1、2015年广东省揭阳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知A=x|x=3k1，kZ，则下列表示正确的是（） A 1A B 11A C 3k+2A D 3k21A【考点】： 元素与集合关系的判断【专题】： 集合【分析】： 判断一个元素是不是集合A的元素，只要看这个元素是否满足条件x=3k1，kZ，即可：若判断一个具体的整数是否为A的元素，只需令这个数等于3k1，解出k，判断k是否满足kZ即可；而若这个元素是含字母的式子时，需要看这个式子能否写成x=3k1，kZ，的形式，按照这个方法判断每个选项的
2、正误即可【解析】： 解：Ak=0时，x=1，1A，该选项错误；B令11=3k1，k=，11A，该选项错误；C.3k+2=3（k1）1，k1Z，3k+2A，该选项错误；D对于3k21，k2Z，3k21A，该选项正确故选D【点评】： 考查描述法表示集合，集合、元素的概念，以及元素与集合的关系，元素与集合关系的判断方法2（5分）已知复数z=1+i，则=（） A 2 B 2 C 2i D 2i【考点】： 复数代数形式的乘除运算【专题】： 数系的扩充和复数【分析】： 利用复数的运算法则即可得出【解析】： 解：复数z=1+i，=2，故选：B【点评】： 本题考查了复数的运算法则，属于基础题3（5分）命题P：
3、“xR，x2+12x”的否定P为（） A xR，x2+12x B xR，x2+12x C xR，x2+12x D xR，x2+12x【考点】： 命题的否定【专题】： 简易逻辑【分析】： 直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【解析】： 解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题P：“xR，x2+12x”的否定P为：xR，x2+12x故选：C【点评】： 本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系4（5分）已知，则cos2=（） A B C D 【考点】： 二倍角的余弦【专题】： 计算题；三角函数的求值【分析】： 由已知及诱导公式可求sin，由二倍角的余弦函数公式即可得解【解析】： 解
4、：，可得sin=，cos2=12sin2=12=故选：A【点评】： 本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式的应用，属于基础题5（5分）设向量=（1，2），=（2，3），若向量与向量=（5，6）共线，则的值为（） A B C D 4【考点】： 平面向量共线（平行）的坐标表示【专题】： 平面向量及应用【分析】： 利用向量的坐标运算、向量共线定理即可得出【解析】： 解：=（1，2）（2，3）=（12，23），与共线，5（23）（6）（12）=0，化为4+3=0，解得故选：A【点评】： 本题考查了向量的坐标运算、向量共线定理，属于基础题6（5分）已知变量x，y满足约束条件，则的最小值是（） A
5、1 B 4 C D 0【考点】： 简单线性规划【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 作出不等式组对应的平面区域，利用直线的斜率的几何意义进行求解即可【解析】： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：则z=，则z的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知OB的斜率最小，由，解得，即B（3，2），则z=，故选：C【点评】： 本题主要考查线性规划以及直线斜率公式的应用，利用数形结合是解决本题的关键7（5分）已知点P在抛物线x2=4y上，那么点P到点M（1，2）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（） A B C （1，2） D （1，2）【考点】： 抛物线的简单性质【专题】
6、： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 过点P作PQl，垂足为Q，连接FP，利用抛物线的定义可得|PQ|=|FP|可知当PQx轴时，点P、Q、M三点共线，因此|PM|+|PF|取得最小值|QM|，求出即可【解析】： 解：抛物线x2=4y的焦点F的坐标为F（0，1），准线方程为y=1，过点P作PQl，垂足为Q，连接FP，则|PQ|=|FP|故当PQy轴时，|PM|+|PF|取得最小值|QM|=2（1）=3设点P（1，y），代入抛物线方程（1）2=4y，解得y=，P（1，）故选：B【点评】： 本题考查抛物线的简单性质，着重考查抛物线的定义的应用，突出转化思想的运用，属于中档题8（5分）连
7、续掷一正方体骰子（各面的点数分别为1，2，3，4，5，6）两次得到的点数分别为m、n，作向量，若，则与的夹角成为直角三角形内角的概率是（） A B C D 【考点】： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率【专题】： 概率与统计【分析】： 总的基本事件共36种，而符合题意的共21个，由概率公式可得【解析】： 解：由题意可得m、n均取自1到6，故向量有66=36种取法，由知，则mn，列举可得这样的（m，n）为（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（6，1），
