1、解答题(五)第二部分刷题型17(2019江西省吉安市高三下学期第一次模拟)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2ccosB2ab.(1)求角 C 的大小；(2)若函数 f(x)2sin2x6 mcos2x 图象的一条对称轴方程为 xC2，且f2 65，求 cos23 的值解(1)由题意，得 2sinCcosB2sinAsinB，又由 A(BC)，得 sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC，所以 2sinCcosB2sinBcosC2cosBsinCsinB，即 2sinBcosCsinB0，又因为 B(0，)，则 sinB0，所以 cosC12，又C(0
2、，)，C23.(2)因为 f(x)2sin2x6 mcos2x2sin2xcos62cos2xsin6mcos2x3sin2x(m1)cos2x，又函数 f(x)图象的一条对称轴方程为 xC23，f(0)f23，得 m1 3sin43(m1)cos43，解得 m2，f(x)3sin2xcos2x2sin2x6，又 f2 2sin6 65，sin6 35，cos23 cos26 12sin26 725.18(2019广东汕头一模)如图所示，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD为菱形，且 PA平面 ABCD，ABC60，E 是 BC 的中点，F 是 PC 上的点(1)求证：平面 AEF平面 PA
3、D；(2)若 M 是 PD 的中点，当 ABAP 时，是否存在点 F，使直线 EM 与平面AEF 所成角的正弦值为15？若存在，请求出PFPC的值；若不存在，请说明理由解(1)证明：连接 AC，底面 ABCD 为菱形，ABC60，ABC是正三角形，E 是 BC 的中点，AEBC，又 ADBC，AEAD，PA平面 ABCD，AE平面 ABCD，PAAE，又 PAADA，AE平面 PAD，又 AE平面 AEF，平面 AEF平面 PAD.(2)以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设ABAP2，则 AE 3，则 A(0,0,0)，C(3，1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(3
4、，0,0)，M(0,1,1)，设PFPC(3，1，2)，则AFAPPF(0,0,2)(3，1，2)(3，22)，又AE(3，0,0)，设 n(x，y，z)是平面 AEF 的一个法向量，则nAE 3x0，nAF 3xy22z0，取 z，得 n(0,22，)，设直线 EM 与平面 AEF 所成角为，由EM(3，1,1)，得 sin|cosEM，n|EM n|EM|n|32|5222215，化简得 1021340，解得 12或 45，故存在点 F 满足题意，此时PFPC为12或45.19(2019山东聊城二模)某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举办“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领
5、取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱现统计了连续 5 天的售出水量和收益情况，如下表：售出水量 x/箱76656 收益 y/元165 142 148 125 150(1)试建立 y 关于 x 的线性回归方程；(2)预测售出 8 箱水的收益；(3)已知售出 10 箱水时的收益为 225 元，求残差e.附：回 归 直 线 的 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 估 计 公 式 分 别 为 bi1nxiyin x yi1nx2in x2，a ybx.解(1)由所给数据计算得 x15(76656)6，y15(165142148125150)146，i15xiyi71656142614851
6、2561504420，i15x2i7262625262182，所以bi15xiyi5 x yi15x2i5 x244205614618256220，所以a ybx14620626.故所求线性回归方程为y20 x26.(2)将 x8 代入线性回归方程y20 x26 中，得y20826186，所以预测售出 8 箱水的收益为 186 元(3)当 x10 时，y201026226，所以残差e2252261.20(2019湖北荆门四校六月考前模拟)已知函数 f(x)exxa(xln x)，aR.(1)当 ae 时，求 f(x)的最小值；(2)若 f(x)有两个零点，求参数 a 的取值范围解(1)f(x)
7、exxa(xln x)，定义域为(0，)，f(x)exx1x2ax1xx1exaxx2，当 ae 时，f(x)x1exexx2，由于 exex 在(0，)上恒成立，故 f(x)在(0,1)上单调递减，f(x)在(1，)上单调递增故 f(x)minf(1)ea0.(2)f(x)x1exaxx2，当 ae 时，f(x)在(0,1)上单调递减，f(x)在(1，)上单调递增，f(x)minf(1)ea0，f(x)只有一个零点当 ae 时，axex，故 exaxexex0 在(0，)上恒成立，故 f(x)在(0,1)上单调递减，f(x)在(1，)上单调递增f(x)minf(1)ea0，故当ae 时，f(
