1、2015-2016学年广东省揭阳市普宁一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.1集合A=x|2x2，B=x|1x3，那么AB=（）Ax|2x3Bx|1x2Cx|2x1Dx|2x32已知平面内有无数条直线都与平面平行，那么（）AB与相交C与重合D或与相交3下列函数中，在其定义域内是减函数的是（）Af（x）=2xBCf（x）=lnxDf（x）=4将函数y=sin（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（）ABCD5过点（1，2）且与直线2x3y+4=0垂直的直线方程为（）A3x+2y1
2、=0B3x+2y+7=0C2x3y+5=0D2x3y+8=06下列各组向量中：，其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（）ABCD7如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（）ABCD18已知是三角形的内角，且sincos=，则cos+sin的值等于（）ABCD9在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H，记、分别为、，则=（）AB+C+D10定义在R上的函数y=f（x+1）的图象如图所示，它在定义域上是减函数，给出如下命题：f（0）=1；f（1）=1；若x0，则f（x）0；若
3、x0，则f（x）0，其中正确的是（）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分11函数的定义域为12若向量的夹角为150，|=4，则|=13直线3x4y4=0被圆（x3）2+y2=9截得的弦长为14定义一种运算令，且x，则函数的最大值是三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤15（12分）（2012东至县一模）已知平面向量=（1，x），=（2x+3，x）（xR）（1）若，求x的值； （2）若，求|16（12分）（2015秋普宁市校级期中）某公司将进货单价为8元一个的商品按10元一个出售，每天可以卖出100个，若这种商品的售价每个上涨1元，则销
4、售量就减少10个（1）求售价为13元时每天的销售利润；（2）求售价定为多少元时，每天的销售利润最大，并求最大利润17（14分）（2015秋普宁市校级期中）已知函数（）求函数f（x）的最小正周期；（）确定函数f（x）在上的单调性并求在此区间上f（x）的最小值18（14分）（2007番禺区模拟）（1）已知ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（0，3），C（2，4），边AC的中点为D，求AC边上中线BD所在的直线方程并化为一般式；（2）已知圆C的圆心是直线2x+y+1=0和x+3y4=0的交点且与直线3x+4y+17=0相切，求圆C的方程19（14分）（2011乐陵市校级模拟）如图所示，四棱锥
5、PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PA=AD=a（1）求证：MN平面PAD；（2）求证：平面PMC平面PCD20（14分）（2015秋普宁市校级期中）已知函数f（x）=（a0且a1）（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）判断函数f（x）的奇偶性；（3）讨论函数f（x）的单调性2015-2016学年广东省揭阳市普宁一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.1集合A=x|2x2，B=x|1x3，那么AB=（）Ax|2x3Bx|1x2Cx|2x1Dx|2x3【考点】并集及其运算 【专题】计算题
6、；数形结合【分析】把两个集合的解集表示在数轴上，可得集合A与B的并集【解答】解：把集合A和集合B中的解集表示在数轴上，如图所示，则AB=x|2x3故选A【点评】此题考查学生理解并集的定义掌握并集的运算法则，灵活运用数形结合的数学思想解决数学问题，是一道基础题2已知平面内有无数条直线都与平面平行，那么（）AB与相交C与重合D或与相交【考点】平面与平面之间的位置关系 【专题】综合题【分析】由题意平面内有无数条直线都与平面平行，利用空间两平面的位置关系的定义即可判断【解答】解：由题意当两个平面平行时符合平面内有无数条直线都与平面平行，当两平面相交时，在平面内作与交线平行的直线，也有平面内有无数条直线
7、都与平面平行故为D【点评】此题重点考查了两平面空间的位置及学生的空间想象能力3下列函数中，在其定义域内是减函数的是（）Af（x）=2xBCf（x）=lnxDf（x）=【考点】函数单调性的判断与证明 【专题】函数的性质及应用【分析】利用基本函数的单调性的逐项判断即可【解答】解：f（x）=2x是定义域R上的增函数，故排除A；f（x）=lnx是定义域（0，+）上的增函数，故排除C；f（x）=在定义域（，0）（0，+）上不单调，故排除D；f（x）=在定义域（0，+）上单调递减，故选B【点评】本题考查函数单调性的判断，属基础题，掌握基本函数的单调性是解决该类题目的基础4将函数y=sin（x）的图象上所有
