1、2016年广东省惠州市高三第一次调研数学试卷（理科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）（2016惠州模拟）已知全集U=0，1，2，3，4，集合A=1，2，3，B=2，4，则（UA）B为（） A 1，2，4 B 2，3，4 C 0，2，4 D 0，2，3，4考点： 交、并、补集的混合运算所有专题： 计算题分析： 找出全集U中不属于A的元素，求出A的补集，找出既属于A补集又属于B的元素，确定出所求的集合解答： 解：全集U=0，1，2，3，4，集合A=1，2，3，CUA=0，4，又B=2，4，则（CUA）B=0，2，4故选C点评： 此
2、题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键2（5分）（2016惠州模拟）复数（i是虚数单位）的模等于（） A B 10 C D 5考点： 复数代数形式的乘除运算所有专题： 数系的扩充和复数分析： 首先将复数化简为a+bi的形式，然后求模解答： 解：=1+=3+i，故模为；故选：A点评： 本题考查了复数的混合运算以及复数模的求法；属于基础题3（5分）（2016惠州模拟）下列命题中的假命题是（） A xR，lgx=0 B xR，tanx=0 C xR，2x0 D xR，x20考点： 命题的真假判断与应用所有专题： 简易逻辑分析： 举例说明是A、B真命题，根据指数函数的
3、定义与性质，判断C是真命题；举例说明D是假命题解答： 解：对于A，x=1时，lg1=0，A是真命题；对于B，x=0时，tan0=0，B是真命题；对于C，xR，2x0，C是真命题；对于D，当x=0时，x2=0，D是假命题故选：D点评： 本题考查了特称命题与全称命题的应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是综合性题目4（5分）（2016惠州模拟）已知=（a，2），=（1，1a），且，则a=（） A 1 B 2或1 C 2 D 2考点： 平面向量共线（平行）的坐标表示所有专题： 平面向量及应用分析： 根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出a的值即可解答： 解：=（a，2），=（1，1a），且，a（
4、1a）（2）1=0，化简得a2a2=0，解得a=2或a=1；a的值是2或1故选：B点评： 本题考查了平面向量平行的坐标表示的应用问题，是基础题目5（5分）（2016惠州模拟）ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=3，c=2，则A=（） A 30 B 45 C 60 D 90考点： 余弦定理所有专题： 解三角形分析： 根据题意和余弦定理求出cosA的值，由A的范围求出角A的值解答： 解：a=，b=3，c=2，由余弦定理得，cosA=，又由A（0，180），得A=60，故选：C点评： 本题考查了余弦定理的应用，属于基础题6（5分）（2016惠州模拟）已知函数，则=（） A B
5、 C D 考点： 函数的值所有专题： 函数的性质及应用分析： 首先求出的函数值，然后判断此函数值所在范围，继续求其函数值解答： 解：因为0，所以f（）=2，又20，所以f（2）=22=；故选：B点评： 本题考查了分段函数的函数值求法；关键是明确自变量所属的范围，代入对应的解析式计算即可7（5分）（2016惠州模拟）已知某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图是边长为1的正方形，俯视图是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（） A 2 B 1 C D 考点： 由三视图求面积、体积所有专题： 计算题；空间位置关系与距离分析： 根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱
6、；结合图中数据求出它的体积解答： 解：根据几何体的三视图，得该几何体是如图所示的直三棱柱；且该三棱柱的底面是边长为1的等腰直角三角形1，高为1；所以，该三棱柱的体积为V=Sh=111=故选：C点评： 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目8（5分）（2016惠州模拟）已知实数x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（） A 2 B 2 C 1 D 1考点： 简单线性规划所有专题： 不等式的解法及应用分析： 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值解答： 解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y
