1、第九编 解析几何9.1直线的倾斜角与斜率基础自测1.设直线l与x轴的交点是P,且倾斜角为,若将此直线绕点P按逆时针方向旋转45,得到直线的倾斜角为+45,则的范围为 .答案 01352.(2008全国文)曲线y=x3-2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为 .答案 453.过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为 .答案 14.已知直线l的倾斜角为,且0135,则直线l的斜率取值范围是 .答案 (-,-1)0,+)5.若直线l经过点(a-2,-1)和(-a-2,1)且与经过点(-2,1),斜率为-的直线垂直,则实数a的值为 .答案 -例1 若,则直线2xcos+3y+1
2、=0的倾斜角的取值范围是 .答案 例2 (14分)已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0,(1)试判断l1与l2是否平行;(2)l1l2时,求a的值.解 (1)方法一 当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2;当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;2分当a1且a0时,两直线可化为l1:y=-3,l2:y=-(a+1),l1l2,解得a=-1, 5分综上可知,a=-1时,l1l2,否则l1与l2不平行. 6分方法二 由A1B2-A2B1=0,得a(a-1)-12=0,由A1C2-A2C10,得a(a2-1
3、)-160, 2分l1l24分a=-1, 5分故当a=-1时,l1l2,否则l1与l2不平行.6分(2)方法一 当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1与l2不垂直,故a=1不成立.8分当a1时,l1:y=-x-3,l2:y=-(a+1),12分由=-1a=.14分方法二 由A1A2+B1B2=0,得a+2(a-1)=0a=.14分例3 已知实数x,y满足y=x2-2x+2 (-1x1).试求:的最大值与最小值.解 由的几何意义可知,它表示经过定点P(-2,-3)与曲线段AB上任一点(x,y)的直线的斜率k,如图可知:kPAkkPB,由已知可得:A(1,1),B(-1,5),k8
4、,故的最大值为8,最小值为.1.直线xcos+y+2=0的倾斜角的取值范围是 .答案 2.已知两条直线l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8.当m分别为何值时,l1与l2:(1)相交?(2)平行?(3)垂直? 解 m=-5时,显然,l1与l2相交;当m-5时,易得两直线l1和l2的斜率分别为k1=-,k2=-,它们在y轴上的截距分别为b1=,b2=.(1)由k1k2,得-,m-7且m-1.当m-7且m-1时,l1与l2相交.(2)由,得,m=-7.当m=-7时,l1与l2平行.(3)由k1k2=-1,得-=-1,m=-.当m=-时,l1与l2垂直.3.若实数x,y满足
5、等式(x-2)2+y2=3,那么的最大值为 .答案 一、填空题1.直线xcos+y-1=0 (R)的倾斜角的范围是 .答案 2.(2009姜堰中学高三综合练习)设直线l1:x-2y+2=0的倾斜角为,直线l2:mx-y+4=0的倾斜角为,且=+90,则m的值为 .答案 -23.已知直线l经过A(2,1),B(1,m2)(mR)两点,那么直线l的倾斜角的取值范围是 .答案 4.已知直线l1:y=2x+3,直线l2与l1关于直线y=x对称,直线l3l2,则l3的斜率为 .答案 -25.若直线l沿x轴负方向平移3个单位,再沿y轴正方向平移1个单位后,又回到原来位置,那么直线l的斜率是 .答案 -6.
6、(2008浙江理,11)已知a0,若平面内三点A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共线,则a= .答案 1+7.已知点A(-2,4)、B(4,2),直线l过点P(0,-2)与线段AB相交,则直线l的斜率k的取值范围是 .答案 (-,-31,+)8.已知两点A(-1,-5),B(3,-2),若直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半,则l的斜率是 .答案 二、解答题9.已知线段PQ两端点的坐标分别为(-1,1)、(2,2),若直线l:x+my+m=0与线段PQ有交点,求m的取值范围. 解 方法一 直线x+my+m=0恒过A(0,-1)点.kAP=-2,kAQ=,则-或-2,-m且m0.又m
7、=0时直线x+my+m=0与线段PQ有交点,所求m的取值范围是-m.方法二 过P、Q两点的直线方程为y-1=(x+1),即y=x+,代入x+my+m=0,整理,得x=-.由已知-1-2, 解得-m.10.已知直线l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,求m的值,使得:(1)l1与l2相交;(2)l1l2;(3)l1l2;(4)l1,l2重合.解 (1)由已知13m(m-2),即m2-2m-30,解得m-1且m3.故当m-1且m3时,l1与l2相交.(2)当1(m-2)+m3=0,即m=时,l1l2.(3)当=,即m=-1时,l1l2.(4)当=,即m=3时,l1与l2重合.
8、11.已知A(0,3)、B(-1,0)、C(3,0),求D点的坐标,使四边形ABCD为直角梯形(A、B、C、D按逆时针方向排列).解 设所求点D的坐标为(x,y),如图所示,由于kAB=3,kBC=0,kABkBC=0-1,即AB与BC不垂直,故AB、BC都不可作为直角梯形的直角边.若CD是直角梯形的直角边,则BCCD,ADCD,kBC=0,CD的斜率不存在,从而有x=3.又kAD=kBC,=0,即y=3.此时AB与CD不平行.故所求点D的坐标为(3,3).若AD是直角梯形的直角边,则ADAB,ADCD,kAD=,kCD=.由于ADAB,3=-1.又ABCD,=3.解上述两式可得此时AD与BC
9、不平行.故所求点D的坐标为,综上可知,使ABCD为直角梯形的点D的坐标可以为(3,3)或.12.已知两点A(-1,2),B(m,3).(1)求直线AB的方程;(2)已知实数m,求直线AB的倾斜角的取值范围.解 (1)当m=-1时,直线AB的方程为x=-1,当m-1时,直线AB的方程为y-2=(x+1).(2)当m=-1时,=;当m-1时,m+1,k=(-,-,.综合知,直线AB的倾斜角.9.2 直线的方程、直线的交点坐标与距离公式基础自测1.下列四个命题中真命题的序号是 .经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示经过任意两个不同点P1(x1,y1),P2(x2,
10、y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示不经过原点的直线都可以用方程表示经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示答案 2.A、B是x轴上两点,点P的横坐标为2,且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程为 .答案 x+y-5=03.(2008全国文)原点到直线x+2y-5=0的距离为 .答案 4.过点P(-1,2)且方向向量为a=(-1,2)的直线方程为 .答案 2x+y=05.一条直线经过点A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,则此直线的方程为 .答案 x+2y-2=0或2x+y+2=0例1
11、 求适合下列条件的直线方程:(1)经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等;(2)经过点A(-1,-3),倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍.解 (1)方法一 设直线l在x,y轴上的截距均为a,若a=0,即l过点(0,0)和(3,2),l的方程为y=x,即2x-3y=0.若a0,则设l的方程为,l过点(3,2),a=5,l的方程为x+y-5=0,综上可知,直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.方法二 由题意知,所求直线的斜率k存在且k0,设直线方程为y-2=k(x-3),令y=0,得x=3-,令x=0,得y=2-3k,由已知3-=2-3k,解得k=-1或k=,直线l的方程为:y-
12、2=-(x-3)或y-2=(x-3),即x+y-5=0或2x-3y=0.(2)由已知:设直线y=3x的倾斜角为,则所求直线的倾斜角为2. tan=3,tan2=-.又直线经过点A(-1,-3),因此所求直线方程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.例2 过点P(2,1)的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点,求使:(1)AOB面积最小时l的方程;(2)|PA|PB|最小时l的方程.解 方法一 设直线的方程为 (a2,b1),由已知可得.(1)2=1,ab8.SAOB=ab4.当且仅当=,即a=4,b=2时,SAOB取最小值4,此时直线l的方程为=1,即x+2y-4=0.(2)由+=1
13、,得ab-a-2b=0,变形得(a-2)(b-1)=2,|PA|PB|=.当且仅当a-2=1,b-1=2,即a=3,b=3时,|PA|PB|取最小值4.此时直线l的方程为x+y-3=0.方法二 设直线l的方程为y-1=k(x-2) (k0),则l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B(0,1-2k).(1)SAOB=(1-2k)=(4+4)=4.当且仅当-4k=-,即k=-时取最小值,此时直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+2y-4=0.(2)|PA|PB|=4,当且仅当=4k2,即k=-1时取得最小值,此时直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0.例3 (14分)已知直线l过点P
14、(3,1)且被两平行线l1:x+y+1=0,l2:x+y+6=0截得的线段长为5,求直线l的方程.解 方法一 若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=3,此时与l1,l2的交点分别是A(3,-4),B(3,-9),截得的线段长|AB|=|-4+9|=5,符合题意.4分若直线l的斜率存在时,则设直线l的方程为y=k(x-3)+1,分别与直线l1,l2的方程联立,由,解得A.8分由,解得B, 由两点间的距离公式,得+=25,解得k=0,即所求直线方程为y=1.12分综上可知,直线l的方程为x=3或y=1.14分方法二 设直线l与l1,l2分别相交于A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+y1
15、+1=0,x2+y2+6=0,两式相减,得(x1-x2)+(y1-y2)=56分又(x1-x2)2+(y1-y2)2=25联立可得或, 12分由上可知,直线l的倾斜角分别为0和90,故所求的直线方程为x=3或y=1. 14分例4 求直线l1:y=2x+3关于直线l:y=x+1对称的直线l2的方程.解 方法一 由知直线l1与l的交点坐标为(-2,-1),设直线l2的方程为y+1=k(x+2),即kx-y+2k-1=0.在直线l上任取一点(1,2),由题设知点(1,2)到直线l1、l2的距离相等,由点到直线的距离公式得=,解得k=(k=2舍去),直线l2的方程为x-2y=0.方法二 设所求直线上一