8、点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（）ABCD【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换 【专题】三角函数的图像与性质【分析】根据三角函数的图象的平移法则，依据原函数横坐标伸长到原来的2倍可得到新的函数的解析式，进而通过左加右减的法则，依据图象向左平移个单位得到y=sin（x+），整理后答案可得【解答】解：将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得函数y=sin（x），再将所得的图象向左平移个单位，得函数y=sin（x+），即y=sin（x），故选：C【点评】本题主要考查了三角函数的图象的变换要特别注意图象平移的法则
9、5过点（1，2）且与直线2x3y+4=0垂直的直线方程为（）A3x+2y1=0B3x+2y+7=0C2x3y+5=0D2x3y+8=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系 【专题】直线与圆【分析】根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线2x3y+4=0垂直的直线方程为3x2y+c=0，再把点（1，2）代入，即可求出c值，得到所求方程【解答】解：所求直线方程与直线2x3y+4=0垂直，设方程为3x2y+c=0直线过点（1，2），3（1）22+c=0c=1所求直线方程为3x+2y1=0故选：A【点评】本题主要考查了互相垂直的两直线方程之间的关系，以及待定系数法求直线方程，属于常规题6下列各组向
10、量中：，其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（）ABCD【考点】平面向量的基本定理及其意义 【分析】根据平面内向量基底的定义直接进行判断判断两个向量是否共线，即可得出结果【解答】解：由，可得1725即不平行故，可以作为表示它们所在平面内所有向量的基底由可得310=56即故，不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底由可得即不平行故，可以作为表示它们所在平面内所有向量的基底答案为B【点评】本题考查向量基底的定义，通过判断是否共线判断结果属于基础题7如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（）ABCD1【考
11、点】由三视图求面积、体积 【专题】计算题；图表型【分析】此题为一三棱锥，且同一点出发的三条棱长度为1，可以以其中两条棱组成的直角三角形为底，另一棱为高，利用体积公式求得其体积【解答】解：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，右图为该三棱锥的直观图，并且侧棱PAAB，PAAC，ABAC则该三棱锥的高是PA，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体的体积，故选A【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的体积，由于本题中几何体出现了同一点出发的三条棱两两垂
12、直，故体积易求三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”，三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能8已知是三角形的内角，且sincos=，则cos+sin的值等于（）ABCD【考点】三角函数的化简求值 【专题】解三角形【分析】利用三角函数的平方关系式求解即可【解答】解：是三角形的内角，且sincos=，可得为锐角cos+sin=故选：C【点评】本题考查三角形的解法，三角函数的基本关系式的应用，注意角的范围是解题的关键9在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H，记、分别为、，则=（）AB+C+D【考点】向量加减混合运算
13、及其几何意义 【专题】计算题【分析】欲求出向量则，关键是求出向量则与向量的线性关系过点F作BC的平行线交DE于G，则G是DE的中点，利用相似三角形有知识即可得出它们的线性关系，从而解决问题【解答】解：过点F作BC的平行线交DE于G，则G是DE的中点，且GF=EC=BCGF=AD，则AHDGHF 从而FH=AH，又故选B【点评】本题主要考查了向量加减混合运算及其几何意义、平行四边形的几何性质，属于基础题10定义在R上的函数y=f（x+1）的图象如图所示，它在定义域上是减函数，给出如下命题：f（0）=1；f（1）=1；若x0，则f（x）0；若x0，则f（x）0，其中正确的是（）ABCD【考点】函数