7、=，由图象可知当直线y=经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最大由，得，即A（0，1），此时z的最大值为z=0+21=2，故选：B点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法9（5分）（2016惠州模拟）的图象中相邻的两条对称轴间距离为（） A 3 B C D 考点： 正弦函数的对称性所有专题： 计算题分析： 先对函数式化简整理得f（x）=，再根据正弦函数的性质求得函数图象的对称轴，进而相邻的两条对称轴间距离可得解答： 解：=图象的对称轴为，即故相邻的两条对称轴间距离为故选C点评： 本题主要考查了正弦函数的对称性属基础题10（5分）（2005天津）设、为平面，
8、m、n、l为直线，则m的一个充分条件是（） A ，=l，ml B =m， C ，m D n，n，m考点： 直线与平面垂直的判定所有专题： 证明题；转化思想分析： 根据面面垂直的判定定理可知选项A是否正确，根据平面与平面的位置关系进行判定可知选项B和C是否正确，根据垂直于同一直线的两平面平行，以及与两平行平面中一个垂直则垂直于另一个平面，可知选项D正确解答： 解：，=l，ml，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m，故不正确；=m，而与可能平行，也可能相交，则m与不一定垂直，故不正确；，m，而与可能平行，也可能相交，则m与不一定垂直，故不正确；n，n，而m，则m，故正确故选D点评： 本小题主要考
9、查空间线面关系、面面关系以及充分条件的判定等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力，属于基础题11（5分）（2016惠州模拟）将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，则每所大学至少保送1人的不同保送方法数为（）种 A 150 B 180 C 240 D 540考点： 计数原理的应用所有专题： 排列组合分析： 每所大学至少保送一人，可以分类来解，当5名学生分成2，2，1时，共有C52C32A33，当5名学生分成3，1，1时，共有C53A33，根据分类计数原理得到结果解答： 解：当5名学生分成2，2，1或3，1，1两种形式，当5名学生
10、分成2，2，1时，共有C52C32A33=90种结果，当5名学生分成3，1，1时，共有C53A33=60种结果，根据分类计数原理知共有90+60=150故不同保送的方法数为150种，故选：A点评： 本题考查了分组分配问题，关键是如何分组，属于中档题12（5分）（2016惠州模拟）已知抛物线与双曲线有共同的焦点F，O为坐标原点，P在x轴上方且在双曲线上，则的最小值为（） A B C D 考点： 双曲线的简单性质所有专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 抛物线，可得x2=8y，焦点F为（0，2），则双曲线的c=2，可得双曲线方程，利用向量的数量积公式，结合配方法，即可求出的最小值解答：
11、 解：抛物线，可得x2=8y，焦点F为（0，2），则双曲线的c=2，则a2=3，即双曲线方程为，设P（m，n）（n），则n23m2=3，m2=n21，则=（m，n）（m，n2）=m2+n22n=n21+n22n=（n）2，因为n，故当n=时取得最小值，最小值为32，故选：A点评： 本题考查抛物线、双曲线的方程与性质，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题二填空题：本大题共4小题，每小题5分13（5分）若，则cos2=考点： 诱导公式的作用；二倍角的余弦所有分析： 由sin（+）=cos及cos2=2cos21解之即可解答： 解：由可知，而故答案为：点评： 本题考查诱导公式及二倍角
12、公式的应用14（5分）（2016惠州模拟）（x）4的展开式中常数项为（用数字表示）考点： 二项式定理所有专题： 计算题；二项式定理分析： 利用二项展开式的通项公式Tr+1=（）rx42r，令42r=0得r=2，即可求出（x）4的展开式中常数项解答： 解：设（x）4展开式的通项为Tr+1，则Tr+1=（）rx42r，令42r=0得r=2展开式中常数项为：（）2=故答案为：点评： 本题考查二项式系数的性质，利用通项公式化简是关键，属于中档题15（5分）（2016惠州模拟）（理）+2考点： 定积分所有专题： 计算题分析： 根据定积分的定义，找出三角函数的原函数然后代入计算即可解答： 解：（x+sin