16、点P(x,y),则在直线l1上必存在一点P1(x0,y0)与点P关于直线l对称.由题设:直线PP1与直线l垂直,且线段PP1的中点P2在直线l上.,变形得,代入直线l1:y=2x+3,得x+1=2(y-1)+3,整理得x-2y=0.所以所求直线方程为x-2y=0.1.(1)求经过点A(-5,2)且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程;(2)过点A(8,6)引三条直线l1,l2,l3,它们的倾斜角之比为124,若直线l2的方程是y=x,求直线l1,l3的方程.解 (1)当直线l在x、y轴上的截距都为零时,设所求的直线方程为y=kx,将(-5,2)代入y=kx中,得k=-,此时,直线方
17、程为y=-x,即2x+5y=0.当横截距、纵截距都不是零时,设所求直线方程为=1,将(-5,2)代入所设方程,解得a=-,此时,直线方程为x+2y+1=0.综上所述,所求直线方程为x+2y+1=0或2x+5y=0.(2)设直线l2的倾斜角为,则tan=.于是tan=,tan2=,所以所求直线l1的方程为y-6=(x-8),即x-3y+10=0,l3的方程为y-6=(x-8),即24x-7y-150=0.2.直线l经过点P(3,2)且与x,y轴的正半轴分别交于A、B两点,OAB的面积为12,求直线l的方程.解 方法一 设直线l的方程为(a0,b0),A(a,0),B(0,b),解得所求的直线方程
18、为=1,即2x+3y-12=0.方法二 设直线l的方程为y-2=k(x-3),令y=0,得直线l在x轴上的截距a=3-,令x=0,得直线l在y轴上的截距b=2-3k.(2-3k)=24.解得k=-.所求直线方程为y-2=-(x-3).即2x+3y-12=0.3.已知三条直线l1:2x-y+a=0(a0),直线l2:4x-2y-1=0和直线l3:x+y-1=0,且l1与l2的距离是.(1)求a的值;(2)能否找到一点P,使得P点同时满足下列三个条件:P是第一象限的点;P点到l1的距离是P点到l2的距离的;P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是.若能,求P点坐标;若不能,说明理由.解 (1)l2
19、即为2x-y-=0,l1与l2的距离d=,=,=,a0,a=3.(2)假设存在这样的P点.设点P(x0,y0),若P点满足条件,则P点在与l1、l2平行的直线l:2x-y+C=0上,且=,即C=或C=,2x0-y0+=0或2x0-y0+=0;若P点满足条件,由点到直线的距离公式=,即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|,x0-2y0+4=0或3x0+2=0;由于P点在第一象限,3x0+2=0不满足题意.联立方程,解得 (舍去).由解得假设成立,P即为同时满足三个条件的点.4.光线沿直线l1:x-2y+5=0射入,遇直线l:3x-2y+7=0后反射,求反射光线所在的直线方程.解 方法一 由得
20、反射点M的坐标为(-1,2).又取直线x-2y+5=0上一点P(-5,0),设P关于直线l的对称点P(x0,y0),由PPl可知,kPP=-=.而PP的中点Q的坐标为,Q点在l上,3-2+7=0.由得根据直线的两点式方程可得l的方程为29x-2y+33=0.方法二 设直线x-2y+5=0上任意一点P(x0,y0)关于直线l的对称点为P(x,y),则,又PP的中点Q在l上,3-2+7=0,由可得P点的坐标为x0=,y0=,代入方程x-2y+5=0中,化简得29x-2y+33=0,即为所求反射光线所在的直线方程.一、填空题1.过点(1,3)作直线l,若经过点(a,0)和(0,b),且aN*,bN*
21、,则可作出的l的条数为 .答案 22.已知直线l1的方向向量为a=(1,3),直线l2的方向向量为b=(-1,k),若直线l2过点(0,5),且l1l2,则直线l2的方程是 .答案 x+3y-15=03.若直线l与两直线y=1,x-y-7=0分别交于M,N两点,且MN的中点是P(1,-1),则直线l的斜率是 .答案 -4.直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是 .答案 x+2y-3=05.经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的,且截距之和最小,则直线的方程为 .答案 2x+y-6=06.点(1,cos)到直线xsin+ycos-1=0的距离是(0180),那么= .答案
22、 30或1507.设l1的倾斜角为,l1绕其上一点P沿逆时针方向旋转角得直线l2,l2的纵截距为-2,l2绕P沿逆时针方向旋转-角得直线l3:x+2y-1=0,则l1的方程为 .答案 2x-y+8=08.若直线l:y=kx-1与直线x+y-1=0的交点位于第一象限,则实数k的取值范围是 .答案 (1,+)二、解答题9.已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3,分别求满足下列条件的直线l的方程:(1)过定点A(-3,4);(2)斜率为.解 (1)设直线l的方程是y=k(x+3)+4,它在x轴,y轴上的截距分别是-3,3k+4,由已知,得(3k+4)(+3)=6,解得k1=-或k2=-.直线l的
23、方程为2x+3y-6=0或8x+3y+12=0.(2)设直线l在y轴上的截距为b,则直线l的方程是y=x+b,它在x轴上的截距是-6b,由已知,得|-6bb|=6,b=1.直线l的方程为x-6y+6=0或x-6y-6=0.10.一条光线经过P(2,3)点,射在直线l:x+y+1=0上,反射后穿过Q(1,1).(1)求光线的入射方程;(2)求这条光线从P到Q的长度.解 (1)设点Q(x,y)为Q关于直线l的对称点且QQ交l于M点,kl=-1,kQQ=1.QQ所在直线方程为y-1=1(x-1)即x-y=0.由解得l与QQ的交点M的坐标为.又M为QQ的中点,由此得.解之得Q(-2,-2).设入射线与
24、l交点N,且P,N,Q共线.则P(2,3),Q(-2,-2),得入射线方程为,即5x-4y+2=0.(2)l是QQ的垂直平分线,因而|NQ|=|NQ|.|PN|+|NQ|=|PN|+|NQ|=|PQ|=,即这条光线从P到Q的长度是.11.已知正方形的中心为直线2x-y+2=0,x+y+1=0的交点,正方形一边所在的直线方程为x+3y-5=0,求正方形其他三边的方程.解 设与直线l:x+3y-5=0平行的边的直线方程为l1:x+3y+c=0.由得正方形的中心坐标P(-1,0),由点P到两直线l,l1的距离相等,则,得c=7或c=-5(舍去).l1:x+3y+7=0.又正方形另两边所在直线与l垂直
25、,设另两边方程为3x-y+a=0,3x-y+b=0.正方形中心到四条边的距离相等,=,得a=9或a=-3,另两条边所在的直线方程为3x-y+9=0,3x-y-3=0.另三边所在的直线方程为3x-y+9=0,x+3y+7=0,3x-y-3=0.12.过点P(3,0)作一直线,使它夹在两直线l1:2x-y-2=0与l2:x+y+3=0之间的线段AB恰被点P平分,求此直线的方程.解 方法一 设点A(x,y)在l1上,由题意知,点B(6-x,-y),解方程组,得,k=.所求的直线方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.方法二 设所求的直线方程为y=k(x-3),则,解得,由,解得.P(3,0)是
26、线段AB的中点,yA+yB=0,即+=0,k2-8k=0,解得k=0或k=8.又当k=0时,xA=1,xB=-3,此时,k=0舍去,所求的直线方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.9.3 圆的方程基础自测1.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是 .答案 -2a2.圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0(a、bR)对称,则ab的取值范围是 .答案 3.过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是 .答案 (x-1)2+(y-1)2=44.以点(2,-1)为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程
27、为 .答案 (x-2)2+(y+1)2=95.直线y=ax+b通过第一、三、四象限,则圆(x+a)2+(y+b)2=r2 (r0)的圆心位于第 象限.答案 二例1 已知圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,直线3x+4y+4=0与圆C相切,则圆C的方程为 .答案 x2+y2-4x=0例2 (14分)已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P,Q两点,且OPOQ(O为坐标原点),求该圆的圆心 坐标及半径.解 方法一 将x=3-2y,代入方程x2+y2+x-6y+m=0,得5y2-20y+12+m=0.4分设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1、y2满足条件:y1+y2=
28、4,y1y2=.6分OPOQ,x1x2+y1y2=0.8分而x1=3-2y1,x2=3-2y2.x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.m=3,此时0,圆心坐标为,半径r=.14分方法二 如图所示,设弦PQ中点为M,O1MPQ,=2.O1M的方程为:y-3=2,即:y=2x+4.由方程组.解得M的坐标为(-1,2).则以PQ为直径的圆可设为(x+1)2+(y-2)2=r2.6分OPOQ,点O在以PQ为直径的圆上.(0+1)2+(0-2)2=r2,即r2=5,MQ2=r2.在RtO1MQ中,O1Q2=O1M2+MQ2.+(3-2)2+5=.m=3.半径为,圆心为.14分方法三 设过P、Q的圆
29、系方程为x2+y2+x-6y+m+(x+2y-3)=0.由OPOQ知,点O(0,0)在圆上.m-3=0,即m=3.3分圆的方程可化为x2+y2+x-6y+3+x+2y-3=0即x2+(1+)x+y2+2(-3)y=0.6分圆心M,7分又圆在PQ上.-+2(3-)-3=0,=1,m=3.12分圆心为,半径为.14分例3 已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.(1)求y-x的最大值和最小值;(2)求x2+y2的最大值和最小值.解 (1)y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距,当直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值,此时,解得b=-2.所以y-x的最大值为-2+,最小值
30、为-2-.(2)x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为=2,所以x2+y2的最大值是(2+)2=7+4,x2+y2的最小值是(2-)2=7-4.1.(2008 山东文,11)若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是 .答案 (x-2)2+(y-1)2=12.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (mR).(1)证明:不论m取什么实数,直线l与圆C恒相交;(2)求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的
