1、数学选修22(人教A版)22直接证明与间接证明22.2反证法一、选择题1命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是()A有两个内角是直角B有三个内角是直角C至少有两个内角是直角D没有一个内角是直角答案：C2否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为()Aa，b，c都是奇数Ba，b，c都是偶数Ca，b，c中至少有两个偶数Da，b，c中或都是奇数或至少有两个偶数解析：恰有一个偶数的否定有两种情况：其一是无偶数(全为奇数)，其二是至少有两个偶数答案：D3下列命题不适合用反证法证明的是()A同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B两个不相等的角不是对顶角C平行四边形的对
2、角线互相平分D已知x，yR，且xy2，求证：x，y中至少有一个大于1.解析：选项A中命题条件较少，不足以正面证明；选项B中命题是否定性命题，可以反证法证明；选项D中命题是至少性命题，可以反证法证明选项C不适合用反证法证明故选C.答案：C4用反证法证明命题：“a、bN，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为()Aa，b都能被5整除 Ba，b都不能被5整除Ca，b不都能被5整除 Da不能被5整除答案：B5用反证法证明命题“若sin cos 1，则sin 0且cos 0”时，下列假设的结论正确的是()Asin 0或cos 0 Bsin 0且cos 0Csin 0或cos
3、 0 Dsin 0且cos 0解析：由题意，考虑sin 0且cos 0的否定，由于sin 0且cos 0表示sin ，cos 都大于等于0成立，故其否定为sin ，cos 不都大于等于0，选C.答案：C二、填空题6用反证法证明命题“若实系数一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，应假设_解析：“a，b，c中至少有一个是偶数”的反面是“a，b，c都不是偶数”，故应假设a，b，c都不是偶数答案：a，b，c都不是偶数7已知数列an，bn的通项公式分别为anan2，bnbn1(a，b是常数，且ab)，那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有_个解析：假设存在
4、序号和数值均相等的项，即存在n使得 anbn，由题意ab，nN*，则恒有anbn，从而an2bn1恒成立，所以不存在n使anbn.答案：08有下列叙述：“ab”的反面是“ay或xy或xb”的反面是“ab”；“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心不在三角形外”；“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形至少有两个钝角”所以这三个都错答案：三、解答题9(2013佛山高二检测)设函数f(x)ax2bxc(a0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数求证：f(x)0无整数根证明：假设f(x)0有整数根n，则an2bnc0(nZ)，而f(0)，f(1)均为奇数，即c为奇数，ab为偶
5、数，则a，b，c同时为奇数或a，b同时为偶数，c为奇数当n为奇数时，an2bn为偶数；当n为偶数时，an2bn也为偶数，即an2bnc0为奇数，与 an2bnc0矛盾所以f(x)0无整数根10已知函数f(x)ax(a1)(1)证明：函数f(x)在(1，)上为增函数；证明：任取x1，x2(1，)，不妨设x10，ax2x11，且ax10.所以ax2ax1ax1(ax2x11)0.又因为x110，x210，所以0.于是f(x2)f(x1)ax2ax10，故函数f(x)在(1，)上为增函数(2)用反证法证明方程f(x)0没有负实根证明：设存在x00(x01)满足f(x0)0，则ax0.又0ax01，所以01，即x02.与假设x00矛盾，故f(x)0没有负实根
