1、解答题(八)第二部分刷题型17(2019江西南昌一模)如图，四棱台 ABCDA1B1C1D1 中，底面 ABCD是菱形，CC1底面 ABCD，且BAD60，CDCC12C1D14，E 是棱BB1 的中点(1)求证：AA1BD；(2)求二面角 EA1C1C 的余弦值解(1)证明：因为 CC1底面 ABCD，所以 C1CBD，因为底面 ABCD是菱形，所以 BDAC.又 ACCC1C，所以 BD平面 AC1C，又由四棱台 ABCDA1B1C1D1，知 A1，A，C，C1 四点共面，所以 BD平面 A1ACC1，所以 BDAA1.(2)设 AC 交 BD 于点 O，连接 A1O，依题意，有 A1C1
2、OC 且 A1C1OC，所以四边形 A1OCC1 为平行四边形，所以 A1OCC1，且 A1OCC1.因为 CC1底面 ABCD，所以 A1O底面 ABCD.以 O 为坐标原点，OA，OB，OA1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示则 A(2 3，0,0)，A1(0,0,4)，C1(2 3，0,4)，B(0,2,0)，由A1B1 12AB，得 B1(3，1,4)，因为 E 是棱 BB1 的中点，所以 E 32，32，2，所以EA1 32，32，2，A1C1(2 3，0,0)，设 n(x，y，z)为平面 EA1C1 的法向量，则nA1C1 2 3x0，nEA1 3
3、2 x32y2z0，取 z3，得 n(0,4,3)，平面 A1C1C 的法向量 m(0,1，0)，又由图可知，二面角 EA1C1C 为锐二面角，设二面角 EA1C1C 的平面角为，则 cos|mn|m|n|45，所以二面角 EA1C1C 的余弦值为45.18(2019福建三明质量检查)ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且 b3(acosBbcosA)，bc8.(1)求 b，c；(2)若 BC 边上的中线 AD72，求ABC 的面积解(1)由正弦定理，得 sinB3(sinAcosBsinBcosA)，所以 sinB3sin(AB)，因为 ABC，所以 sin(AB)sin(
4、C)sinC，即 sinB3sinC，所以 b3c，又因为 bc8，所以 b6，c2.(2)在ABD 和ACD 中，由余弦定理，得 c2AD2BD22ADBDcosADB，b2AD2CD22ADCDcosADC.因为 b6，c2，BDDCa2，AD72，又因为ADBADC，即 cosADBcosADC，所以 a231，所以 cosBACb2c2a22bc38，又因为BAC(0，)，所以 sinBAC 558.所以ABC 的面积 SABC12bcsinBAC3 554.19(2019湖北黄冈 2 月联考)从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率
5、分布直方图：(1)求这 100 件产品质量指标值的样本平均数 x和样本方差 s2(同一组的数据用该组区间的中点值作为代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N(，2)，其中 近似为样本平均数 x，2 近似为样本方差 s2.若某用户从该企业购买了 10 件这种产品，记 X 表示这 10 件产品中质量指标值位于(187.4,225.2)的产品件数，求 E(X)；一天内抽取的产品中，若出现了质量指标值在(3，3)之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查右面的茎叶图是检验员在一天内抽取的 15 个产品的质量指标值，根据近似值判断
6、是否需要对当天的生产过程进行检查附：15912.6，P(X)0.6826，P(2X2)0.9544，P(3X0)，过抛物线的焦点 F 且与 y 轴垂直的直线与抛物线相交于 A，B 两点，且OAB 的周长为 2 5.(1)求抛物线 C 的方程；(2)若直线 l 过焦点 F 且与抛物线 C 相交于 M，N 两点，过点 M，N 分别作抛物线 C 的切线 l1，l2，切线 l1 与 l2 相交于点 P，求|PF|2|MF|NF|的值解(1)由题意，知焦点 F 的坐标为0，p2，将 yp2代入抛物线 C 的方程可求得点 A，B 的坐标分别为p，p2，p，p2，则|AB|2p，|OA|OB|p2p22 5
7、2 p，可得OAB 的周长为 2p 5p，则 2p 5p2 5，解得 p1.故抛物线 C 的方程为 x22y.(2)由(1)，知抛物线 C 的方程可化为 y12x2，求导可得 yx.设点 M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线 l 的方程为 ykx12(直线 l 的斜率显然存在)联立方程ykx12，y12x2，整理，得 x22kx10，则x1x22k，x1x21，所以 y1y2k(x1x2)12k21，y1y214x21x2214.因为 y112x21，yx1，所以直线 l1 的方程为 y12x21x1(xx1)，即 yx1x12x21.同理可得直线 l2 的方程为 yx2x1
8、2x22.联立方程yx1x12x21，yx2x12x22，解得xx1x22，yx1x22，则点 P 的坐标为k，12.由 抛 物 线 的 几 何 性 质，知|MF|y1 12，|NF|y2 12，|PF|k0212122 k21，所以|MF|NF|y112 y212 y1y212(y1y2)141412(2k21)14k21，所以|PF|2|MF|NF|0.21(2019河南濮阳 5 月模拟)已知 aR，函数 f(x)ln(x1)x2ax2.(1)若函数 f(x)在2，)上为减函数，求实数 a 的取值范围；(2)设正实数 m1，m2 满足 m1m21，求证：对(1，)上的任意两个实数 x1，x
9、2，总有 f(m1x1m2x2)m1f(x1)m2f(x2)成立解(1)由题意，知 f(x)1x12xa，函数 f(x)在2，)上为减函数，即 f(x)0 在 x2，)上恒成立，即 a2x 1x1在 x2，)上恒成立，设 h(x)2x 1x1，当 x2 时，1x1单调递减，2x 单调递增，h(x)在2，)上单调递增，h(x)minh(2)413113，a113，即 a 的取值范围为，113.(2)证明：设1x1x2，令 F(x)f(m1xm2x2)m1f(x)m2f(x2)，x(1，x2，则 F(x2)f(m1m2)x2(m1m2)f(x2)0，F(x)m1f(m1xm2x2)m1f(x)m1
10、f(m1xm2x2)f(x)，m1xm2x2xx(m11)m2x2m2xm2x2m2(x2x)0，m1xm2x2x，f(x)1x12xa，令 g(x)f(x)，则 g(x)1x1220，f(x)在 x(1，)上为减函数，f(m1xm2x2)f(x)，m1f(m1xm2x2)f(x)0，即 F(x)0，F(x)在 x(1，x2上是减函数，F(x)F(x2)0，即 F(x)0，f(m1xm2x2)m1f(x)m2f(x2)0，x(1，x2时，f(m1xm2x2)m1f(x)m2f(x2)，1x1x2，f(m1x1m2x2)m1f(x1)m2f(x2)22在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，
11、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1：cos3，曲线 C2：4cos02.(1)求 C1 与 C2 交点的极坐标；(2)设点 Q 在 C2 上，OQ 23QP，求动点 P 的极坐标方程解(1)联立cos3，4cos，解得 cos 32，02 的解集；(2)若二次函数 yx22x3 与函数 yf(x)的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围解(1)当 m5 时，f(x)3x6，x1.由 f(x)2 解得不等式的解集为x43x0.(2)由二次函数 yx22x3(x1)22，该函数在 x1 处取得最小值 2，因为f(x)3x1m，x1在 x1 处取得最大值 m2，所以要使二次函数与 yf(x)的图象恒有公共点，只需 m22，即 m4.本课结束