31、直线方程.(1)证明 直线l可化为x+y-4+m(2x+y-7)=0,即不论m取什么实数,它恒过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点.两方程联立,解得交点为(3,1),又有(3-1)2+(1-2)2=525,点(3,1)在圆内部,不论m为何实数,直线l与圆恒相交.(2)解 从(1)的结论和直线l过定点M(3,1)且与过此点的圆C的半径垂直时,l被圆所截的弦长|AB|最短,由垂径定理得|AB|=2=2=4.此时,kl=-,从而kl=-=2.l的方程为y-1=2(x-3),即2x-y=5.3.已知点P(x,y)是圆(x+2)2+y2=1上任意一点.(1)求P点到直线3x+4y+12=0的距
32、离的最大值和最小值;(2)求x-2y的最大值和最小值;(3)求的最大值和最小值.解 (1)圆心C(-2,0)到直线3x+4y+12=0的距离为d=.P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为d+r=+1=,最小值为d-r=-1=.(2)设t=x-2y, 则直线x-2y-t=0与圆(x+2)2+y2=1有公共点.1.-2t-2,tmax=-2,tmin=-2-.(3)设k=,则直线kx-y-k+2=0与圆(x+2)2+y2=1有公共点,1.k,kmax=,kmin=.一、填空题1.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为 .答案 2.两条直线y=x+2a,y=2x+a的
33、交点P在圆(x-1)2+(y-1)2=4的内部,则实数a的取值范围是 .答案 -a13.已知A(-2,0),B(0,2),C是圆x2+y2-2x=0上任意一点,则ABC面积的最大值是 .答案 3+4.圆心在抛物线y2=2x上且与x轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程是 .答案 x2+y2-x2y+=05.若直线2ax-by+2=0 (a0,b0)始终平分圆x2+y2+2x-4y+1=0的周长,则的最小值是 .答案 46.从原点O向圆:x2+y2-6x+=0作两条切线,切点分别为P、Q,则圆C上两切点P、Q间的劣弧长为 .答案 7.(2008四川理,14)已知直线l:x-y+4=0与圆C:(x-1
34、)2+(y-1)2=2,则C上各点到l距离的最小值为 .答案 8.以直线3x-4y+12=0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为 .答案 (x+2)2+=二、解答题9.根据下列条件求圆的方程:(1)经过坐标原点和点P(1,1),并且圆心在直线2x+3y+1=0上;(2)已知一圆过P(4,-2)、Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4,求圆的方程.解 (1)显然,所求圆的圆心在OP的垂直平分线上,OP的垂直平分线方程为:=,即x+y-1=0.解方程组,得圆心C的坐标为(4,-3).又圆的半径r=|OC|=5,所以所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=25.(2)设圆的方程为x2+y
35、2+Dx+Ey+F=0将P、Q点的坐标分别代入得: 令x=0,由得y2+Ey+F=0由已知|y1-y2|=4,其中y1、y2是方程的两根,所以(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48解、组成的方程组得D=-2,E=0,F=-12或D=-10,E=-8,F=4,故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0.10.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA、PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,A、B是切点,C是圆心,求四边形PACB面积的最小值.解 将圆方程化为(x-1)2+(y-1)2=1,其圆心为C(1,1),半径r=1,
36、如图,由于四边形PACB的面积等于RtPAC面积的2倍,所以SPACB=2|PA|r=.要使四边形PACB面积最小,只需|PC|最小.当点P恰为圆心C在直线3x+4y+8=0上的正射影时,|PC|最小,由点到直线的距离公式,得|PC|min=3,故四边形PACB面积的最小值为2.11.已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程;(2)若PBQ=90,求线段PQ中点的轨迹方程.解 (1)设AP中点为M(x,y),由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x-2,2y).P点在圆x2+y2=4上,(2x-2)2+(2y)2=4.故线
37、段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.(2)设PQ的中点为N(x,y),在RtPBQ中,|PN|=|BN|,设O为坐标原点,连结ON,则ONPQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.12.已知半径为5的动圆C的圆心在直线l:x-y+10=0上.(1)若动圆C过点(-5,0),求圆C的方程;(2)是否存在正实数r,使得动圆C中满足与圆O:x2+y2=r2相外切的圆有且仅有一个,若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.解 (1)依题意,可设动圆C的方程为(x-a
38、)2+(y-b)2=25,其中圆心(a,b)满足a-b+10=0.又动圆过点(-5,0),(-5-a)2+(0-b)2=25.解方程组,可得或,故所求圆C的方程为(x+10)2+y2=25或(x+5)2+(y-5)2=25.(2)圆O的圆心(0,0)到直线l的距离d=5.当r满足r+5d时,动圆C中不存在与圆O:x2+y2=r2相外切的圆;当r满足r+5d时,r每取一个数值,动圆C中存在两个圆与圆O:x2+y2=r2相外切;当r满足r+5=d,即r=5-5时,动圆C中有且仅有1个圆与圆O:x2+y2=r2相外切.9.4 直线、圆的位置关系基础自测1.若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交,
39、则P(a,b)与圆的位置关系为 .答案 在圆外2.若直线4x-3y-2=0与圆x2+y2-2ax+4y+a2-12=0总有两个不同交点,则a的取值范围是 .答案 -6a43.两圆x2+y2-6x+16y-48=0与x2+y2+4x-8y-44=0的公切线条数为 .答案 24.若直线y=k(x-2)+4与曲线y=1+有两个不同的交点,则k的取值范围是 .答案 5.(2008重庆理,15)直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0 (a3)相交于两点A,B,弦AB的中点为(0,1),则直线l的方程为 .答案 x-y+1=0例1 已知圆x2+y2-6mx-2(m-1)y+10m2-2m-24=0(mR
40、).(1)求证:不论m为何值,圆心在同一直线l上;(2)与l平行的直线中,哪些与圆相交、相切、相离;(3)求证:任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.(1)证明 配方得:(x-3m)2+y -(m-1)2=25,设圆心为(x,y),则,消去m得l:x-3y-3=0,则圆心恒在直线l:x-3y-3=0上.(2)解 设与l平行的直线是l1:x-3y+b=0,则圆心到直线l1的距离为d=.圆的半径为r=5,当dr,即-5-3b5-3时,直线与圆相交;当d=r,即b=5-3时,直线与圆相切;当dr,即b-5-3或b5-3时,直线与圆相离.(3)证明 对于任一条平行于l且与圆相交的直线l
41、1:x-3y+b=0,由于圆心到直线l1的距离d=,弦长=2且r和d均为常量.任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.例2 从点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线l 所在直线的方程.解 方法一 如图所示,设l与x轴交于点B(b,0),则kAB=,根据光的反射定律,反射光线的斜率k反=.反射光线所在直线的方程为y=(x-b),即3x-(b+3)y-3b=0.已知圆x2+y2-4x-4y+7=0的圆心为C(2,2),半径为1,=1,解得b1=-,b2=1.kAB=-或kAB=-.l的方程为4x+3y+3=
42、0或3x+4y-3=0.方法二 已知圆C:x2+y2-4x-4y+7=0关于x轴对称的圆为C1:(x-2)2+(y+2)2=1,其圆心C1的坐标为(2,-2),半径为1,由光的反射定律知,入射光线所在直线方程与圆C1相切.设l的方程为y-3=k(x+3),则=1,即12k2+25k+12=0.k1=-,k2=-.则l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.方法三 设入射光线方程为y-3=k(x+3),反射光线所在的直线方程为y=-kx+b,由于二者横截距相等,且后者与已知圆相切.,消去b得.即12k2+25k+12=0,k1=-,k2=-.则l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3
43、=0.例3 已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,m为何值时,(1)圆C1与圆C2相外切;(2)圆C1与圆C2内含?解 对于圆C1与圆C2的方程,经配方后C1:(x-m)2+(y+2)2=9;C2:(x+1)2+(y-m)2=4.(1)如果C1与C2外切,则有=3+2.(m+1)2+(m+2)2=25.m2+3m-10=0,解得m=-5或m=2.(2)如果C1与C2内含,则有3-2.(m+1)2+(m+2)21,m2+3m+20,得-2m-1,当m=-5或m=2时,圆C1与圆C2外切;当-2m-1时,圆C1与圆C2内含.例4 (14
44、分)已知点P(0,5)及圆C:x2+y2+4x-12y+24=0.(1)若直线l过P且被圆C截得的线段长为4,求l的方程;(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.解 (1)方法一 如图所示,AB=4,D是AB的中点,CDAB,AD=2,圆x2+y2+4x-12y+24=0可化为(x+2)2+(y-6)2=16,圆心C(-2,6),半径r=4,故AC=4,在RtACD中,可得CD=2.2分设所求直线的斜率为k,则直线的方程为y-5=kx,即kx-y+5=0.由点C到直线AB的距离公式:=2,得k=.此时直线l的方程为3x-4y+20=0.4分又直线l的斜率不存在时,此时方程为x=0.6分则y2
45、-12y+24=0,y1=6+2,y2=6-2,y2-y1=4,故x=0满足题意.所求直线的方程为3x-4y+20=0或x=0.8分方法二 设所求直线的斜率为k,则直线的方程为y-5=kx,即y=kx+5,联立直线与圆的方程,消去y得(1+k2)x2+(4-2k)x-11=0 2分设方程的两根为x1,x2,由根与系数的关系得 4分由弦长公式得|x1-x2|=4,将式代入,解得k=,此时直线的方程为3x-4y+20=0. 6分又k不存在时也满足题意,此时直线方程为x=0.所求直线的方程为x=0或3x-4y+20=0. 8分(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x,y),则CDPD,即=0, 10分