8、（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）共有1+2+3+4+5+6=21（个），故所求的概率故选：B【点评】： 本题考查古典概型及其概率公式，属基础题二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分（一）必做题（9-13题）9（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点，则的值为1【考点】： 幂函数的概念、解析式、定义域、值域【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 利用待定系数法求出f（x）的表达式即可【解析】： 解：设f（x）=x，则f（3）=3=，解得=1，则f（x）=x1，f（2）=，则logf（2）=log=1，故答案为：1；【点评】： 本题主要考查函数
9、值的计算以及幂函数解析式的求解，利用待定系数法是解决本题的关键10（5分）展开式中的常数项为160【考点】： 二项式系数的性质【专题】： 二项式定理【分析】： 写出二项式的通项，直接由x得系数为0求得r的值，再代入通项求得答案【解析】： 解：由，得=xr3由r3=0，得r=3展开式中的常数项为=160故答案为：160【点评】： 本题考查了二项式定理，考查了二项式的展开式，是基础的计算题11（5分）图中的三个直角三角形是一个体积为30cm3的几何体的三视图，则侧视图中的h=6cm【考点】： 简单空间图形的三视图【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： 根据三视图得出几何体是一个三棱锥，存在两两垂
10、直的棱，画出图形 运用体积公式判断即可【解析】： 解：根据三识图判断得出：PA，AB，AC两两垂直，PA面ABC，且PA=h，AB=6，AC=6，V=5h=30，即h=6，故答案为：6【点评】： 本题考查了空间几何体的三视图，根据给出的数据恢复空间几何体，判断几何体的性质，难度不大，属于中档题12（5分）下表记录了某学生进入高三以来各次数学考试的成绩将第1次到第12次的考试成绩依次记为a1，a2，a12图2是统计上表中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图那么算法流程图输出的结果是7【考点】： 程序框图【专题】： 图表型；算法和程序框图【分析】： 模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是统计1
11、2次考试中成绩大于等于90的次数，根据成绩表即可得解【解析】： 解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是统计12次考试中成绩大于等于90的次数，根据成绩表可知，成绩大于等于90的次数n=7故答案为：7【点评】： 本题主要考查了循环结构的程序框图，解题的关键是弄清算法流程图的含义，属于基础题13（5分）在ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c（acosBbcosA）=b2，则=【考点】： 余弦定理；正弦定理【专题】： 解三角形【分析】： 由条件利用正弦定理和余弦定理求得要求式子的值【解析】： 解：ABC中，c（acosBbcosA）=b2，故由余弦定理可得 acbc=b2，化
12、简可得=2，=再利用正弦定理可得=，故答案为：【点评】： 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14（5分）在极坐标系（，）（02）中，曲线（2cossin）=3与（cos+2sin）=1的交点的极坐标为【考点】： 简单曲线的极坐标方程【专题】： 坐标系和参数方程【分析】： 首先把极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步建立方程组，求出交点的坐标，最后把交点的直角坐标转化为极坐标【解析】： 解：在极坐标系（，）（02）中，曲线（2cossin）=3，转化为直角坐标方程为：2xy3=0曲线（cos+2sin）=1，
13、转化为直角坐标方程为：x+2y+1=0建立方程组为：，解得：所以交点的直角坐标为：（1，1），转化为极坐标为：（，）故答案为：【点评】： 本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程之间的转化，解二元一次方程组，直角坐标与极坐标之间的相互转化主要考查学生的应用能力【几何证明选讲选做题】15如图，点P在圆O的直径AB的延长线上，且PB=OB=3，PC切圆O于C点，CDAB于D点，则CD的长为【考点】： 与圆有关的比例线段【专题】： 选作题；推理和证明【分析】： 由切割线定理得PC2=PBPA=12，由此能求出CD长【解析】： 解：AB是O的直径，点P在AB的延长线上，且PB=OB=3，PC切O于
