1、2012高考数学压轴题精炼四1（本小题满分14分） 已知f(x)=(xR)在区间1，1上是增函数.（）求实数a的值组成的集合A；（）设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1|x1x2|对任意aA及t1，1恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.本小题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.解：（）f(x)= ，f(x)在1，1上是增函数，f(x)0对x1，1恒成立，即x2ax20对x1，1恒成立. 设(x)=x2ax2，方法一：
2、(1)=1a20， 1a1， (1)=1+a20.对x1，1，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f(-1)=0以及当a=1时，f(1)=0A=a|1a1. 方法二： 0， 0x1，x2是方程x2ax2=0的两非零实根， x1+x2=a， 从而|x1x2|=.x1x2=2，1a1，|x1-x2|=3.要使不等式m2+tm+1|x1x2|对任意aA及t1，1恒成立，当且仅当m2+tm+13对任意t1，1恒成立，即m2+tm20对任意t1，1恒成立. 设g(t)=m2+tm2=mt+(m22)，方法一： g(1)=m2m20， g(1)=m2+m20，m2或m2.所以，存在实数m，使不等式m2+
3、tm+1|x1x2|对任意aA及t1，1恒成立，其取值范围是m|m2，或m2.方法二：当m=0时，显然不成立；当m0时， m0， m0，y20.由y=x2， 得y=x.过点P的切线的斜率k切= x1，直线l的斜率kl=-，直线l的方程为yx12= (xx1)，方法一：联立消去y，得x2+xx122=0.M是PQ的中点 x0=-， y0=x12(x0x1).消去x1，得y0=x02+1(x00)，PQ中点M的轨迹方程为y=x2+1(x0).方法二：由y1=x12，y2=x22，x0=，得y1y2=x12x22=(x1+x2)(x1x2)=x0(x1x2)，则x0=kl=-，x1=，将上式代入并整
4、理，得y0=x02+1(x00)，PQ中点M的轨迹方程为y=x2+1(x0).（）设直线l:y=kx+b，依题意k0，b0，则T(0，b).分别过P、Q作PPx轴，QQy轴，垂足分别为P、Q，则. y=x2由 消去x，得y22(k2+b)y+b2=0. y=kx+b y1+y2=2(k2+b)，则 y1y2=b2.方法一：|b|()2|b|=2|b|=2.y1、y2可取一切不相等的正数，的取值范围是（2，+）.方法二：=|b|=|b|.当b0时，=b=+22；当b0，于是k2+2b0，即k22b.所以=2.当b0时，可取一切正数，的取值范围是（2，+）.方法三：由P、Q、T三点共线得kTQ=K
5、TP，即=.则x1y2bx1=x2y1bx2，即b(x2x1)=(x2y1x1y2).于是b=x1x2.=+=+2.可取一切不等于1的正数，的取值范围是（2，+）.3（本小题满分12分）某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失. 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.（总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.）本小题考
6、查概率的基本知识和数学期望概念及应用概率知识解决实际问题的能力，满分12分.解：不采取预防措施时，总费用即损失期望为4000.3=120（万元）；若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为10.9=0.1，损失期望值为4000.1=40（万元），所以总费用为45+40=85（万元）若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为10.85=0.15，损失期望值为4000.15=60（万元），所以总费用为30+60=90（万元）；若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75（万元），发生突发事件的概率为（10.9）（10.85）=0.0
7、15，损失期望值为4000.015=6（万元），所以总费用为75+6=81（万元）.综合、，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少.4（本小题满分14分）已知（I）已知数列极限存在且大于零，求（将A用a表示）；（II）设（III）若都成立，求a的取值范围.本小题主要考查数列、数列极限的概念和数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.解：（I）由（II）（III）（i）当n=1时结论成立（已验证）.（ii）假设当故只须证明即n=k+1时结论成立.根据（i）和（ii）可知结论对一切正整数都成立.故5（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小
8、问满分10分）已知，函数.()当时，求使成立的的集合；()求函数在区间上的最小值.本小题主要考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想和分析推理能力. 满分14分.解：（）由题意，.当时，解得或；当时，解得.综上，所求解集为.（）设此最小值为.当时，在区间上，.因为 ，则在区间上是增函数，所以.当时，在区间上，由知 .当时，在区间上，. .若，在区间内，从而为区间上的增函数，由此得 .若，则. 当时，从而为区间上的增函数； 当时，从而为区间上的减函数.因此，当时，或.当时，故；当时，故.综上所述，所求函数的最小值 6（本小题满分14分，第一小问满分2分，第二、第三小问满分各6分）设数列的前项和为，已知，且，其中为常数.()求与的值；()证明：数列为等差数列；()证明：不等式对任何正整数都成立.本小题主要考查等差数列的有关知识、不等式的证明方法，考查思维能力、运算能力. 解：（）由已知，得，.由，知 即 解得 ，.（）方法1由（），得 ， 所以 . -，得 ， 所以 . -，得 .因为 ，所以 .又因为 ，所以 ，即 ，.所以数列为等差数列.方法2由已知，得，又，且，所以数列是唯一确定的，因而数列是唯一确定的.设，则数列为等差数列，前项和.于是 ，由唯一性得 ，即数列为等差数列.（）由（）可知，.要证 ，只要证 .因为 ，故只要证 ，即只要证 .因为 ，所以命题得证.