46、(x+2,y-6)(x,y-5)=0,化简得所求轨迹方程为x2+y2+2x-11y+30=0. 14分1.m为何值时,直线2x-y+m=0与圆x2+y2=5.(1)无公共点;(2)截得的弦长为2;(3)交点处两条半径互相垂直.解 (1)由已知,圆心为O(0,0),半径r=,圆心到直线2x-y+m=0的距离d=,直线与圆无公共点,dr,即,m5或m-5.故当m5或m-5时,直线与圆无公共点.(2)如图所示,由平面几何垂径定理知r2-d2=12,即5-=1.得m=2,当m=2时,直线被圆截得的弦长为2.(3)如图所示,由于交点处两条半径互相垂直,弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形,d=r,即,解
47、得m=.故当m=时,直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直.2.从圆C:x2+y2-4x-6y+12=0外一点P(a,b)向圆引切线PT,T为切点,且|PT|=|PO| (O为原点).求|PT|的最小值及此时P的坐标.解 已知圆C的方程为(x-2)2+(y-3)2=1.圆心C的坐标为(2,3),半径r=1.如图所示,连结PC,CT.由平面几何知,|PT|2=|PC|2-|CT|2=(a-2)2+(b-3)2-1.由已知,|PT|=|PO|,|PT|2=|PO|2,即(a-2)2+(b-3)2-1=a2+b2.化简得2a+3b-6=0.得|PT|2=a2+b2=(13a2-24a+36).当a=时
48、,|PT|min=.|PT|的最小值为,此时点P的坐标是.3.求过点P(4,-1)且与圆C:x2+y2+2x-6y+5=0切于点M(1,2)的圆的方程.解 方法一 设所求圆的圆心为A(m,n),半径为r,则A,M,C三点共线,且有|MA|=|AP|=r,因为圆C:x2+y2+2x-6y+5=0的圆心为C(-1,3),则,解得m=3,n=1,r=,所以所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5.方法二 因为圆C:x2+y2+2x-6y+5=0过点M(1,2)的切线方程为2x-y=0,所以设所求圆A的方程为x2+y2+2x-6y+5+(2x-y)=0,因为点P(4,-1)在圆上,所以代入圆A的方
49、程,解得=-4,所以所求圆的方程为x2+y2-6x-2y+5=0.4.圆x2+y2=8内一点P(-1,2),过点P的直线l的倾斜角为,直线l交圆于A、B两点.(1)当=时,求AB的长;(2)当弦AB被点P平分时,求直线l的方程.解 (1)当=时,kAB=-1,直线AB的方程为y-2=-(x+1),即x+y-1=0.故圆心(0,0)到AB的距离d=,从而弦长|AB|=2=.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-2,y1+y2=4.由两式相减得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0,即-2(x1-x2)+4(y1-y2)=0,kAB=.直线l的方程为y
50、-2=(x+1),即x-2y+5=0.一、填空题1.(2008辽宁理)若圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点,则k的取值范围为 .答案 (-,)2.(2008重庆理,3)圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2-4y=0的位置关系是 .答案 相交3.已知圆C:(x-a)2+(y-2)2=4 (a0)及直线l:x-y+3=0,当直线l被圆C截得的弦长为2时,则a= .答案 -14.(2008全国文)若直线与圆x2+y2=1有公共点,则与1的大小关系是 .答案 15.能够使得圆x2+y2-2x+4y+1=0上恰有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的c的取值范围为 .答案 (-3
51、,-)(,3)6.(2008湖北理)过点A(11,2)作圆x2+y2+2x-4y-164=0的弦,其中弦长为整数的共有 条.答案 327.设直线ax-y+3=0与圆(x-1)2+(y-2)2=4相交于A、B两点,且弦AB的长为2,则a= .答案 08.(2008湖南文,14)将圆x2+y2=1沿x轴正向平移1个单位后得到圆C,则圆C的方程是 ;若过点(3,0)的直线l和圆C相切,则直线l的斜率是 .答案 (x-1)2+y2=1 或-二、解答题9.已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.若圆C的切线在x轴和y轴上的截距的绝对值相等,求此切线的方程.解 切线在两坐标轴上截距的绝对值相等,切线的斜
52、率是1,或切线过原点.当切线不过原点时,设切线方程为y=-x+b或y=x+c,分别代入圆C的方程得2x2-2(b-3)x+(b2-4b+3)=0.或2x2+2(c-1)x+(c2-4c+3)=0,由于相切,则方程有等根,1=0,即2(b-3)2-42(b2-4b+3)=-b2+2b+3=0,b=3或-1,2=0,即2(c-1)2-42(c2-4c+3)=-c2+6c-5=0.c=5或1,当切线过原点时,设切线为y=kx,即kx-y=0.由=,得k=2,y=(2)x.故所求切线方程为:x+y-3=0,x+y+1=0,x-y+5=0,x-y+1=0,y=(2)x.10.已知曲线C:x2+y2-4a
53、x+2ay-20+20a=0.(1)证明:不论a取何实数,曲线C必过定点;(2)当a2时,证明曲线C是一个圆,且圆心在一条直线上;(3)若曲线C与x轴相切,求a的值.(1)证明 曲线C的方程可变形为(x2+y2-20)+(-4x+2y+20)a=0,由,解得,点(4,-2)满足C的方程,故曲线C过定点(4,-2).(2)证明 原方程配方得(x-2a)2+(y+a)2=5(a-2)2,a2时,5(a-2)20,C的方程表示圆心是(2a,-a),半径是|a-2|的圆.设圆心坐标为(x,y),则有,消去a得y=-x,故圆心必在直线y=-x上.(3)解 由题意得|a-2|=|a|,解得a=.11.已知
54、圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,问是否存在斜率是1的直线l,使l被圆C截得的弦AB,以AB为直径的圆经过原点,若存在,写出直线l皌方程;若不存在,说明理由.解 假设存在直线l满足题设条件,设l的方程为y=x+m,圆C化为(x-1)2+(y+2)2=9,圆心C(),-2),则AB中点N是两直线x-y+m=0与i+2=-(x-)的交炩即N,以AB为直後的圆经迏原点,|AN|=|ON|,又CNAB,|KN|= EMBED Mqua|ion.3 ,|AN|=.又|ON|=,由|AN|=|ON|,解得m=-4或m=1.存在直线l,其方程为y=x-4或y=x+1.12.设O为坐标原点,曲线x2+y2
55、+2x-6y+1=0上有两点P、Q,满足关于直线x+my+4=0对称,又满足=0.(1)求m的值;(2)求直线PQ的方程.解 (1)曲线方程为(x+1)2+(y-3)2=9表示圆心为(-1,3),半径为3的圆.点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称,圆心(-1,3)在直线上,代入得m=-1.(2)直线PQ与直线y=x+4垂直,设P(x1,y1)、Q(x2,y2),PQ方程为y=-x+b.将直线y=-x+b代入圆的方程,得2x2+2(4-b)x+b2-6b+1=0.=4(4-b)2-42(b2-6b+1)0,得2-3b2+3.由根与系数的关系得x1+x2=-(4-b),x1x2=.y1y2
56、=b2-b(x1+x2)+x1x2=+4b.=0,x1x2+y1y2=0,即b2-6b+1+4b=0,解得b=1(2-3,2+3),所求的直线方程为y=-x+1.9.5 曲线与方程基础自测1.已知坐标满足方程F(x,y)=0的点都在曲线C上,那么下列说法错误的是 (只填序号).曲线C上的点的坐标都适合方程F(x,y)=0凡坐标不适合F(x,y)=0的点都不在C上不在C上的点的坐标有些适合F(x,y)=0,有些不适合F(x,y)=0不在C上的点的坐标必不适合F(x,y)=0答案 2.到两定点A(0,0),B(3,4)距离之和为5的点的轨迹是 .答案 线段AB3.动点P到两坐标轴的距离之和等于2,
57、则点P的轨迹所围成的图形面积是 .答案 84.(2008北京理)若点P到直线x=-1的距离比它到点(2,0)的距离小1,则点P的轨迹为 (写出曲线形状即可).答案 抛物线5.已知直线l的方程是f(x,y)=0,点M(x0,y0)不在l上,则方程f(x,y)-f(x0,y0)=0表示的曲线与l的位置关系是 .答案 平行例1 如图所示,过点P(2,4)作互相垂直的直线l1、l2.若l1交x轴于A,l2交y轴于B,求线段AB中点M的轨迹方程.解 设点M的坐标为(x,y),M是线段AB的中点,A点的坐标为(2x,0),B点的坐标为(0,2y).=(2x-2,-4),=(-2,2y-4).由已知=0,-
58、2(2x-2)-4(2y-4)=0,即x+2y-5=0.线段AB中点M的轨迹方程为x+2y-5=0.例2 (5分)在ABC中,A为动点,B、C为定点,B(-,0),C(,0)且满足条件sinC-sinB=sinA,则动点A的轨迹方程是 .答案 -=1(y0)的右支例3 如图所示,已知P(4,0)是圆x2+y2=36内的一点,A、B是圆上两动点,且满足APB=90,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.解 设AB的中点为R,坐标为(x1,y1),Q点坐标为(x,y),则在RtABP中,|AR|=|PR|,又因为R是弦AB的中点,依垂径定理有RtOAR中,|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-(x
59、+y).又|AR|=|PR|=,所以有(x1-4)2+y=36-(x+y).即x+y-4x1-10=0.因为R为PQ的中点,所以x1=,y1=.代入方程x+y-4x1-10=0,得-4-10=0.整理得x2+y2=56.这就是Q点的轨迹方程.1.已知两点M(-2,0)、N(2,0),点P为坐标平面内的动点,满足|+=0,求动点P(x,y)的轨迹方程.解 由题意:=(4,0),=(x+2,y),=(x-2,y),|+=0,+(x-2)4+y0=0,两边平方,化简得y2=-8x.2.已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,求动圆圆心M的
60、轨迹方程.解 如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B,根据两圆外切的充要条件,得|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|.因为|MA|=|MB|,所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2.这表明动点M到两定点C2,C1的距离之差是常数2.根据双曲线的定义,动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离大,到C1的距离小),这里a=1,c=3,则b2=8,设点M的坐标为(x,y),其轨迹方程为x2-=1 (x-1).3.设F(1,0),M点在x轴上,P点在y轴上,且=2,当点P在y轴上运动时,求点N的轨迹方程.解 设M(x0,0),P
61、(0,y0),N(x,y),由=2得(x-x0,y)=2(-x0,y0),即.,=(x0,-y0), =(1,-y0),(x0,-y0)(1,-y0)=0,x0+y=0.-x+ =0,即y2=4x.故所求的点N的轨迹方程是y2=4x.一、填空题1.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线关于x轴对称,顶点在原点O,且过点P(2,4),则该抛物线的方程是 .答案 y2=8x2.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于 .答案 4 3.长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动,=2,则点C的轨迹是 (写出形状即可).答案