13、x）=+1（1）=+2，故答案为+2点评： 此题考查定积分的性质及其计算，是高中新增的内容，要掌握定积分基本的定义和性质，解题的关键是找出原函数16（5分）（2016惠州模拟）如数表，为一组等式：某学生猜测S2n1=（2n1）（an2+bn+c），老师回答正确，则3a+b=4考点： 归纳推理所有专题： 规律型分析： 利用所给等式，对猜测S2n1=（2n1）（an2+bn+c），进行赋值，即可得到结论解答： 解：由题意，3a+b=4故答案为：4点评： 本题考查了归纳推理，根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
14、17（12分）（2016惠州模拟）已知an为等差数列，且满足a1+a3=8，a2+a4=12（）求数列an的通项公式；（）记an的前n项和为Sn，若a3，ak+1，Sk成等比数列，求正整数k的值考点： 等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式所有专题： 等差数列与等比数列分析： （）由题意可得首项和公差的方程组，解方程组可得通项公式；（）由（）可得Sn，进而可得a3，ak+1，Sk，由等比数列可得k的方程，解方程即可解答： 解：（）设数列an的公差为d，由题意可得，解方程组可得a1=2，d=2，an=2+2（n1）=2n；（）由（）可得，a3=23=6，ak+1=2（k+1）
15、，a3，ak+1，Sk成等比数列，（2k+2）2=6（k2+k），化简可得k2k2=0，解得k=2或k=1，kN*，k=2点评： 本题考查等差数列的通项公式和求和公式，涉及等比数列的通项公式，属中档题18（12分）（2016惠州模拟）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为5，15，（15，25，（25，35，（35，45，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图），（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在5，15内的小球个数为X，求X的分布列和
16、数学期望（以直方图中的频率作为概率）考点： 离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差所有专题： 概率与统计分析： （1）求解得a=0.03，由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20根据平均数值公式求解即可（2）XB（3，），根据二项分布求解P（X=0），P（X=1），P（X=2）=，P（X=3），列出分布列，求解数学期望即可解答： 解：（1）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）10=1解得a=0.03；又由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20，而50个样本小球重量的平均值为：=0.210+0.3220+0.330+0.
17、1840=24.6（克）故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克（2）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在5，15内的0.2；则XB（3，），X=0，1，2，3；P（X=0）=（）3=；P（X=1）=（）2=；P（X=2）=（）（）2=；P（X=3）=（）3=，X的分布列为：X 0 1 2 3P 即E（X）=0=点评： 本题考查了离散型的随机变量及概率分布列，数学期望的求解，注意阅读题意，得出随机变量的数值，准确求解概率，难度不大，需要很好的计算能力19（12分）（2016惠州模拟）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=AA1=BC1=2，AA1C1=60，平面ABC1平面AA1C
18、1C，AC1与A1C相交于点D（1）求证：BD平面AA1C1C；（2）求二面角C1ABC的余弦值考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定所有专题： 计算题；空间位置关系与距离分析： （1）由平行四边形AA1C1C中AC=A1C1，结合题意证出AA1C1为等边三角形，同理得ABC1是等边三角形，从而得到中线BDAC1，利用面面垂直判定定理即可证出BD平面AA1C1C（2）以点D为坐标原点，DA、DC、DB分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面ABC1与平面ABC的法向量，从而可算出二面角C1ABC的余弦值解答： 解：（1）四边形AA1C1C为平行四边形，AC=A1C1