14、点C，CDAB于点D，由切割线定理得PC2=PBPA=27，PC=3，连结OC，则OC=OP，P=30，CD=PC=故答案为：【点评】： 此题综合运用了切割线定理、切线的性质定理以及解直角三角形的知识，属于基础题三解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（12分）已知函数（A0，0）的部分图象如图所示，其中M为图象与x轴的交点，为图象的最高点（1）求A、的值；（2）若，求的值【考点】： 正弦函数的图象【专题】： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质【分析】： （1）直接利用函数的图象确定函数的A和周期（2）利用函数的关系式，进一步利用函数的恒等变换求出结果【
15、解析】： 解：（1）由为图象的最高点知A=2，又点M知函数f（x）的最小正周期，=，（2）由（1）知，由得，=【点评】： 本题考查的知识要点：利用函数的图象求函数的解析式，及函数的周期，利用函数的关系变换求函数的值，主要考查学生的应用能力17（12分）某校为了调查“学业水平考试”学生的数学成绩，随机地抽取该校甲、乙两班各10名同学，获得的数据如下：（单位：分）甲：132，108，112，121，113，121，118，127，118，129；乙：133，107，120，113，122，114，125，118，129，127（1）以百位和十位为茎，个位为叶，在图5中作出甲、乙两班学生数学成绩的茎
16、叶图，并判断哪个班的平均水平较高；（2）若数学成绩不低于128分，称为“优秀”，求从甲班这10名学生中随机选取3名，至多有1名“优秀”的概率；（3）以这20人的样本数据来估计整个学校的总体成绩，若从该校（人数很多）任选3人，记X表示抽到“优秀”学生的人数，求X的数学期望【考点】： 离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列【专题】： 概率与统计【分析】： （1）直接利用茎叶图的作法画出茎叶图即可（2）直接利用古典概型概率个数求解即可（3）求出概率判断概率类型XB（3，0.2），求出期望即可【解析】： 解：（1）甲、乙两班学生数学成绩的茎叶图如右图示：（3分）乙班的平均水平较高
17、；（4分）（2）由上数据知：甲班这10人中“优秀”的学生有2名，则从这10名学生中随机选取3人，至多有1人“优秀”的概率（8分）（3）因样本20名学生中，“优秀”的有4名，故从这20名学生中任选1名，恰好抽到“优秀”的概率为，（10分）据此可估计从该校中任选1名学生，其为“优秀”的概率为0.2，因XB（3，0.2），所以EX=30.2=0.6（12分）【点评】： 本题考查茎叶图以及古典概型，考查期望的求法，考查计算能力18（14分）已知等比数列f（x）满足：an0，a1=5，Sn为其前n项和，且20S1，S3，7S2成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=log5a2+log5a4
18、+log5a2n+2，求数列的前n项和Tn【考点】： 数列的求和【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）利用对数的运算性质、“裂项求和”即可得出【解析】： 解：（1）设数列an的公比为q，20S1，S3，7S2成等差数列，2S3=20S1+7S2即，化简得2q25q25=0，解得：q=5或an0，不合舍去，（2）bn=log5a2+log5a4+log5a2n+2=，=，=，=【点评】： 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、对数的运算性质、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19（14分）如图，已知四棱锥PABCD中，侧
19、面PAD底面ABCD，ABCD，ADCD，PA=PD=CD=2AB=2（1）求证：ABPD；（2）记AD=x，V（x）表示四棱锥PABCD的体积，当V（x）取得最大值时，求二面角APDB的余弦值【考点】： 二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系【专题】： 空间位置关系与距离；空间角【分析】： （1）通过线面垂直的判定定理及性质定理即得结论；（2）解：取AD中点E，连结PE，通过题意易得当V（x）取得最大值时，利用常用法或坐标法即可得结果【解析】： （1）证明：ABCD，ADCD，ABAD，侧面PAD底面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD，AB平面PAD，又PD平面PAD，A