62、椭圆4.平面直角坐标系中,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足= +(O为原点),其中,R,且+=1,则点C的轨迹是 (写出形状即可).答案 直线5.F1、F2是椭圆的两个焦点,M是椭圆上任一点,从任一焦点向F1MF2顶点M的外角平分线引垂线,垂足为P,则P点的轨迹为 (写出形状即可).答案 圆6.一圆形纸片的圆心为O,点Q是圆内异于O的一个定点,点A是圆周上一动点,把纸片折叠使点A与点Q重合,然后抹平纸片,折痕CD与OA交于点P,当点A运动时,点P的轨迹为 (写出形状即可).答案 椭圆7.已知ABC的顶点B(0,0),C(5,0),AB边上的中线长|CD|=3,则顶点A的轨迹方程
63、为 .答案 (x-10)2+y2=36(y0) 8.平面上有三点A(-2,y),B(0,),C(x,y),若,则动点C的轨迹方程为 .答案 y2=8x二、解答题9.如图所示,已知点C的坐标是(2,2),过点C的直线CA与x轴交于点A,过点C且与直线CA垂直的直线CB与y轴交于点B.设点M是线段AB的中点,求点M的轨迹方程.解 方法一 (参数法):设M的坐标为(x,y).若直线CA与x轴垂直,则可得到M的坐标为(1,1).若直线CA不与x轴垂直,设直线CA的斜率为k,则直线CB的斜率为-,故直线CA方程为:y=k(x-2)+2,令y=0得x=2-,则A点坐标为(2-,0).CB的方程为:y=-(
64、x-2)+2,令x=0,得y=2+,则B点坐标为(0,2+),由中点坐标公式得M点的坐标为 消去参数k得到x+y-2=0 (x1),点M(1,1)在直线x+y-2=0上,综上所述,所求轨迹方程为x+y-2=0.方法二 (直接法)设M(x,y),依题意A点坐标为(2x,0),B点坐标为(0,2y).|MA|=|MC|,=,化简得x+y-2=0.方法三 (定义法)依题意|MA|=|MC|=|MO|,即:|MC|=|MO|,所以动点M是线段OC的中垂线,故由点斜式方程得到:x+y-2=0.10.如图所示,线段AB与CD互相垂直平分于点O,|AB|=2a(a0),|CD|=2b (b0),动点P满足|
65、PA|PB|=|PC|PD|.求动点P的轨迹方程.解 以O为坐标原点,直线AB、CD分别为x轴、y轴建立直角坐标系,则A(-a,0),B(a,0),C(0,-b),D(0,b),设P(x,y),由题意知|PA|PB|=|PC|PD|,=,化简得x2-y2=.故动点P的轨迹方程为x2-y2=.11.已知两条直线l1:2x-3y+2=0和l2:3x-2y+3=0,有一动圆(圆心和半径都动)与l1、l2都相交,且l1、l2被圆截得的弦长分别是定值26和24,求圆心的轨迹方程.解 设动圆的圆心为M(x,y),半径为r,点M到直线l1,l2的距离分别为d1和d2.由弦心距、半径、半弦长间的关系得,即消去
66、r得动点M满足的几何关系为=25,即.化简得(x+1)2-y2=65.此即为所求的动圆圆心M的轨迹方程.12.已知椭圆上任意一点P,由P向x轴作垂线段PQ,垂足为Q,点M在线段PQ上,且=2,点M的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)若过定点F(0,2)的直线l交曲线E于不同的两点G,H(点G在点F,H之间),且满足=2,求直线l的方程.解 (1)设M(x,y),P(x0,y0),=2,,将其代入椭圆方程得得曲线E的方程为:. (2)设G(x1,y1)、H(x2,y2),=2,x2=2x1.依题意,当直线l斜率不存在时,G(0,1),H(0,-1),不满足=2.故设直线l:y=kx+2,
67、代入曲线E的方程并整理得(1+2k2)x2+8kx+6=0,x1+x2=-,x1x2=联立解得k=,所以直线l的方程为:y=x+2.9.6 椭圆基础自测1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于 .答案 2.若椭圆=1的离心率为,则实数m= .答案 或3.已知ABC的顶点B、C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则ABC的周长是 .答案 44.已知方程+=1,表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围为 .答案 (-,-1)5.(2008天津文)设椭圆+=1(m0,n0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同,离心率为,则此椭圆的方程为 . 答案
68、=1例1 一动圆与已知圆O1:(x+3)2+y2=1外切,与圆O2:(x-3)2+y2=81内切,试求动圆圆心的轨迹方程.解 两定圆的圆心和半径分别为O1(-3,0),r1=1;O2(3,0),r2=9.设动圆圆心为M(x,y),半径为R,则由题设条件可得|MO1|=1+R,|MO2|=9-R.|MO1|+|MO2|=10.由椭圆的定义知:M在以O1、O2为焦点的椭圆上,且a=5,c=3.b2=a2-c2=25-9=16,故动圆圆心的轨迹方程为=1.例2 (1)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3倍,并且过点P(3,0),求椭圆的方程;(2)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过
69、两点P1(,1)、P2(-,-),求椭圆的方程.解 (1)若焦点在x轴上,设方程为=1 (ab0).椭圆过P(3,0),=1.又2a=32b,a=3,b=1,方程为.若焦点在y轴上,设方程为=1(ab0).椭圆过点P(3,0),=1又2a=32b,a=9,b=3.方程为=1. 所求椭圆的方程为或=1.(2)设椭圆方程为mx2+ny2=1(m0,n0且mn).椭圆经过P1、P2点,P1、P2点坐标适合椭圆方程,则 、两式联立,解得所求椭圆方程为.例3 已知F1、F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,F1PF2=60.(1)求椭圆离心率的范围;(2)求证:F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.(1
70、)解 设椭圆方程为=1 (ab0),|PF1|=m,|PF2|=n.在PF1F2中,由余弦定理可知,4c2=m2+n2-2mncos60.m+n=2a,m2+n2=(m+n)2-2mn=4a2-2mn,4c2=4a2-3mn.即3mn=4a2-4c2.又mn=a2(当且仅当m=n时取等号),4a2-4c23a2,即e.e的取值范围是.(2)证明 由(1)知mn=b2,=mnsin60=b2,即PF1F2的面积只与短轴长有关.例4 (16分)如图所示,已知A、B、C是椭圆E:=1(ab0)上的三点,其中点 A的坐标为(2,0),BC过椭圆的中心O,且ACBC,|BC|=2|AC|.(1)求点C的
71、坐标及椭圆E的方程;(2)若椭圆E上存在两点P、Q,使得PCQ的平分线总是垂直于x轴,试判断向量与是否共线,并给出证明.解 (1)|BC|=2|AC|,且BC经过O(0,0),|OC|=|AC|.又A(2,0),ACB=90,C(,),3分a=2,将a=2及C点坐标代入椭圆方程得=1,b2=4,椭圆E的方程为:=1.7分(2)对于椭圆上两点P、Q,PCQ的平分线总垂直于x轴,PC与CQ所在直线关于直线x=对称,设直线PC的斜率为k,则直线CQ的斜率为-k,直线PC的方程为y-=k(x-),即y=k(x-)+.直线CQ的方程为y=-k(x-)+,10分将代入=1,得(1+3k2)x2+6k(1-
72、k)x+9k2-18k-3=0,C(,)在椭圆上,x=是方程的一个根.xP=,xP=,同理可得,xQ=,kPQ=.14分C(,),B(-,-),又A(2,0),kAB=,15分kAB=kPQ,向量与向量共线.16分1.已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1、F2,M是椭圆上一点,N是MF1的中点,若|ON|=1,则|MF1|的长等于 .答案 62.根据下列条件求椭圆的标准方程:(1)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为和,过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点;(2)经过两点A(0,2)和B.解 (1)设椭圆的标准方程是=1或=1,则由题意知2a=|PF1|+|PF2|=2,
73、a=.在方程=1中令x=c得|y|=在方程=1中令y=c得|x|=依题意并结合图形知=.b2=.即椭圆的标准方程为=1或=1.(2)设经过两点A(0,2),B的椭圆标准方程为mx2+ny2=1,代入A、B得,所求椭圆方程为.3.(2008江苏,12)在平面直角坐标系中,椭圆(ab0)的焦距为2,以O为圆心,a为半径作圆,过点 作圆的两切线互相垂直,则离心率e= .答案 4.在平面直角坐标系xOy中,经过点(0,)且斜率为k的直线l与椭圆+y2=1有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围;(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B,是否存在常数k,使得向量+与共线?如果存在,求k
74、值;如果不存在,请说明理由.解 (1)由已知条件知直线l的方程为y=kx+,代入椭圆方程得+(kx+)2=1.整理得+2kx+1=0直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于=8k2-4=4k2-20,解得k-或k.即k的取值范围为(-,- )(,+).(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则+=(x1+x2,y1+y2),由方程得x1+x2=-又y1+y2=k(x1+x2)+2而A(,0),B(0,1),=(-,1).所以+与共线等价于x1+x2=-(y1+y2),将代入上式,解得k=.由(1)知k-或k,故没有符合题意的常数k.一、填空题1.已知椭圆的长轴长是8,离心率是,则此椭圆的标
75、准方程是 .答案 =1或=12.若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆上的点的最短距离为,则这个椭圆的方程为 .答案 或3.若椭圆的中心在原点,一个焦点为(0,5),直线y=3x-2与它相交所得的中点横坐标为,则这个椭圆的方程为 .答案 4.椭圆的左、右焦点分别为F1和F2,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点在y轴上,那么|PF1|是|PF2|的 倍.答案 75.已知椭圆(a5)的两个焦点为F1、F2,且|F1F2|=8,弦AB过点F1,则ABF2的周长为 .答案 46.已知以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个交
76、点,则椭圆的长轴长为 .答案 27.经过椭圆+y2=1的一个焦点作倾斜角为45的直线l,交椭圆于A、B两点,设O为坐标原点,则等于 .答案 -8.(2008全国理,15)在ABC中,AB=BC,cosB=-,若以A、B为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率e= .答案 二、解答题9.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0);(2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0);(3)经过P(-2,1),Q(,-2)两点.解 (1)由于椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为=1(ab0).2a=10,a=5.又c=4,b2=a2
