1、北京市东城区2017-2018学年上学期高二年级期末考试数学试卷（理科） 2018.1本试卷共4页，共100分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共36分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若A，B两点的纵坐标相等，则直线AB的倾斜角为A.0 B. C. D.2.已知命题，lgx00 B. ，lg x00C. ，lgx0 D. ，lg x003.在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则边AB，AC所在直线的斜率之
2、和为A. B.-1 C.0 D. 4.已知m，n表示两条不同的直线，表示平面，且，则“mn”是“m”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体），其中白点代表钠原子，黑点代表氯原子.建立空间直角坐标系O-xyz后，图中最上层中心的钠原子所在位置的坐标是A. B.(0,0,1) C. D. 6.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，四面体A-B1CD1在面AA1D1D上的正投影图形为7.设椭圆 (ab0)的左、右焦点分别是F1，F2，线段F1F2被点分成
3、3:1的两段，则此椭圆的离心率为A. B. C. D. 8.已知直线l，m和平面，且l，m，则下列命题中正确的是A.若，则lm B.若，则lmC.若l，则m D.若lm，则9.若半径为1的动圆与圆(x-1)2+y2=4相切，则动圆圆心的轨迹方程为A.(x-l)2+y2=9 B.(x-l)2+y2=3C.(x-l)2+y2=9或(x-l)2+y2=1 D.(x-1)2+y2=3或(x-l)2+y2=510.已知双曲线(a0,b0)的焦距为10，点P(2,l)在C的一条渐近线上，则C的方程为A. B. C. D. 11.平面上动点P到定点F与定直线l的距离相等，且点F与直线l的距离为1.某同学建立
4、直角坐标系后，得到点P的轨迹方程为x2=2y-1，则它的建系方式是12.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N为棱A1D1，AB上的动点，且，则线段MN中点P的轨迹为A.线段B.圆的一部分C.椭圆的一部分D.双曲线的一部分第二部分（非选择题共64分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13.在空间直角坐标系中，点P(2,-1,1)在yOz平面内的射影为Q(x,y,z)，则x+y+z=_.14.若直线l与直线2x-y-1=0垂直，且不过第一象限，试写出一个直线l的方程：_.15.已知直线l：x-y-m=0经过抛物线y2=8x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，则m=_，_
5、.16.圆(x-l)2+y2=2绕直线kx-y-k=0旋转一周所得的几何体的表面积为_.17.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，B1C1的中点，若CMN=90，则异面直线AD1与DM所成的角为_.18.已知曲线C上的任意一点M(x,y)满足到两条直线的距离之积为12.给出下列关于曲线C的描述：曲线C关于坐标原点对称；对于曲线C上任意一点M(x,y)一定有；直线y=x与曲线C有两个交点；曲线C与圆x2+y2=16无交点.其中所有正确描述的序号是_.三、解答题（本大题共4小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.（本题满分10分）已知直线l过点A(0,
6、4)，且在两坐标轴上的截距之和为1.（）求直线l的方程；（）若直线l1与直线l平行，且l1与l间的距离为2，求直线l1的方程.20.（本题满分11分）已知圆C：x2+y2+10x+10y+34=0.（）试写出圆C的圆心坐标和半径；（）圆D的圆心在直线x=-5上，且与圆C相外切，被x轴截得的弦长为10，求圆D的方程；（）过点P(0,2)的直线交（）中圆D于E，F两点，求弦EF的中点M的轨迹方程.21.（本题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，BAD=60，Q为AD的中点.（）若PA=PD，求证：平面PQB平面PAD；（）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定实数t的值，
7、使PA平面MQB；（）在（）的条件下，若平面PAD平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M-BQ-C的大小.22.（本题满分13分）已知椭圆(ab0)的焦点在圆x2+y2=3上，且离心率为.（）求椭圆C的方程；（）过原点O的直线l与椭圆C交于A，B两点，F为右焦点，若FAB为直角三角形，求直线l的方程.参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）题号123456789101112答案ACCDAACBCDCB二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）题号131415161718答案0（答案不唯一）2 16890注：两个空的填空题第一个空填对得1分，第二个空填对得2
8、分.三、解答题（本大题共4小题，共46分）19.（本题满分10分）解：（）由直线l过点(0,4)，所以直线l在y轴上的截距为4.由已知条件可得直线l在x轴上的截距为-3，即直线过点B(-3,0).故直线方程为，即4x-3y+12=0. 4分（）由条件设直线l1的方程为4x-3y+m=0，由两条直线间的距离为2，可得(0,4)到直线l1的距离为2，则有，解得m=2或m=22.故所求直线l1的方程为4x-3y+2=0或4x-3y+22=0. 10分20.（本题满分11分）解：（）将圆的方程改写为(x+5)2+(y+5)2=16，故圆心坐标为(-5,-5)，半径为4. 4分（）设圆D的半径为r，圆心
9、纵坐标为b，由条件可得r2=(r-1)2+52，解得r=13.此时圆心纵坐标b=r-1=12.所以圆D的方程为(x+5)2+(y-12)2=169. 8分（）设M(x,y)，依题意有DMPM.即（x0且x-5），整理得x2+y2+5x-14y+24=0（x0且x-5）.当x=0时，y=12，符合题意，当x=-5时，y=2，符合题意.故所求点M的轨迹方程为x2+y2+5x-14y+24=0. 11分21.（本题满分12分）证明：（）连接BD.因为AD=AB，BAD=60，所以ABD为正三角形.因为Q为AD的中点，所以ADBQ.因为PA=PD，Q为AD中点，所以ADPQ.又BQPQ=Q，所以AD平
10、面PQB.因为，所以平面PQB平面PAD. 4分（）连接AC，交BQ于点N.由AQBC，可得ANQCNB，所以.因为PA平面MQB，平面PAC平面MQB=MN，所以PAMN.所以，即，所以. 8分（）由PA=PD=AD=2，Q为AD的中点，则PQAD，又平面PAD平面ABCD，所以PQ平面ABCD.以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系，则A(1,0,0)，Q(0,0,0)，.，.设平面MQB的法向量为n=(x,y,z)，可得因为PAMN，所以即令z=1，则，y=0.于是.取平面ABCD的法向量m=(0,0,l)，所以.故二面角M-BQ-C的大小为60. 12分22.（本题满分13分）解：（）因为椭圆的焦点在x轴上，所以焦点为圆x2+y2=3与x轴的交点，即，.所以.又离心率，所以a=2.故所求椭圆方程为. 4分（）当FAB为直角三角形时，显然直线l斜率存在，可设直线l方程为y=kx，设A(x1,y1)，B(x2,y2).（）当FAFB时，.由消y得(4k2+1)x2-4=0.则x1+x2=0，.解得.此时直线l的方程为. 8分（）当FA与FB不垂直时，根据椭圆的对称性，不妨设.所以解得所以此时直线l的方程为.综上，直线l的方程为或. 13分