20、BPD；（2）解：取AD中点E，连结PE，PA=PD，PEAD，又侧面PAD底面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD，PE底面ABCD，在RtPEA中，=（0x4），V（x），当且仅当，即时“=”成立，即当V（x）取得最大值时，解法1：，PA2+PD2=8=AD2，PDPA，又由（1）知ABPD，PAAB=A，PD平面PAB，又PB平面PAB，PDPB，APB为二面角APDB的平面角，在RtPAB中，即当V（x）取得最大值时，二面角APDB的余弦值为；解法2：以点E为坐标原点，EA所在的直线为x轴、PE所在的直线为z轴建立空间直角坐标系如图示：则E（0，0，0），A（，0，0），D（，0，
21、0），P（0，0，），设平面PDB的法向量为，由得，令c=1，则a=1，又是平面PAD的一个法向量，设二面角二面角APDB的大小为，则，即所求二面角APDB的余弦值为【点评】： 本题主要考查线面关系及面面角，考查学生分析解决问题的能力，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题20（14分）已知椭圆C：的焦点分别为、，P为椭圆C上任一点，的最大值为1（1）求椭圆C的方程；（2）已知点A（1，0），试探究是否存在直线l：y=kx+m与椭圆C交于D、E两点，且使得|AD|=|AE|？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由【考点】： 椭圆的简单性质【专题】： 平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲
22、线的定义、性质与方程【分析】： （1）设P（x，y），运用向量的数量积的坐标表示，结合点满足椭圆方程，运用椭圆的性质，即可得到最大值1，可得a=2，b=1，进而得到椭圆方程；（2）假设存在直线l满足题设，设D（x1，y1），E（x2，y2），将y=kx+m代入，运用韦达定理和判别式大于0，结合两点的距离公式，可得k，m的关系式，消去m，解不等式即可得到k的范围【解析】： 解：（1）设P（x，y），由、，得，=x2+y23，由得，=，0x2a2，当x2=a2，即x=a时，有最大值，即，b2=1，a2=c2+b2=4，所求椭圆C的方程为；（2）假设存在直线l满足题设，设D（x1，y1），E（x2，
23、y2），将y=kx+m代入并整理得（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0，由=64k2m24（1+4k2）（4m24）=16（m24k21）0，得4k2+1m2又，由|AD|=|AE|可得，（1+k2）（x1+x2）+2km2=0，化简得将代入得，化简得20k4+k210（4k2+1）（5k21）0，解得或所以存在直线l，使得|AD|=|AE|，此时k的取值范围为【点评】： 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，同时考查两点的距离公式的运用和化简整理的能力，属于中档题和易错题21（14分）已知函数（1）当a=1时，解不等式f（x）x1；（2）当a0时
24、，求函数f（x）的单调区间；（3）若在区间（0，1上，函数f（x）的图象总在直线y=m（mR，m是常数）的下方，求a的取值范围【考点】： 分段函数的应用；其他不等式的解法【专题】： 函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】： （1）讨论x0，x0，去绝对值，运用绝对值不等式的解集即可得到所求；（2）通过讨论x的范围，去绝对值，再由二次函数的对称轴和区间的关系，即可得到所求单调区间；（3）运用不等式恒成立思想，在区间（0，1上，函数f（x）的图象总在直线y=m（mR，m是常数）的下方，即对x（0，1都有f（x）m，对x（0，1都有x|xa|m+1，显然m1，运用导数判断单调性，求得最值，即可
25、得到a的范围【解析】： 解：（1）当a=1时，不等式f（x）x1即x|x1|x，显然x0，当x0时，原不等式可化为：|x1|11x110x2；当x0时，原不等式可化为：|x1|1x11或x11x2或x0，即为x0综上得：当a=1时，原不等式的解集为x|0x2或x0；（2），若xa时，a0，由f（x）=2xa知，在（a，+）上，f（x）0，若xa，由f（x）=2x+a知，当时，f（x）0，当时，f（x）0，当a0时，函数f（x）的单调增区间为，（a，+），单调减区间为（3）在区间（0，1上，函数f（x）的图象总在直线y=m（mR，m是常数）的下方，即对x（0，1都有f（x）m，对x（0，1都有x
26、|xa|m+1，显然m1，即m1x（xa）m+1对x（0，1，恒成立对x（0，1，设，x（0，1，则对x（0，1，恒成立g（x）maxap（x）min，x（0，1，当x（0，1时g（x）0，函数g（x）在（0，1上单调递增，g（x）max=m，又=，当即m0时，对于x（0，1，有p（x）0，函数p（x）在（0，1上为减函数，p（x）min=p（1）=2+m，当，即1m0时，当，p（x）0，当，p（x）0，在（0，1上，（或当1m0时，在（0，1上，当时取等号），又当1m0时，要g（x）maxap（x）min即还需满足m24m40，解得，当时，当m0时，ma2+m【点评】： 本题考查分段函数的运用，考查绝对值不等式的解法和函数的单调性的运用，同时考查不等式恒成立思想的运用，属于中档题