77、-c2=25-16=9.故所求椭圆的方程为=1.(2)由于椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为=1 (ab0).由于椭圆经过点(0,2)和(1,0),故所求椭圆的方程为+x2=1.(3)设椭圆的标准方程为mx2+ny2=1 (m0,n0,mn),点P(-2,1),Q(,-2)在椭圆上,代入上述方程得解得=1.10.如图所示,点P是椭圆=1上的一点,F1和F2是焦点,且F1PF2=30,求F1PF2的面积.解 在椭圆=1中,a=,b=2.c= =1.又点P在椭圆上,|PF1|+|PF2|=2a=2. 由余弦定理知:|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos30 =|F1F2|2=
78、(2c)2=4.式两边平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|PF2|=20,-得(2+)|PF1|PF2|=16,|PF1|PF2|=16(2-),=|PF1|PF2|sin30=8-4.11.已知椭圆的中心在原点,离心率为,一个焦点是F(-m,0)(m是大于0的常数).(1)求椭圆的方程;(2)设Q是椭圆上的一点,且过点F、Q的直线l与y轴交于点M,若|=2|,求直线l的斜率.解 (1)设所求椭圆方程是=1(ab0).由已知,得c=m,=,a=2m,b=m.故所求的椭圆方程是:=1.(2)设Q(xQ,yQ),直线l:y=k(x+m),则点M(0,km),当=2时,由于F(-m,0),
79、M(0,km),(xQ-0,yQ-km)=2(-m-xQ,0-yQ)xQ=-,yQ=.又点Q在椭圆上,所以=1.解得k=2.当=-2时,xQ=-2m,yQ=-km.于是+=1,解得k=0.故直线l的斜率是0,2. 12.已知椭圆=1(ab0)的离心率为,直线y=x+1与椭圆相交于A、B两点,点M在椭圆上, = +,求椭圆的方程.解 由e=得a2=4b2,椭圆可化为:x2+4y2=4b2.将y=x+1代入上式,消去y并整理得:x2+2x+2-2b2=0.直线y=x+1与椭圆交于A、B两点,=4-4(2-2b2)0,b.设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),则由= +,得.M在椭圆上
80、,(x1+x2)2+(y1+y2)2=4b2,x1x2+4y1y2=0.x1x2+4=0,即x1x2+(x1+x2)+2=0又由知x1+x2=-2,x1x2=2-2b2,代入中得b2=1,满足b.椭圆方程为+y2=1.9.7 双曲线基础自测1.已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则双曲线方程为 .答案 =12.过双曲线x2-y2=8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上,若|PQ|=7,F2是双曲线的右焦点,则PF2Q的周长是 .答案 14+83.已知椭圆=1(ab0)与双曲线=1(m0,n0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0).若c是a与m的等比中项,n2是m2与c2的等差中
81、项,则椭圆的离心率等于 .答案 4.设F1、F2分别是双曲线=1的左、右焦点.若双曲线上存在点A,使F1AF2=90且|AF1|=3|AF2|,则双曲线的离心率为 .答案 5.(2008上海春招)已知P是双曲线=1右支上的一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-y=0,设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点.若|PF2|=3,则|PF1|= .答案 5例1 已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:(x-4)2+y2=2内切,求动圆圆心M的轨迹方程.解 设动圆M的半径为r,则由已知|MC1|=r+,|MC2|=r-,|MC1|-|MC2|=2.又C1(-4,0),C2(4,0),|C
82、1C2|=8,2|C1C2|.根据双曲线定义知,点M的轨迹是以C1(-4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线的右支.a=,c=4,b2=c2-a2=14,点M的轨迹方程是=1(x).例2 根据下列条件,求双曲线的标准方程.(1)与双曲线=1有共同的渐近线,且过点(-3,2);(2)与双曲线=1有公共焦点,且过点(3,2).解 (1)设所求双曲线方程为=(0),将点(-3,2)代入得=,所以双曲线方程为=,即=1.(2)设双曲线方程为=1.由题意易求c=2.又双曲线过点(3,2),-=1.又a2+b2=(2)2,a2=12,b2=8.故所求双曲线的方程为=1.例3 双曲线C:=1 (a0,b0)
83、的右顶点为A,x轴上有一点Q(2a,0),若C上存在一点P,使=0,求此双曲线离心率的取值范围.解 设P点坐标为(x,y),则由=0,得APPQ,则P点在以AQ为直径的圆上,即+y2=又P点在双曲线上,得=1由,消去y,得(a2+b2)x2-3a3x+2a4-a2b2=0.即(a2+b2)x2-(2a3-ab2)(x-a)=0.当x=a时,P与A重合,不符合题意,舍去.当x=时,满足题意的P点存在,需x=a,化简得a22b2,即3a22c2,.离心率e=.例4 (14分)已知双曲线C:-=1(01)的右焦点为B,过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两点,试确定的范围,使=0,其中点O为坐标原点
84、.解 设M(x1,y1),N(x2,y2),由已知易求B(1,0),当MN垂直于x轴时,MN的方程为x=1,设M(1,y0),N(1,-y0)(y00),由=0,得y0=1,M(1,1),N(1,-1).又M(1,1),N(1,-1)在双曲线上,-=12+-1=0=,4分因为01,所以=.5分当MN不垂直于x轴时,设MN的方程为y=k(x-1).由,得-(1-)k2x2+2(1-)k2x-(1-)(k2+)=0,8分由题意知:-(1-)k20,所以x1+x2=,x1x2=,于是y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=,10分因为=0,且M、N在双曲线右支上,所以.13分由,知.14分1.由双曲
85、线=1上的一点P与左、右两焦点F1、F2构成PF1F2,求PF1F2的内切圆与边F1F2的切点坐标.解 由双曲线方程知a=3,b=2,c=.如右图,根据从圆外一点引圆的两条切线长相等及双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=2a.由于|NF1|-|NF2|=|PF1|-|PF2|=2a.|NF1|+|NF2|=2c.由得|NF1|=a+c.|ON|=|NF1|-|OF1|=a+c-c=a=3.故切点N的坐标为(3,0).根据对称性,当P在双曲线左支上时,切点N的坐标为(-3,0).2.已知双曲线的渐近线的方程为2x3y=0,(1)若双曲线经过P(,2),求双曲线方程;(2)若双曲线的焦距是2,求
86、双曲线方程;(3)若双曲线顶点间的距离是6,求双曲线方程.解 方法一 (1)由双曲线的渐近线方程y=x及点P(,2)的位置可判断出其焦点在y轴上,(a0,b0)故可设双曲线方程为.依题意可得故所求双曲线方程为.(2)若焦点在x轴上,可设双曲线方程为.依题意此时所求双曲线方程为=1.若焦点在y轴上,可设双曲线方程为.依题意此时所求双曲线方程为.故所求双曲线方程为=1或.(3)若焦点在x轴上,则a=3,且=.a=3,b=2,双曲线方程为=1.若焦点在y轴上,则a=3,且=.a=3,b=,双曲线方程为.故所求双曲线方程为=1或.方法二 由双曲线的渐近线方程=0,可设双曲线方程为(0).(1)双曲线经
87、过点P(,2),=,即=-,故所求双曲线方程为=1.(2)若0,则a2=9,b2=4,c2=a2+b2=13.由题设2c=2,则13=13,即=1.此时,所求双曲线方程为=1.若0,则a2=-4,b2=-9,c2=a2+b2=-13.由题设2c=2,得=-1.此时,所求双曲线方程为=-1.故所求双曲线方程为=1或=1.(3)若0,则a2=9,由题设知2a=6.=1,此时所求双曲线方程为=1.若0,则a2=-4,由题设知2a=6,知=-.此时所求双曲线方程为.故所求双曲线方程为=1或.3.已知双曲线的中心在原点,焦点F1、F2在坐标轴上,离心率为,且过点P(4,-).(1)求双曲线方程;(2)若
88、点M(3,m)在双曲线上,求证:=0;(3)求F1MF2的面积.(1)解 e=,可设双曲线方程为x2-y2=(0).过点(4,-),16-10=,即=6.双曲线方程为x2-y2=6.(2)证明 方法一 由(1)可知,双曲线中a=b=,c=2,F1(-2,0),F2(2,0),=,=,=-.点(3,m)在双曲线上,9-m2=6,m2=3,故=-1,MF1MF2,=0.方法二 =(-3-2,-m),=(2-3,-m),=(3+2)(3-2)+m2=-3+m2.M点在双曲线上,9-m2=6,即m2-3=0,=0.(3)解 F1MF2的底|F1F2|=4,F1MF2的高h=|m|=,=6.4.(200
89、8天津理,21)已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(-3,0),一条渐近线的方程是x-2y=0.(1)求双曲线C的方程;(2)若以k(k0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M,N且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为,求k的取值范围.解 (1)设双曲线C的方程为=1(a0,b0).由题设得 解得所以双曲线C的方程为=1.(2)设直线l的方程为y=kx+m (k0).点M(x1,y1),N(x2,y2)的坐标满足方程组 将式代入式,得-=1,整理得(5-4k2)x2-8kmx-4m2-20=0.此方程有两个不等实根,于是5-4k20,且=(-8km)2+4(5-4k
90、2)(4m2+20)0,整理得m2+5-4k20.由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标(x0,y0)满足x0=,y0=kx0+m=.从而线段MN的垂直平分线的方程为y-.此直线与x轴、y轴的交点坐标分别为,.由题设可得=.整理得m2=,k0.将上式代入式得+5-4k20,整理得(4k2-5)(4k2-|k|-5)0,k0.解得0|k|或|k|.所以k的取值范围是(-,- )(-,0)(0, )(,+).一、填空题1.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m= .答案 -2.双曲线=1和椭圆=1 (a0,mb0)的离心率互为倒数,那么以a,b,m为边长的三角形是 三角形.答案 直角3
