1、第41练概率的两类模型题型一古典概型问题例1某班级的某一小组有6位学生，其中4位男生，2位女生，现从中选取2位学生参加班级志愿者小组，求下列事件的概率：(1)选取的2位学生都是男生；(2)选取的2位学生一位是男生，另一位是女生破题切入点先求出任取2位学生的基本事件的总数，然后分别求出所求的两个事件含有的基本事件数，再利用古典概型概率公式求解解(1)设4位男生的编号分别为1,2,3,4,2位女生的编号分别为5,6.从6位学生中任取2位学生的所有可能结果为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，
2、(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种从6位学生中任取2位学生，所取的2位全是男生的方法数，即从4位男生中任取2个的方法数，共有6种，即(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)所以选取的2位学生全是男生的概率为P1.(2)从6位学生中任取2位，其中一位是男生，而另一位是女生，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8种所以选取的2位学生一位是男生，另一位是女生的概率为P2.题型二几何概型问题例2(2013四川)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通
3、电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()A. B.C. D.破题切入点由几何概型的特点，利用数形结合即可求解答案C解析设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x、y，x、y相互独立，由题意可知，如图所示两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P(|xy|2).题型三古典概型与几何概型的综合问题例3已知关于x的一元二次方程9x26axb240，a，bR.(1)若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求已知方程有两个不相等实根的概率；(2)若a是从
4、区间0,3内任取的一个数，b是从区间0,2内任取的一个数，求已知方程有实数根的概率破题切入点本题中含有两个参数，显然要将问题转化为含参数的一元二次方程有解的条件问题第(1)问利用列举法将基本事件罗列出来，再结合题意求解第(2)问将a，b满足的不等式转化为可行域平面区域问题，从而利用几何概型的概率公式求解解设事件A为“方程9x26axb240有两个不相等的实数根”；事件B为“方程9x26axb240有实数根”(1)由题意，知基本事件共9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值由
5、36a236(b24)36a236b23640，得a2b24.事件A要求a，b满足条件a2b24，可知包含6个基本事件：(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，所以方程有两个不相同实根的概率P(A).(2)由题意，方程有实根的区域为图中阴影部分，故所求概率为：P(B)1.总结提高(1)求解古典概型问题的三个步骤判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求事件A.分别计算基本事件的总数n和所求事件A所包含的基本事件的个数m.利用古典概型的概率公式P(A)求出事件A的概率若直接求解比较困难，则可以利用间接的方法，如逆向思维，先求其对立事件的概率，进而再求所求事件的概率(2)几何概
6、型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域，这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决(3)几何概型的概率求解，一般要将问题转化为长度、面积或体积等几何问题在转化中，面积问题的求解常常用到线性规划知识，也就是用二元一次不等式(或其他简单不等式)组表示区域几何概型的试验中事件A的概率P(A)只与其所表示的区域的几何度量(长度、面积或体积)有关，而与区域的位置和形状无关1从标有1,2,3，7的7个小球中取出一球，记下它上面的数字，放回后再取出一球，记下它上面的数字，然后
7、把两数相加得和，则取得的两球上的数字之和大于11或者能被4整除的概率是()A. B. C. D.答案A2已知实数a，b满足x1，x2是关于x的方程x22xba30的两个实根，则不等式0x110，f(1)0，即建立平面直角坐标系如图满足题意的区域为图中阴影部分，故所求概率P.3(2014陕西)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()A. B. C. D.答案C解析取两个点的所有情况为10种，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为.故选C.4有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O
8、的距离大于1的概率为()A. B. C. D.答案B解析设点P到点O的距离小于等于1的概率为P1，由几何概型，则P1，故点P到点O的距离大于1的概率P1.5在区间0,2上随机取两个数x，y，则xy0,2的概率是()A. B.C. D.答案C解析显然在区间0,2上任取两数其积一定不小于零，故问题等价于在0,2上随机取数x，y使xy2的概率由xy2，即y，所求的概率是.6.如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数yx2图象下方的点构成的区域(阴影部分)向D中随机投一点，则该点落入E中的概率为()A. B. C. D.答案C解析S阴影2x2dx2x3|2，P.7一个箱子中有9张标有1,2,
9、3,4,5,6,7,8,9的卡片，从中依次取两张，在第一张是奇数的条件下，第二张也是奇数的概率是_答案解析方法一设“第一张是奇数”记为事件A，“第二张是奇数”记为事件B，P(A)，P(AB)，所以P(B|A).方法二设“第一张是奇数”记为事件A，“第二张是奇数”记为事件B，则n(A)5840，n(AB)5420.P(B|A).8(2013课标全国)从n个正整数1,2，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n_.答案8解析由题意知，取出的两个数只可能是1与4,2与3这两种情况，在n个数中任意取出两个不同的数的总情况应该是C228，n8.9(2013江苏)现有某类病毒记作Xm
10、Yn，其中正整数m，n(m7，n9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为_答案解析P.10在日前举行的全国大学生智能汽车总决赛中，某高校学生开发的智能汽车在一个标注了平面直角坐标系的平面上从坐标原点出发，每次只能移动一个单位，沿x轴正方向移动的概率是，沿y轴正方向移动的概率为，则该机器人移动6次恰好移动到点(3,3)的概率为_答案解析若该机器人移动6次恰好到点(3,3)，则机器人在移动过程中沿x轴正方向移动3次、沿y轴正方向移动3次，因此机器人移动6次后恰好位于点(3,3)的概率为PC3320.11已知向量a(2,1)，b(x，y)(1)若x、y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的
11、点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足ab1的概率；(2)若x，y在连续区间1,6上取值，求满足ab0的概率解(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6636(个)；由ab1有2xy1，所以满足ab1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个；故满足ab1的概率为.(2)若x，y在连续区间1,6上取值，则全部基本事件的结果为(x，y)|1x6,1y6；满足ab0的基本事件的结果为A(x，y)|1x6,1y6且2xy0；画出图形如图，矩形的面积为S矩形25，阴影部分的面积为S阴影252421，故满足ab85%.方法二该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩至少一个为A的事件概率大于85%.理由如下：该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩全不为A的事件有1种情况，即(，)，其概率为，则物理、化学、生物成绩至少一个为A的概率为P2185%.
