1、第一章1.7一、选择题1.(2015祁县高二期中)如图所示,阴影部分的面积是()A2B2C.D答案C解析S (3x22x)dx即F(x)3xx3x2,则F(1)31,F(3)9999.SF(1)F(3)9.故应选C.2由曲线yx21、直线x0、x2和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是()A.(x21)dxB|(x21)dx|C.|x21|dxD.(x21)dx(x21)dx答案C解析y|x21|将x轴下方阴影反折到x轴上方,其定积分为正,故应选C.3曲线yx33x和yx围成的图形面积为()A4B8C10 D9答案B解析由解得或或两函数yx33x与yx均为奇函数,S2x(x33x)dx2(4xx
2、3)dx2(2x2x4)|8,故选B.4一物体以速度v(3t22t)m/s做直线运动,则它在t0s到t3s时间段内的位移是()A31mB36mC38mD40m答案B解析S(3t22t)dt(t3t2)333236(m),故应选B.5一物体在力F(x)4x1(单位:N)的作用下,沿着与力F相同的方向,从x1运动到x3处(单位:m),则力F(x)所做的功为()A8JB10JC12JD14J答案D解析由变力做功公式有:W(4x1)dx(2x2x)14(J),故应选D.6若某产品一天内的产量(单位:百件)是时间t的函数,若已知产量的变化率为a,那么从3小时到6小时期间内的产量为()A.B3C63D63
3、答案D解析dt63,故应选D.二、填空题7由曲线y22x,yx4所围图形的面积是_答案18解析如图,为了确定图形的范围,先求出这两条曲线交点的坐标,解方程组得交点坐标为(2,2),(8,4)因此所求图形的面积S (y4)dy取F(y)y24y,则F(y)y4,从而SF(4)F(2)18.8一物体沿直线以速度vm/s运动,该物体运动开始后10s内所经过的路程是_答案(111)解析Sdt(1t) (111)9由两条曲线yx2,yx2与直线y1围成平面区域的面积是_答案解析解法1:如图,y1与yx2交点A(1,1),y1与y交点B(2,1),由对称性可知面积S2(x2dxdxx2dx).解法2:同解
4、法1求得A(1,1),B(2,1)由对称性知阴影部分的面积S2(x2x2)dx(1x2)dx2x3|(xx3)|2().解法3:同解法1求得A(1,1)B,(2,1),C(1,1),D(2,1)S (1x2)dx (1x2)dx(xx3)|(xx3)|.解法4: 同解法1求得A(1,1),B(2,1),取y为积分变量,由对称性知,S2(2)dy2dy2(y|).三、解答题10计算曲线yx22x3与直线yx3所围图形的面积解析由解得x0及x3.从而所求图形的面积S(x3)(x22x3)dx(x23x)dx.一、选择题11(2015海南文昌中学高二期中)若(2x)dx3ln2且a1,则实数a的值是
5、()A2B3C5D6答案A解析(2x)dx(x2lnx)|a2lna(1ln1)3ln2,a1,a2lna4ln222ln2,解得a2,故选A.12利用定积分的几何意义,可求得 dx()A9BC.D答案B解析由定积分的几何意义知,dx表示圆x2y29位于x轴上方部分(即半圆)的面积,dx32.13(2015葫芦岛市一模)如图,在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形区域的A处与C处各有一个通信基站,其信号覆盖范围分别为如图所示的阴影区域,该正方形区域内无其它信号来源且这两个基站工作正常,若在该正方形区域内随机选择一个地点,则该地点无信号的概率为()A.B1C.D1答案B解析由题意得:S阴2(e
6、ex)dx2(exex)|2,由几何概型得所求概率P11.二、填空题14如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为_答案解析本题考查了定积分的计算与几何概型联立解得,或者,O(0,0),B(1,1),S阴影(x)dx(x)|,P.15已知函数yf(x)的图象在点M(1,f(1)处的切线方程为yx2,则f(1)f (1)_.答案3解析切点M在切线yx2上,f(1)12,又切线斜率k,f (1),f(1)f (1)3.三、解答题16设f(x)是二次函数,其图象过点(0,1),且在点(2,f(2)处的切线方程为2xy30.(1)求f(x)的表达式;(2)求f(x
7、)的图象与两坐标轴所围成图形的面积;(3)若直线xt(0t1)把f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分,求t的值解析(1)设f(x)ax2bxc,其图象过点(0,1),c1,又在点(2,f(2)处的切线方程为2xy30,f (x)2axb,a1,b2,故f(x)x22x1.(2)依题意,f(x)的图象与两坐标轴所围成的图形如图中阴影部分所示,故所求面积S(x22x1)dx(x3x2x)|.(3)依题意,有S (x22x1)dx(x3x2x)|,即t3t2t,2t36t26t10,2(t1)31,t1.17如图,设点P在曲线yx2上,从原点向A(2,4)移动,记直线OP与曲线yx2所围成图形的面积为S1,直线OP、直线x2与曲线yx2所围成图形的面积为S2.(1)当S1S2时,求点P的坐标;(2)当S1S2取最小值时,求点P的坐标及此最小值解析(1)设点P的横坐标为t(0t2),则点P的坐标为(t,t2),直线OP的方程为ytx.S1(txx2)dxt3,S2(x2tx)dx2tt3,因为S1S2,所以t32tt3,解得t,故点P的坐标为(,)(2)令SS1S2,由(1)知,St32tt3t32t,则St22,令S0,得t220,因为0t2,所以t,又当0t时,S0;当t0;故当t时,S1S2有最小值,最小值为,此时点P的坐标为(,2)