91、.(2008重庆理)已知双曲线=1(a0,b0)的一条渐近线为y=kx(k0),离心率e=k,则双曲线方程为 .答案 =14.已知双曲线=1的右焦点为F,若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此直线斜率的取值范围是 .答案 5.如图,F1和F2分别是双曲线=1(a0,b0)的两个焦点,A和B是以O为圆心,以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且F2AB是等边三角形,则双曲线的离心率为 .答案 1+6.设F1、F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点.若点P在双曲线上,且=0,则|+|= .答案 27.若双曲线x2-y2=1右支上一点P(a,b)到直线y=x的距离为,则a+b的
92、值是 .答案 8.(2008安徽文,14)已知双曲线=1的离心率为,则n= .答案 4二、解答题9.求与双曲线=1共渐近线,且过点A(2,-3)的双曲线方程.解 方法一 双曲线=1的渐近线方程为y=x,分两种情况讨论:(1)设所求双曲线方程为=1,=,b=aA(2,-3)在双曲线上,=1联立,得方程组无解,(2)设双曲线方程为=1,= 点A(2,-3)在双曲线上,=1 由联立方程组,解得a2=,b2=4.双曲线方程为:=1.方法二 由题意,设双曲线方程为=t(t0),点A(2,-3)在双曲线上,=t,t=-,双曲线方程为:=1.10.已知定点A(0,7)、B(0,-7)、C(12,2),以C为
93、一个焦点作过A、B的椭圆,求另一焦点F的轨迹方程.解 设F(x,y)为轨迹上的任意一点,A、B两点在以C、F为焦点的椭圆上,|FA|+|CA|=2a,|FB|+|CB|=2a(其中a表示椭圆的长半轴长),|FA|+|CA|=|FB|+|CB|,|FA|-|FB|=|CB|-|CA|=-=2.|FA|-|FB|=2.由双曲线的定义知,F点在以A、B为焦点,2为实轴长的双曲线的下半支上,点F的轨迹方程是y2-=1(y-1).11.已知点N(1,2),过点N的直线交双曲线x2-=1于A、B两点,且=(+).(1)求直线AB的方程;(2)若过N的直线交双曲线于C、D两点,且=0,那么A、B、C、D四点
94、是否共圆?为什么?解 (1)由题意知直线AB的斜率存在.设直线AB:y=k(x-1)+2,代入x2-=1得(2-k2)x2-2k(2-k)x-(2-k)2-2=0.(*)令A(x1,y1),B(x2,y2),则x1、x2是方程(*)的两根,2-k20且x1+x2=.=(+),N是AB的中点,=1,k(2-k)=-k2+2,k=1,直线AB的方程为y=x+1.(2)将k=1代入方程(*)得x2-2x-3=0,解得x=-1或x=3,不妨设A(-1,0),B(3,4).=0,CD垂直平分AB,CD所在直线方程为y=-(x-1)+2,即y=3-x,代入双曲线方程整理得x2+6x-11=0,令C(x3,
95、y3),D(x4,y4)及CD中点M(x0,y0)则x3+x4=-6,x3x4=-11,x0=-3,y0=6,即M(-3,6).|CD|=|x3-x4|=4;|MC|=|MD|=|CD|=2,|MA|=|MB|=2,即A、B、C、D到M距离相等,A、B、C、D四点共圆.12.直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A、B.(1)求实数k的取值范围;(2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.解 (1)将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1后,整理得(k2-2)x2+2kx+2=0
96、 依题意,直线l与双曲线C的右支交于不同两点,故解得k的取值范围为-2k-.(2)设A、B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则由式得 假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0),则由FAFB得(x1-c)(x2-c)+y1y2=0.即(x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0.整理得: (k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1=0把式及c=代入式化简得5k2+2k-6=0.解得k=-或k=(-2,-)(舍去).可知k=-使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.9.8 抛物线基础自测1.设a0,aR,则抛物线y=4
97、ax2的焦点坐标为 .答案 2.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,则p的值为 .答案 43.抛物线y2=24ax(a0)上有一点M,它的横坐标是3,它到焦点的距离是5,则抛物线的方程为 .答案 y2=8x4.(2008重庆文)若双曲线=1的左焦点在抛物线y2=2px的准线上,则p的值为 .答案 45.(2008全国文,15)已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,A、B是抛物线C上的两个点,线段AB的中点为M(2,2),则ABF的面积等于 .答案 2例1 已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最 小值时P点
98、的坐标.解 将x=3代入抛物线方程y2=2x,得y=.2,A在抛物线内部.设抛物线上点P到准线l:x=-的距离为d,由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d,当PAl时,|PA|+d最小,最小值为,即|PA|+|PF|的最小值为,此时P点纵坐标为2,代入y2=2x,得x=2,点P坐标为(2,2).例2已知抛物线顶点在原点,焦点在坐标轴上,又知此抛物线上的一点A(m,-3)到焦点F的距离为5,求m的值,并写出此抛物线的方程.解 若抛物线开口方向向下,设抛物线方程为x2=-2py(p0),这时准线方程为y=,由抛物线定义知-(-3)=5,解得p=4,抛物线方程为x2=-8y,这时将点A(m,-3)
99、代入方程,得m=2.若抛物线开口方向向左或向右,可设抛物线方程为y2=2ax (a0),从p=|a|知准线方程可统一成x=-的形式,于是从题设有,解此方程组可得四组解,,.y2=2x,m=;y2=-2x,m=-;y2=18x,m=;y2=-18x,m=-.例3 (2008山东理,22改编)(16分)如图所示,设抛物线方程为x2=2py (p0),M为直线y=-2p上任意一点,过M 引抛物线的切线,切点分别为A,B.(1)求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列;(2)已知当M点的坐标为(2,-2p)时,|AB|=4.求此时抛物线的方程.(1)证明 由题意设A,B,x1x2,M.由x2=2py得y
100、=,则y=,所以kMA=,kMB=. 2分因此,直线MA的方程为y+2p=(x-x0),直线MB的方程为y+2p=(x-x0).所以,+2 p = (x1-x0),+2 p =(x2-x0).5分由、得=,因此,x0=,即2x0=.所以A、M、B三点的横坐标成等差数列. 8分(2)解 由(1)知,当x0=2时,将其代入、,并整理得:x-4x1-4p2=0,x-4x2-4 p 2=0,所以,x1、x2是方程x2-4x-4 p 2=0的两根,10分因此,x1+x2=4,x1x2=-4 p 2,又kAB=,所以kAB=. 12分由弦长公式得|AB|=.又|AB|=4,所以p=1或p=2,因此所求抛物
101、线方程为x2=2y或x2=4y.16分1.(2008辽宁理,10)已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 .答案 2.已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴正半轴上,设A、B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴),但|AF|+|BF|=8,线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6,0),求此抛物线的方程.解 设抛物线的方程为y2=2 p x(p0),其准线为x=-.设A(x1,y1),B(x2,y2),|AF|+|BF|=8,x1+x2+=8,即x1+x2=8-p.Q(6,0)在线段AB的中垂线上,|QA|=|QB|.即(x1
102、-6)2+y12=(x2-6)2+y22,又y12=2px1,y22=2px2,(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0.AB与x轴不垂直,x1x2,故x1+x2-12+2p=8- p-12+2 p=0,即p=4.从而抛物线的方程为y2=8x.3.已知以向量v=为方向向量的直线l过点,抛物线C:y2=2px(p0)的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上.(1)求抛物线C的方程;(2)设A、B是抛物线C上两个动点,过A作平行于x轴的直线m,直线OB与直线m交于点N,若+p2=0 (O为原点,A、B异于原点),试求点N的轨迹方程.解 (1)由题意可得直线l的方程为y=x+,过原点垂直于l的
103、直线方程为y=-2x.解得x=-.抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上,-=-2, p=2.抛物线C的方程为y2=4x.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),N(x,y),由题意知y=y1.由+ p 2=0,得x1x2+y1y2+4=0,又y12=4x1,y22=4x2,解得y1y2=-8, 直线ON:y=x,即y=x. 由、及y=y1得点N的轨迹方程为x=-2(y0).一、填空题1.若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,则P的轨迹方程为 .答案 x2=8y2.设F为抛物线y2=ax (a0)的焦点,点P在抛物线上,且其到y轴的距离与到点F的距离之比为1
104、2,则|PF|= .答案 3.已知点P是抛物线y2=2x上的动点,点P在y轴上的射影是M,点A的坐标是,则|PA|+|PM|的最小值是 .答案 4.已知抛物线y2=4x,过焦点的弦AB被焦点分成长为m、n(mn)的两段,那么m+n与mn的大小关系是 .答案 相等5.设坐标原点为O,抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点,则= .答案 -6.设F为抛物线y2=4x的焦点,A、B、C为该抛物线上三点.若+=0,则|+|+|= .答案 67.(2008全国理,15)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F且斜率为1的直线交抛物线C于A、B两点.设|FA|FB|,则|FA|与|FB|的比值等于
105、.答案 3+28.(2008江西理,15)过抛物线x2=2py(p0)的焦点F作倾斜角为30的直线,与抛物线分别交于A、B两点(点A在y轴左侧),则= .答案 二、解答题9.已知抛物线y2=2px(p0)有一个内接直角三角形,直角顶点在原点,斜边长为2,一直角边的方程是y=2x,求抛物线的方程.解 因为一直角边的方程是y=2x,所以另一直角边的方程是y=-x.由,解得,或(舍去), 由,解得,或(舍去),三角形的另两个顶点为和(8 p,-4p).=2.解得p=,故所求抛物线的方程为y2=x.10.抛物线顶点在原点,它的准线过双曲线=1(a0,b0)的一个焦点,并与双曲线实轴垂直,已知抛物线与双
