1、考点四 平面向量 第一部分 刷考点A卷 一、选择题1(2019安徽江淮十校最后一卷)已知向量 a(1,2)，b(2,3)，c(4,5)，若(ab)c，则实数()A12B12C2D2答案 C解析 因为 a(1,2)，b(2,3)，所以 ab(12，23)，又(ab)c，所以(ab)c0，即 4(12)5(23)0，解得 2.故选 C.2已知点 A(1,3)，B(4，1)，则与向量AB同方向的单位向量为()A35，45B45，35C35，45D45，35答案 A解析 因为AB(3，4)，所以与其同方向的单位向量 e AB|AB|15(3，4)35，45，故选 A.3设向量 e1，e2 为平面内所有
2、向量的一组基底，且向量 a3e14e2 与b6e1ke2 不能作为一组基底，则实数 k 的值为()A8B8C4D4答案 B解析 由 a 与 b 不能作为一组基底，则 a 与 b 必共线，故364k，即 k8.故选 B.4(2019湖南长沙一中一模)若非零向量 a，b 满足|a|2|b|4，(a2b)a0，则 a 在 b 方向上的投影为()A4B8C14D18答案 A解析 由(a2b)aa22ab0 得 aba22|a|22 8，从而 a 在 b 方向上的投影为ab|b|824，故选 A.5(2019福建龙岩模拟)在平行四边形 ABCD 中，点 E 为 CD 的中点，BE 与 AC 的交点为 F
3、，设ABa，AD b，则向量BF()A13a23bB13a23bC13a23bD13a23b答案 C解析 由CEFABF，且 E 是 CD 的中点，得CEABEFBF12，则BF23BE23(BCCE)23AD 12AB 13a23b，故选 C.6(2019辽宁朝阳四模)已知 P 为等边三角形 ABC 所在平面内的一个动点，满足BPBC(R)，若|AB|2，则AP(ABAC)()A2 3B3C6D与 有关的数值答案 C解析 设 BC 的中点为 O，则|AO|3，因为BPBC(R)，所以点 P在直线 BC 上，即AP在AO 方向上的投影为|AO|，所以AP(ABAC)2AO AP2|AO|26，
4、故选 C.7已知向量 a(2，1)，b(，1)，若 a 与 b 的夹角为钝角，则 的取值范围是()A12，2(2，)B(2，)C12，D，12答案 A解析 因为 a 与 b 的夹角为钝角，所以 ab0 且 a，b 不共线，即210 且20，故 的取值范围是12，2(2，)8若 O 为ABC 所在平面内任一点，且满足(OB OC)(OB OC 2OA)0，则ABC 的形状为()A等腰三角形B直角三角形C正三角形D等腰直角三角形答案 A解析(OB OC)(OB OC 2OA)0，即CB(ABAC)0，ABACCB，(ABAC)(ABAC)0，即|AB|AC|，ABC 是等腰三角形，故选 A.二、填
5、空题9(2019山东栖霞模拟)若向量 a(2，x)，b(2,1)不共线，且(ab)(ab)，则 ab_.答案 3解析 因为 ab(0，x1)，ab(4，x1)，且(ab)(ab)，所以 04(x1)(x1)0，解得 x1 或 x1，因为向量 a(2，x)，b(2,1)不共线，所以 x1 不成立，即 x1，所以 ab2(2)113.10向量 e1，e2，a，b 在正方形网格中的位置如图所示，若 abxe1ye2，则 y_.答案 3解析 由题图易得 ae14e2，b2e1e2，则 ab(e14e2)(2e1e2)e13e2，所以 x1，y3.11(2019四川棠湖中学适应性考试)在直角坐标系 xO
6、y 中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，若点 P 满足PAPBPC0，则|OP|_.答案 2 2解析 因为PAPBPC0，所以 P 为ABC 的重心，故 P 的坐标为1233，1233，即(2,2)，故|OP|2 2.12(2019山东德州二模)已知ABC 中，|BC|2，BABC2.点 P 为BC 边上的动点，则PC(PAPBPC)的最小值为_答案 2512解析 以 BC 的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得 B(1,0)，C(1,0)，设 P(a,0)，A(x，y)，由BABC2，可得(x1，y)(2,0)2x22，即 x2，y0，则PC(PAPBPC)(1a，0)
7、(xa1a1a，y00)(1a)(x3a)(1a)(23a)3a2a23a1622512，当 a16时，PC(PAPBPC)的最小值为2512.三、解答题13已知OA a，OB b，任意点 M 关于点 A 的对称点为 S，点 S 关于点 B 的对称点为 N.(1)用 a，b 表示向量MN；(2)设|a|1，|b|2，MN OA，求 a 与 b 的夹角解(1)由题意可得，AB 是SMN 的中位线，故有MN 2AB2(OB OA)2(ba)(2)记 a 与 b 的夹角为，因为MN OA，所以MN OA 0，即 2(ba)a0，则 baa20，所以|b|a|cos|a|20，又|a|1，|b|2，则
8、 2cos10，即 cos12，而 0，所以 3.14(2019四川成都龙泉中学模拟)已知平面向量 a(3，1)，b12，32.(1)证明：ab；(2)若存在不同时为零的实数 k 和 t，使 ca(t23)b，dkatb，且 cd，试求函数关系式 kf(t)解(1)证明：ab 3121 32 0，ab.(2)ca(t23)b，dkatb，且 cd，cda(t23)b(katb)ka2t(t23)b2tk(t23)ab0.又 a2|a|24，b2|b|21，ab0，cd4kt33t0，kf(t)t33t4(t0)B卷 一、选择题1设 a，b 都是非零向量，下列四个选项中，一定能使 a|a|b|b