8、x)没有零点.当 ae 时，令 exax0，得exxa，设(x)exx，则(x)x1exx2，所以(x)在(0,1)上单调递减，(x)在(1，)上单调递增(x)min(1)e，设 h(x)exax，则 h(x)在(0，)有两个零点 x1，x2，且 x1x2，则 0 x11x2，则 f(x)在(0，x1)上单调递减，在(x1,1)上单调递增，在(1，x2)上单调递减，在(x2，)上单调递增，f(1)ea0，又 x0，f(x)，x，f(x)，此时 f(x)有两个零点综上，若 f(x)有两个零点，则 a0)经过点 A(1,2)，过A 作两条不同直线 l1，l2，其中直线 l1，l2 关于直线 x1
9、对称(1)求抛物线 E 的方程及准线方程；(2)设直线 l1，l2 分别交抛物线 E 于 B，C 两点(均不与 A 重合)，若以线段 BC 为直径的圆与抛物线 E 的准线相切，求直线 BC 的方程解(1)抛物线 E 过点 A(1,2)，2p4，解得 p2，抛物线的方程为 y24x，准线方程为 x1.(2)解法一：不妨设 B 在 C 的左边，从而可设直线 AB 的方程为 x1m(y2)(m0)，即 xmy2m1，由xmy2m1，y24x，整理得 y24my8m40.设 B(xB，yB)，则 yB24m，故 yB4m2，xB4m24m1，点 B 的坐标为(4m24m1,4m2)又由条件得 AB 与
10、 AC 的倾斜角互补，以m 代替点 B 坐标中的 m，可得点 C 的坐标为(4m24m1，4m2)|BC|8m28m28 2m，且 BC 的中点的横坐标为xBxC24m21，以线段 BC 为直径的圆与抛物线 E 的准线相切，4m211|BC|2 4 2m，解得 m 22，B(32 2，2 22)，C(32 2，2 22)，kBC1，直线 BC 的方程为 y(2 22)(x32 2)，即 xy10.解法二：设 B(x1，y1)，C(x2，y2)，直线 l1，l2 关于 x1 对称，AB 与AC 的倾斜角互补，kABkACy12x11y22x21y12y2141y22y22414y124y220，
11、y1y24，kBCy1y2x1x2y1y2y214y2244y1y21，设直线 BC 的方程为 yxm，由yxm，y24x，整理得 x2(2m4)xm20，x1x22m4，x1x2m2，|BC|2|x1x2|4 2 m1，且 BC 的中点 D 的横坐标为x1x22m2，以线段 BC 为直径的圆与抛物线的准线 x1 相切，x1x221|BC|2，即 m32 2 m1，解得 m1,直线 BC 的方程为 yx1，即 xy10.22(2018全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的方程为 yk|x|2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 22cos30
12、.(1)求 C2 的直角坐标方程；(2)若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点，求 C1 的方程解(1)由 xcos，ysin，得 C2 的直角坐标方程为(x1)2y24.(2)解法一：由(1)知 C2 是圆心为 A(1,0)，半径为 2 的圆由题设知，C1 是过点 B(0,2)且关于 y 轴对称的两条射线，曲线 C1 的方程为 ykx2，x0，kx2，x0.记 y 轴右边的射线为 l1，y 轴左边的射线为 l2.由于点 B在圆 C2 的外面，故 C1 与 C2 有且仅有三个公共点等价于 l1 与 C2 只有一个公共点且 l2 与 C2 有两个公共点，或 l2 与 C2 只有一个公共点且 l1
13、 与 C2 有两个公共点当 l1与 C2只有一个公共点时，点 A 到 l1所在直线的距离为 2，所以|k2|k212，故 k43或 k0.经检验，当 k0 时，l1 与 C2 没有公共点；当 k43时，l1 与 C2 只有一个公共点，l2 与 C2 有两个公共点当 l2 与 C2 只有一个公共点时，点 A 到 l2 所在直线的距离为 2，所以|k2|k212，故 k0 或 k43.经检验，当 k0 时，l1 与 C2 没有公共点；当 k43时，l2 与 C2 没有公共点.综上，所求 C1 的方程为 y43|x|2.解法二：因为 C2：(x1)2y24，所以 C2 是以(1,0)为圆心，2 为半
14、径的圆又因为 C1：yk|x|2 是关于 y 轴对称的两条射线，且 C1：ykx2，x0，kx2，x0 时，C1 与 C2 无公共点若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点，则必须满足 k0)与 C2 相切，设圆心到射线的距离为 d，则 d|2k|1k22，所以 k0 或 k43，因为 k1 的解集；(2)若 x(0,1)时不等式 f(x)x 成立，求 a 的取值范围解(1)当 a1 时，f(x)|x1|x1|，即 f(x)2，x1，2x，1x1 的解集为xx12.(2)当 x(0,1)时|x1|ax1|x 成立等价于当 x(0,1)时|ax1|0，|ax1|1 的解集为 0 x2a，所以2a1，故 0a2.综上，a 的取值范围为(0,2 本课结束
