2)求数列
5、an的通项公式(1)证明：当 n2 时，由 an2SnSn10，得 SnSn12SnSn1，所以 1Sn 1Sn12，又 1S1 1a12，故1Sn 是首项为 2，公差为 2 的等差数列(2)解：由(1)可得 1Sn2n，所以 Sn 12n.当 n2 时，anSnSn1 12n12（n1）n1n2n（n1）12n（n1）.当 n1 时，a112不适合上式故 an12，n1，12n（n1），n2.条件迁移 将本例条件“an2SnSn10(n2)，a112”改为“Sn(Snan)2an0(n2)，a12”，问题不变，试求解(1)证明：当 n2 时，anSnSn1 且 Sn(Snan)2an0.所以
6、 SnSn(SnSn1)2(SnSn1)0，即 SnSn12(SnSn1)0.即 1Sn 1Sn112.又 1S1 1a112.故数列1Sn 是以首项为12，公差为12的等差数列(2)解：由(1)知 1Snn2，所以 Sn2n，当 n2 时，anSnSn12n（n1）.当 n1 时，a12 不适合上式，故 an2，n1，2n（n1），n2.结论迁移 本例条件不变，判断数列an是否为等差数列，并说明理由解：因为 anSnSn1(n2)，an2SnSn10，所以 SnSn12SnSn10(n2)所以 1Sn 1Sn12(n2)又 1S1 1a12，所以1Sn 是以 2 为首项，2 为公差的等差数列
7、所以 1Sn2(n1)22n，故 Sn 12n.所以当 n2 时，anSnSn1 12n12（n1）12n（n1）.所 以 an 1 12n（n1），又 an 1 an 12n（n1）12n（n1）12n 1n1 1n1 1n（n1）（n1）.当 n2 时，an1an 的值不是一个与 n 无关的常数，故数列an不是一个等差数列等差数列的四种判断方法1定义法：an1and(d 是常数)an是等差数列可用来判定与证明2等差中项法：2an1anan2(nN*)an是等差数列可用来判定与证明3通项公式：anpnq(p，q 为常数)an是等差数列4前 n 项和公式：SnAn2Bn(A，B 为常数)an是
8、等差数列变式训练记 Sn 为等比数列an的前 n 项和已知 S22，S36.(1)求an的通项公式；(2)求 Sn，并判断 Sn1，Sn，Sn2 是否成等差数列解：(1)设an的公比为 q，由题设可得a1（1q）2，a1（1qq2）6.解得 q2，a12.故an的通项公式为 an(2)n.(2)由(1)可得Sna1（1qn）1q23(1)n2n13.由于 Sn2Sn143(1)n2n32n23223（1）n2n132Sn，故 Sn1，Sn，Sn2 成等差数列考点 3 等差数列的性质及应用(讲练互动)【例 1】(2019衡阳一模)在等差数列an中，a13a8a15120，则 a2a14 的值为(
9、)A6 B12C24 D48解析：因为在等差数列an中，a13a8a15120，所以由等差数列的性质可得 a13a8a155a8120，所以 a824，所以 a2a142a848.故选 D.答案：D【例 2】(2019惠州调研)设 Sn 是等差数列an的前n 项和，若a6a5 911，则S11S9()A1 B1C2 D.12解析：由等差数列前 n 项和公式得S11S911（a1a11）29（a1a9）211a69a5，因为a6a5 911，所以S11S91，故选 A.答案：A1项的性质在等差数列an中，若 mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则 amanapaq2ak.在等差数列an中，a
10、man(mn)damanmn d(mn)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差2和的性质：在等差数列an中，Sn 为其前 n 项和，则：S2nn(a1a2n)n(anan1)；S2n1(2n1)an.变式训练1(2019东北三省三校联考)等差数列an中，a1a3a539，a5a7a927，则数列an的前 9 项的和 S9等于()A66 B99 C144 D297解析：根据等差数列的性质知 a1a3a53a339，可得 a313.由 a5a7a93a727，可得 a79，故 S99（a1a9）29（a3a7）299，故选 B.答案：B2若一个等差数列前 3 项
11、的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为 390，则这个数列的项数为()A13 B12 C11 D10解析：因为 a1a2a334，an2an1an146，a1a2a3an2an1an34146180，又因为 a1ana2an1a3an2，所以 3(a1an)180，从而 a1an60，所以 Snn（a1an）2n602390，即 n13.答案：A考点 4 等差数列前 n 项和及其最值(讲练互动)【例】(2018全国卷)记 Sn 为等差数列an的前 n项和，已知 a17，S315.(1)求an的通项公式；(2)求 Sn，并求 Sn 的最小值解：(1)设an的公差为 d，由题意得
12、 3a13d15.由 a17 得 d2.所以an的通项公式为 ana1(n1)d2n9.(2)由(1)得 Sna1an2nn28n(n4)216.所以当 n4 时，Sn 取得最小值，最小值为16.求等差数列前 n 项和 Sn 的最值的方法1函数法：利用等差数列前 n 项和的函数表达式 Snan2bn(a0)，通过配方或借助图象求二次函数的最值2邻项变号法当 a10，d0 时，满足am0，am10 的项数 m 使得 Sn取得最大值，为 Sm(当 am10 时，Sm1 也为最大值)；当 a10，d0 时，满足am0，am10 的项数 m 使得 Sn取得最小值，为 Sm(当 am10 时，Sm1 也
13、为最小值)变式训练1(2019云南质检)已知等差数列an中，a111，a51，则an的前 n 项和 Sn 的最大值是()A15 B20 C26 D30解析：设数列an的公差为 d，则 d14(a5a1)3，所以 an113(n1)143n，令 an143n0，解得n143，所以 Sn 的最大值为 S4411432(3)26，故选 C.答案：C2一题多解(2019合肥质检)已知等差数列an的前n 项和为 Sn，a81，S160，当 Sn 取最大值时 n 的值为()A7 B8 C9 D10解析：法一 由题意可得a8a17d1，S1616a116152d0，解得a115，d2，则 Snn216n(n8)264，则当 n8 时，Sn 取得最大值法二 因为an是等差数列，所以 S168(a1a16)8(a8a9)0，则 a9a81，即数列an的前 8 项是正数，从第 9 项开始是负数，所以(Sn)maxS8，故选 B.答案：B