106、曲线的一个交点为,求抛物线与双曲线方程.解 由题设知,抛物线以双曲线的右焦点为焦点,准线过双曲线的左焦点,p=2c.抛物线方程为y2=4cx.抛物线过点,6=4c.c=1,故抛物线方程为y2=4x.又双曲线=1过点,=1.又a2+b2=c2=1.=1.a2=或a2=9(舍).b2=,故双曲线方程为4x2-=1.11.如图所示,倾斜角为的直线经过抛物线y2=8x的焦点F,且与抛物线交于A、B两点.(1)求抛物线焦点F的坐标及准线l的方程;(2)若为锐角,作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P,证明|FP|-|FP|cos2为定值, 并求此定值.(1)解 由已知得2 p=8,=2,抛物线的焦点坐标为
107、F(2,0),准线方程为x=-2.(2)证明 设A(xA,yA),B(xB,yB),直线AB的斜率为k=tan,则直线方程为y=k(x-2),将此式代入y2=8x,得k2x2-4(k2+2)x+4k2=0,故xA+xB=,记直线m与AB的交点为E(xE,yE),则xE=,yE=k(xE-2)=,故直线m的方程为y-=-,令y=0,得点P的横坐标xP=+4,故|FP|=xP-2=,|FP|-|FP|cos2=(1-cos2)=8,为定值.12.已知点P(-3,0),点A在y轴上,点Q在x轴非负半轴上,点M在直线AQ上,满足=0,=-.(1)当点A在y轴上移动时,求动点M的轨迹C的方程;(2)设轨
108、迹C的准线为l,焦点为F,过F作直线m交轨迹C于G,H两点,过点G作平行于轨迹C的对称轴的直线n,且nl=E,试问点E,O,H(O为坐标原点)是否在同一条直线上?并说明理由.解 (1)设M(x,y)为轨迹上任意一点,A(0,b),Q(a,0)(a0),则=(x,y-b),=(a-x,-y), =-,(x,y-b)=-(a-x,-y),从而.A,且=, =.=0,=0,即3x-y2=0,y2=4x,故M点的轨迹方程为y2=4x.(2)轨迹C的焦点为F(1,0),准线为l:x=-1,对称轴为x轴.设直线m的方程为y=k(x-1)(k0),由ky2-4y-4k=0,设G(x1,y1),H(x2,y2
109、),则由根与系数的关系得,y1y2=-4,又由已知=(-1,y1),=,(-1)y2-y1=-y2-y2=-y2+y2=0,故O,E,H三点共线.单元检测九一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)1.(2008福建文)“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的 条件.答案 充要2.过点(-1,3)且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为 .答案 x-2y+7=03.(2008安徽理)若过点A(4,0)的直线l与曲线(x-2)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率的取值范围为 .答案 4.过点M(2,1)的直线l与x轴,y轴分别交于P、Q两点且|MP|=|MQ|,则l的
110、方程是 .答案 x+2y-4=05.直线x-2y-3=0与圆C:(x-2)2+(y+3)2=9交于E、F两点,则ECF的面积为 .答案 26.(2008海南文,15)过椭圆=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则OAB的面积为 .答案 7.若a,b,c分别是ABC中角A,B,C所对边的边长,则直线sinAx+ay+c=0与bx-sinBy+c=0的位置关系是 .答案 垂直8.(2009姜堰中学高三综合练习)已知圆(x-2)2+y2=1经过椭圆=1(ab0)的一个顶点和一个焦点,则此椭圆的离心率e= .答案 9.(2008山东理)已知圆的方程为x2+y2-6x-8y
111、=0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为 .答案 2010.设P为双曲线x2-=1上的一点,F1、F2是该双曲线的两个焦点.若|PF1|PF2|=32,则PF1F2的面积为 .答案 1211.(2009东海高级中学高三调研)两个正数m,n的等差中项是5,等比中项是4,若mn,则椭圆=1的离心率e的大小为 .答案 12.已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A、B两点.若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|= .答案 813.在平面直角坐标系xOy中,已知ABC顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆=1上,则= .答案 1
112、4.已知两点A(1,0),B(b,0),若抛物线y2=4x上存在点C使ABC为等边三角形,则b= .答案 5或-二、解答题(本大题共6小题,共90分)15.(14分)过点M(0,1)作直线,使它被直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0所截得的线段恰好被M平分,求此直线方程.解 方法一 过点M且与x轴垂直的直线是y轴,它和两已知直线的交点分别是和(0,8),显然不满足中点是点M(0,1)的条件.故可设所求直线方程为y=kx+1,与已知两直线l1,l2分别交于A、B两点,联立方程组 由解得xA=,由解得xB=.点M平分线段AB,xA+xB=2xM,即+=0.解得k=-,故所求直线方程
113、为x+4y-4=0.方法二 设所求直线与已知直线l1,l2分别交于A、B两点.点B在直线l2:2x+y-8=0上,故可设B(t,8-2t),M(0,1)是AB的中点.由中点坐标公式得A(-t,2t-6).A点在直线l1:x-3y+10=0上,(-t)-3(2t-6)+10=0,解得t=4.B(4,0),A(-4,2),故所求直线方程为x+4y-4=0.16.(14分)已知方程x2+y2-2x-4y+m=0.(1)若此方程表示圆,求m的取值范围;(2)若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于M、N两点,且OMON(O为坐标原点),求m;(3)在(2)的条件下,求以MN为直径的圆的方程.解 (1
114、)(x-1)2+(y-2)2=5-m,m5.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1=4-2y1,x2=4-2y2,则x1x2=16-8(y1+y2)+4y1y2OMON,x1x2+y1y2=016-8(y1+y2)+5y1y2=0由得5y2-16y+m+8=0y1+y2=,y1y2=,代入得,m=.(3)以MN为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0即x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0所求圆的方程为x2+y2-x-y=0.17.(14分)已知双曲线=1的右焦点是F,右顶点是A,虚轴的上端点是B,=6-4,BAF=150.(1)求双曲线
115、的方程;(2)设Q是双曲线上的点,且过点F、Q的直线l与y轴交于点M,若+2=0,求直线l的斜率.解 (1)由条件知A(a,0),B(0,b),F(c,0)=(-a, b)(c-a,0)=a(a-c)=6-4cosBAF=-=cos150=-.a=c,代入a(a-c)=6-4中得c=2.a=,b2=c2-a2=2,故双曲线的方程为.(2)点F的坐标为(2,0).可设直线l的方程为y=k(x-2),令x=0,得y=-2k,即M(0,-2k)设Q(m,n),则由+2=0得(m,n+2k)+2(2-m,-n)=(0,0).即(4-m,2k-n)=(0,0).即,.=1,得k2=,k=.18.(16分
116、)过点(1,0)的直线l与中心在原点,焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点,直线y=x过线段AB的中点,同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称,试求直线l与椭圆C的方程.解 设椭圆C的方程为=1(ab0),显然,直线l的斜率存在且不为0,设l的方程为y=k(x-1)代入椭圆方程,整理得(k2a2+b2)x2-2k2a2x+a2k2-a2b2=0.因为直线l与C交于A、B两点=4k4a4-4(a2k2-a2b2)(k2a2+b2)0.即k2a2-k2+b20,当0时,设直线l与椭圆C的交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),AB中点为M(x0,y0),则x0=(x1+x2)=y0
117、=(y1+y2)= k(x1-1)+k(x2-1)=-.M(x0,y0)在直线y=x上,-=,k=-.又=1-e2=1-=,k=-=-1.因此直线l的方程为y=-x+1.a2=2b2,椭圆C的方程为=1,其右焦点为(b,0),设(b,0)点关于直线y=-x+1的对称点为(x,y),则.因为点(1,1-b)在椭圆上.1+2(1-b)2=2b2,解得b2=.把b2=,a2=,k2=1代入式,得0.b2=,a2=.椭圆C的方程为=1,直线l的方程为y=-x+1.19.(2008海南(宁夏)理,20)(16分)在直角坐标系xOy中,椭圆C1: =1 (ab0)的左、右焦点分别为F1、F2.F2也是抛物
118、线C2:y2=4x的焦点,点M为C1与C2在第一象限的交点,且|MF2|=.(1)求C1的方程;(2)平面上的点N满足=+,直线lMN,且与C1交于A、B两点,若=0,求直线l的方程.解 (1)由C2:y2=4x,知F2(1,0),设M(x1,y1),M在C2上,因为|MF2|=,所以x1+1=,得x1=,y1=.所以M.M在C1上,且椭圆C1的半焦距c=1,于是消去b2并整理得9a4-37a2+4=0.解得a=2(a=不合题意,舍去).故b2=4-1=3.故椭圆C1的方程为.(2)由=+,知四边形MF1NF2是平行四边形,其中心为坐标原点O,因为lMN,所以l与OM的斜率相同.故l的斜率k=
119、.设l的方程为y=(x-m).由消去y并整理得9x2-16mx+8m2-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.因为,所以x1x2+y1y2=0.所以x1x2+y1y2=x1x2+6(x1-m)(x2-m)=7x1x2-6m(x1+x2)+6m2=7-6m+6m2=(14m2-28)=0.所以m=.此时=(16m)2-49(8m2-4)0.故所求直线l的方程为y=x-2,或y=x+2.20.(16分)已知定点C(-1,0)及椭圆x2+3y2=5,过点C的动直线与椭圆相交于A,B两点.(1)若线段AB中点的横坐标是-,求直线AB的方程;(2)在x轴上是否存在点M
120、,使为常数?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.解 (1)依题意,直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x+1),将y=k(x+1)代入x2+3y2=5,消去y整理得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则由线段AB中点的横坐标是-,得=-=-,解得k=,适合.所以直线AB的方程为x-y+1=0,或x+y+1=0.(2)假设在x轴上存在点M(m,0),使为常数.()当直线AB与x轴不垂直时,由(1)知x1+x2=-,x1x2=. 所以=(x1-m)(x2-m)+y1y2=(x1-m)(x2-m)+k2(x1+1)(x2+1)=(k2+1)x1x2+(k2-m)(x1+x2)+k2+m2.将代入,整理得=+m2=+m2=m2+2m-.注意到是与k无关的常数,从而有6m+14=0,m=-,此时=.()当直线AB与x轴垂直时,此时点A,B的坐标分别为、,当m=-时,亦有=.综上,在x轴上存在定点M,使为常数.