19、，AC=AA1，AA1=A1C1，AA1C1=60，AA1C1为等边三角形，同理ABC1是等边三角形，D为AC1的中点，BDAC1，平面ABC1平面AA1C1C，平面ABC1平面AA1C1C=AC1，BD平面ABC1，BD平面AA1C1C（2）以点D为坐标原点，DA、DC、DB分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，平面ABC1的一个法向量为，设平面ABC的法向量为，由题意可得，则，所以平面ABC的一个法向量为=（，1，1），cos=即二面角C1ABC的余弦值等于点评： 本题在三棱柱中求证线面垂直，并求二面角的平面角大小着重考查了面面垂直的判定与性质、棱柱的性质、余弦定理、二面角的定义及求
20、法等知识，属于中档题20（12分）（2014陕西）如图，曲线C由上半椭圆C1：+=1（ab0，y0）和部分抛物线C2：y=x2+1（y0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为（）求a，b的值；（）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若APAQ，求直线l的方程考点： 直线与圆锥曲线的综合问题所有专题： 向量与圆锥曲线分析： （）在C1、C2的方程中，令y=0，即得b=1，设C1：的半焦距为c，由=及a2c2=b2=1得a=2；（）由（）知上半椭圆C1的方程为+x2=1（y0），设其方程为y=k（x1）（k0），代入C1的方程，整理得（k2+4）x22
21、k2x+k24=0（*）设点P（xp，yp），依题意，可求得点P的坐标为（，）；同理可得点Q的坐标为（k1，k22k），利用=0，可求得k的值，从而可得答案解答： 解：（）在C1、C2的方程中，令y=0，可得b=1，且A（1，0），B（1，0）是上半椭圆C1的左右顶点设C1：的半焦距为c，由=及a2c2=b2=1得a=2a=2，b=1（）由（）知上半椭圆C1的方程为+x2=1（y0）易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y=k（x1）（k0），代入C1的方程，整理得（k2+4）x22k2x+k24=0（*）设点P（xp，yp），直线l过点B，x=1是方程（*）的一个根，由求根公式，得xp
22、=，从而yp=，点P的坐标为（，）同理，由得点Q的坐标为（k1，k22k），=（k，4），=k（1，k+2），APAQ，=0，即k4（k+2）=0，k0，k4（k+2）=0，解得k=经检验，k=符合题意，故直线l的方程为y=（x1），即8x+3y8=0点评： 本题考查椭圆与抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、函数与方程思想，属于难题21（12分）（2016惠州模拟）已知函数f（x）=x（xa）2，g（x）=x2+（a1）x+a（其中aR）（1）如果函数y=f（x）和y=g（x）有相同的极值点，求
23、a的值，并直接写出函数f（x）的单调区间；（2）令F（x）=f（x）g（x），讨论函数y=F（x）在区间1，3上零点的个数考点： 利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性所有专题： 函数的性质及应用；导数的综合应用分析： （1）求出函数y=f（x）的导数，求出极值点，通过与y=g（x）有相同的极值点相同，求a的值，利用导数值的符号直接写出函数y=f（x）的单调区间；（2）化简方程f（x）g（x）=0，构造函数，通过a的讨论，利用判别式是否为0，即可求解在区间1，3上实数解的个数，即函数零点的个数解答： 解：（1）f（x）=x（xa）2=x32ax2+a2x，则f（x
24、）=3x24ax+a2=（3xa）（xa），令f（x）=0，得x=a或x=，而二次函数g（x）在x=处有极大值，=a或=；综上：a=3或a=1当a=3时，y=f（x）的单调增区间是（，1，3，+），减区间是（1，3），当a=1时，y=f（x）的单调增区间是，减区间是；（2）F（x）=f（x）g（x）=x（xa）2+x2（a1）xa，=x（xa）2+（xa）（x+1），=（xa）x2+（1a）x+1，令h（x）=x2+（1a）x+1，则=（a+1）（a3）1当1a3时，0，h（x）=0无解，故原方程的解为x=a1，3，满足题意，即原方程有一解，函数y=F（x）在区间1，3有唯一零点；2当a=3时