14、的图象与图象变化 【专题】数形结合【分析】由函数y=f（x+1）的图象，结合函数平移变换，我们易得函数y=f（x）的图象，然后根据图象逐一分析四个结论，即可得到答案【解答】解：由定义在R上的函数y=f（x+1）的图象它是由函数y=f（x）的图象向左平移一个单位得到的，故函数y=f（x）的图象如下图所示：由图可得：f（0）=1正确；f（1）=1错误；若x0，则f（x）0错误；若x0，则f（x）0正确即只有正确故选B【点评】本题考查的知识点是函数的图象与图象的变化，其中根据函数图象“左加右减”的原则，由函数y=f（x+1）的图象，向右平移一个单位，得到函数y=f（x）的图象是解答本题的关键二、填空
15、题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分11函数的定义域为x|x4且x1【考点】函数的定义域及其求法 【专题】函数的性质及应用【分析】根据分式有意义的条件，分母不能为0，偶次根式，被开方数大于等于0，可求出函数的f（x）的定义域【解答】解：解得x4且x1即函数的定义域为x|x4且x1故答案为：x|x4且x1【点评】本题主要考查了函数的定义域及其求法，解题的关键是注意分母不能为0，偶次根式被开方数大于等于0，属于基础题12若向量的夹角为150，|=4，则|=2【考点】平面向量数量积的运算 【专题】平面向量及应用【分析】利用数量积运算性质即可得出【解答】解：=6|=2故答案为：2【点评】本题考查
16、了数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13直线3x4y4=0被圆（x3）2+y2=9截得的弦长为4【考点】直线与圆的位置关系 【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】先根据圆的方程求得圆的圆心坐标和半径，进而利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离，进而利用勾股定理求得被截的弦的一半，则弦长可求【解答】解：根据圆的方程可得圆心为（3，0），半径为3则圆心到直线的距离为=1，弦长为2=4，故答案为：4【点评】本题主要考查了直线与圆相交的性质解题的关键是利用数形结合的思想，通过半径和弦构成的三角形和圆心到弦的垂线段，利用勾股定理求得答案14定义一种运算令，且x，则函数的最大值是【考
17、点】三角函数的最值 【专题】计算题；压轴题；新定义【分析】先根据已知求函数f（x），然后进一步求f（x）的解析式，结合二次函数的值域求解可求结果【解答】解：0x，0sinx1y=cos2x+sinx=sin2x+sinx+1=由题意可得，f（x）=cos2x+sinxf（x）=函数的最大值故答案为：【点评】本题以新定义为载体，重点考查了三角函数中正弦、余弦函数的值域的求解，其中贯穿了二次函数的模型，重点是考查考生对二次函数在闭区间上的值域求解三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤15（12分）（2012东至县一模）已知平面向量=（1，x），=（2x+3，x
18、）（xR）（1）若，求x的值； （2）若，求|【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模；平行向量与共线向量 【专题】计算题；分类讨论【分析】（1）由，=0，我们易构造一个关于x的方程，解方程即可求出满足条件的x的值（2）若，根据两个向量平行，坐标交叉相乘差为零，构造一个关于x的方程，解方程求出x的值后，分类讨论后，即可得到|【解答】解：（1），=（1，x）（2x+3，x）=2x+3x2=0整理得：x22x3=0解得：x=1，或x=3（2）1（x）x（2x+3）=0即x（2x+4）=0解得x=2，或x=0当x=2时，=（1，2），=（1，2）=（2，4）|=2当x=0时，=（1，0），
19、=（3，0）=（2，0）|=2故|的值为2或2【点评】本题考查的知识是数量积判断两个平面向量的垂直关系，向量的模，平行向量与共线向量，其中根据“两个向量平行，坐标交叉相乘差为零，两个向量若垂直，对应相乘和为零”构造方程是解答本题的关键16（12分）（2015秋普宁市校级期中）某公司将进货单价为8元一个的商品按10元一个出售，每天可以卖出100个，若这种商品的售价每个上涨1元，则销售量就减少10个（1）求售价为13元时每天的销售利润；（2）求售价定为多少元时，每天的销售利润最大，并求最大利润【考点】函数模型的选择与应用 【专题】函数的性质及应用【分析】（1）售价为13元时，求出销售量减少的个数，
20、然后求解当售价为13元时每天的销售利润（2）设售价定为x元时，每天的销售利润为y元，列出函数的解析式，利用二次函数的最值求解即可【解答】（本小题满分12分）解：（1）依题意，可知售价为13元时，销售量减少了：10（1310）=30（个）所以，当售价为13元时每天的销售利润为：（138）（10030）=350（元） （4分）（2）设售价定为x元时，每天的销售利润为y元，依题意，得y=（x8）100（x10）10=10x2+280x1600=10（x14）2+360（10x20）当x=14时，y取得最大值，且最大值为ymax=360即售价定为14元时，每天的销售利润最大，最大利润为360元（12分
21、）【点评】本题考查函数与方程的应用，列出函数的解析式是解题的关键，考查计算能力17（14分）（2015秋普宁市校级期中）已知函数（）求函数f（x）的最小正周期；（）确定函数f（x）在上的单调性并求在此区间上f（x）的最小值【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单调性 【专题】计算题；三角函数的求值；三角函数的图像与性质【分析】（）利用二倍角公式以及两角和的正弦函数，化简函数的表达式，通过函数的周期求函数f（x）的最小正周期；（）求出函数的单调减区间以及函数的单调减区间，然后确定函数f（x）在上的单调性，利用正弦函数的单调性求在此区间上f（x）的最小值【解答】
22、解：（）函数，所以=sin（2x）1，（3分）则f（x）的最小正周期是T=；（4分）（）因为，kZ，所以，kZ，所以函数的单调增区间是，kZ，单调减区间是 kZ，所以函数在上是增函数，在是减函数所以函数的最小值为：f（0）=【点评】本题考查三角函数的周期的求法，两角和与差的三角函数的应用，正弦函数的单调性的应用，考查计算能力18（14分）（2007番禺区模拟）（1）已知ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（0，3），C（2，4），边AC的中点为D，求AC边上中线BD所在的直线方程并化为一般式；（2）已知圆C的圆心是直线2x+y+1=0和x+3y4=0的交点且与直线3x+4y+17=0相切
23、，求圆C的方程【考点】直线与圆的位置关系；两条直线的交点坐标；圆的标准方程 【专题】综合题【分析】（1）先求AC边的中点D的坐标，再由直线两点式，得中线BD所在的直线方程；（2）先解方程组求得圆心的坐标，再利用点到直线的距离，求得圆的半径，即得圆的方程【解答】解：（1）A（4，1），C（2，4），AC边的中点D的坐标为（3，），又B（0，3），（2分）由直线两点式，得中线BD所在的直线方程为（4分）即x+6y18=0（6分）（2）解方程组得（3分）由点（）到直线3x+4y+17=0距离得=4圆的半径为4（6分）圆C的方程为：（7分）【点评】本题考查的重点是直线与圆的方程，解题的关键是正确运用直
24、线的两点式方程，利用点到直线的距离求半径19（14分）（2011乐陵市校级模拟）如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PA=AD=a（1）求证：MN平面PAD；（2）求证：平面PMC平面PCD【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质 【专题】证明题【分析】（1）欲证MN平面PAD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证MN与平面PAD内一直线平行即可，设PD的中点为E，连接AE、NE，易证AMNE是平行四边形，则MNAE，而AE平面PAD，NM平面PAD，满足定理所需条件；（2）欲证平面PMC平面PCD
25、，根据面面垂直的判定定理可知在平面PMC内一直线与平面PCD垂直，而AEPD，CDAE，PDCD=D，根据线面垂直的判定定理可知AE平面PCD，而MNAE，则MN平面PCD，又MN平面PMC，满足定理所需条件【解答】证明：（1）设PD的中点为E，连接AE、NE，由N为PC的中点知ENDC，又ABCD是矩形，DCAB，ENAB又M是AB的中点，ENAM，AMNE是平行四边形MNAE，而AE平面PAD，NM平面PADMN平面PAD证明：（2）PA=AD，AEPD，又PA平面ABCD，CD平面ABCD，CDPA，而CDAD，CD平面PADCDAE，PDCD=D，AE平面PCD，MNAE，MN平面PC
26、D，又MN平面PMC，平面PMC平面PCD【点评】本题主要考查平面与平面垂直的判定，以及线面平行的判定，同时考查了空间想象能力和推理能力，以及转化与划归的思想，属于基础题20（14分）（2015秋普宁市校级期中）已知函数f（x）=（a0且a1）（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）判断函数f（x）的奇偶性；（3）讨论函数f（x）的单调性【考点】奇偶性与单调性的综合 【专题】函数的性质及应用【分析】（1）对于任意实数x，都有ax0，进而可得函数解析式恒有意义，即可得到函数f（x）的定义域；由f（x）=1，结合指数函数的值域利用分析法，可求出值域（2）任取实数x，判断f（x）与f（x）的关系，
27、进而根据函数奇偶性的定义，可判断此函数的奇偶性（3）任取实数x1x2，判断f（x1）f（x2）的符号，进而根据函数单调性的定义，可得答案【解答】解：（1）xR，都有ax0，ax+11，故函数f（x）=（a0且a1）的定义域为实数集Rf（x）=1，而ax0，ax+11，02，20，111即1f（x）1函数f（x）的值域为（1，1）（2）函数f（x）在实数集R上是奇函数下面给出证明xR，f（x）=f（x），函数f（x）在实数集R上是奇函数（3）x1x2，则f（x1）f（x2）=1（1）=，若a1，ax1+10，ax2+10，ax1ax20，f（x1）f（x2），当a1时，函数f（x）在实数集R上单调递增若0a1，ax1+10，ax2+10，ax1ax20，f（x1）f（x2），当0a1时，函数f（x）在实数集R上单调递减【点评】本题综合考查了函数的定义域、值域、奇偶性及单调性，熟练掌握以上知识及方法是解决问题的关键