25、，=0，h（x）=0的解为x=1，故原方程有两解，x=1，3，故函数y=F（x）在区间1，3有2个零点；3当a=1时，=0，h（x）=0的解为x=1，故原方程有一解，x=1，故函数y=F（x）在区间1，3有1个零点4当a3时，0，由于h（1）=a+14，h（0）=1，h（3）=133a若133a0，即a时，h（x）=0在1，3上有一解，故函数y=F（x）在区间1，3有1个零点；若133a=0，即a=时，h（x）=0在1，3上有两解，故函数y=F（x）在区间1，3有2个零点；若133a0，即3a时时，h（x）=0在1，3上两解，故函数y=F（x）在区间1，3有2个零点；5当a1时，0，由于h（1
26、）=a+10，h（0）=1，h（3）=133a0，h（x）=0在1，3上有一解，故函数y=F（x）在区间1，3有1个零点；综上可得：当3a时时，函数y=F（x）在1，3上有2个零点；当a3或x时，函数y=F（x）在1，3上有有1个零点点评： 本题考查函数与导数的应用，函数的极值以及函数的单调区间，函数的零点的判断，考查分类讨论思想的应用，转化思想以及计算能力，属于难题请考生在第22、23、24题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分，答题时请写清题号【选修4-1：几何证明选讲】22（10分）（2013辽宁）（选修41几何证明选讲）如图，AB为O的直径，直线CD与O相切于E，AD垂直CD于
27、D，BC垂直CD于C，EF垂直于AB于F，连接AE，BE，证明：（1）FEB=CEB；（2）EF2=ADBC考点： 与圆有关的比例线段所有专题： 综合题分析： （1）直线CD与O相切于E，利用弦切角定理可得CEB=EAB由AB为O的直径，可得AEB=90又EFAB，利用互余角的关系可得FEB=EAB，从而得证（2）利用（1）的结论及ECB=90=EFB和EB公用可得CEBFEB，于是CB=FB同理可得ADEAFE，AD=AF在RtAEB中，由EFAB，利用射影定理可得EF2=AFFB等量代换即可解答： 证明：（1）直线CD与O相切于E，CEB=EABAB为O的直径，AEB=90EAB+EBA=
28、90EFAB，FEB+EBF=90FEB=EABCEB=EAB（2）BCCD，ECB=90=EFB，又CEB=FEB，EB公用CEBFEBCB=FB同理可得ADEAFE，AD=AF在RtAEB中，EFAB，EF2=AFFBEF2=ADCB点评： 熟练掌握弦切角定理、直角三角形的互为余角的关系、三角形全等的判定与性质、射影定理等是解题的关键【选修4-4：坐标系与参数方程】23（2016惠州模拟）在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（t为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆C2的方程为=2cos+2sin（）求直线C1的普通方程和圆C2的圆心的极坐标；（）
29、设直线C1和圆C2的交点为A，B，求弦AB的长考点： 参数方程化成普通方程所有分析： （）把参数方程化为直角坐标方程，求出圆心的直角坐标，再把它化为极坐标（）由（）求得（1，）到直线xy+1=0 的距离d，再利用弦长公式求得弦长解答： 解：（）由C1的参数方程消去参数t得普通方程为 xy+1=0，圆C2的直角坐标方程（x+1）2+=4，所以圆心的直角坐标为（1，），所以圆心的一个极坐标为（2，）（）由（）知（1，）到直线xy+1=0 的距离 d=，所以AB=2=点评： 本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于基础题【选修4-5：不等式选讲】24（2
30、016惠州模拟）已知关于x的不等式m|x2|1，其解集为0，4（）求m的值；（）若a，b均为正实数，且满足a+b=m，求a2+b2的最小值考点： 二维形式的柯西不等式；绝对值不等式的解法所有专题： 选作题；不等式分析： （）去掉绝对值，求出解集，利用解集为0，4，求m的值；（）利用柯西不等式，即可求a2+b2的最小值解答： 解：（）不等式m|x2|1可化为|x2|m1，（1分）1mx2m1，即3mxm+1，（2分）其解集为0，4，m=3（5分）（）由（）知a+b=3，（a2+b2）（12+12）（a1+b1）2=（a+b）2=9，a2+b2，a2+b2的最小值为（10分）点评： 本题考查不等式的解法，考查柯西不等式，正确运用柯西不等式是关键