9、|0 成立的是()Aa2bBabCa13bDab答案 C解析“a|a|b|b|0，且 a，b 都是非零向量”等价于“非零向量 a，b 共线且反向”，则答案为 C.2(2019全国卷)已知AB(2,3)，AC(3，t)，|BC|1，则ABBC()A3B2C2D3答案 C解析 BCACAB(3，t)(2,3)(1，t3)，|BC|1，12t321，t3，BC(1,0)，ABBC21302.故选 C.3(2019山东聊城三模)在正方形 ABCD 中，E 为 DC 的中点，若AEABAC，则 的值为()A12 B.12 C1 D1 答案 B 解析 AE 12AD 12AC 12BC 12AC 12AC
10、 12AB 12AC 12AB AC，12，1，12.故选 B.4ABC 所在的平面内有一点 P，满足PAPBPCAB，则PBC与ABC 的面积之比是()A13B12C23D34答案 C解析 因为PAPBPCAB，所以PAPBPCPBPA，所以PC2PA2AP，即 P 是 AC 边的一个三等分点，且 PC23AC，由三角形的面积公式可知，SPBCSABCPCAC23.5(2019福建模拟)已知向量 a，b 满足|ab|ab|，且|a|3，|b|1，则向量 b 与 ab 的夹角为()A3B23C6D56答案 B解析 因为|ab|ab|，所以 a22abb2a22abb2，即 ab0，所以 ab.
11、如图，设ABa，AD b，则向量 b 与 ab 的夹角为BDE，因为tanBDA 3，所以BDA3，BDE23.故选 B.6如图，在ABC 中，AN14NC，P 是 BN 上的一点，若APmAB 211AC，则实数 m 的值为()A 911B 211C 311D 111答案 D解析 AN14NC，AC5AN，APmAB 211AC，APmAB1011AN，P 是 BN 上的一点，B，P，N 三点共线，m10111，m 111，故选 D.7O 是平面内一定点，A，B，C 是平面内不共线的三点，动点 P 满足OP OA AB|AB|AC|AC|，0，)，则点 P 的轨迹一定经过ABC 的()A外心
12、B内心C重心D垂心答案 B解析 OP OA APAB|AB|AC|AC|，因为 AB|AB|AC|AC|所在直线与A 的角平分线重合，则点 P 的轨迹是A 的角平分线，一定经过ABC 的内心，故选 B.8(2019广东深圳适应性考试)在平行四边形 ABCD 中，AB3，AD2，AP13AB，AQ 12AD，若CPCQ 12，则ADC()A56B34C23D2答案 C解析 如图所示，平行四边形 ABCD 中，CPCBBPAD 23AB，CQ CD DQ AB12AD，因为CPCQ 12，所以CPCQ AD 23AB AB12AD 23AB 212AD243ABAD 233212224332cos
13、BAD12，则 cosBAD12，即BAD3，所以ADC323，故选 C.二、填空题9(2019湖北四地七校联考)正三角形 ABC 的边长为 1，则ABBC BCCACAAB_.答案 32解析 正三角形 ABC 的边长为 1，ABBCBCCACAAB(BABCCBCAACAB)(11cos603)32.10(2019安徽 A10 联盟 4 月联考)在四边形 ABCD 中，AD BC，AB(2,4)，BD(3，5)，则AC在AB上的投影为_答案 7 55解析 由AD BC得四边形 ABCD 是平行四边形，且AD ABBD(2,4)(3，5)(1，1)，则ACABAD(2,4)(1，1)(1,3)
14、，AC在AB上的投影为|AC|cosAB，ACABAC|AB|142 57 55.11已知|a|2，|b|3，向量 a 与 b 的夹角为23，且 abc0，则|c|_.答案 7 解析 由 abc0，所以cab，所以|c|ab|，即 c2(ab)2a2b22aba2b22|a|b|cos23 4922312 7，所以|c|7.12(2019天津九校联考)在直角三角形 ABC 中，ABC90，BAC60，AC4，若AO 14AC，动点 D 满足|CD|1，则|OA OB OD|的最小值是_答案 71解析 建立如图所示的直角坐标系，由题意可得，A(2,0)，B(0,0)，C(0，2 3)，O32，3
15、2，D(cos，2 3sin)，即OA 12，32，OB 32，32，OD cos32，3 32 sin，则OA OB OD cos52，sin 32，|OA OB OD|cos522sin 3228 3sin5cos82 7sin，当 sin()1 时，|OA OB OD|取到最小值 82 7 71.三、解答题13(2019安徽涡阳一中第二次质检)如图，设 Ox，Oy 是平面内相交成60角的两条数轴，e1，e2 分别是与 x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量OP xe1ye2，则把有序数对(x，y)叫做向量OP 在坐标系 xOy 中的坐标，假设OP 3e12e2.(1)计算|OP|的大
16、小；(2)设向量 a(m，1)，若 a 与OP 共线，求实数 m 的值；(3)是否存在实数 n，使得向量OP 与 b(1，n)垂直？若存在，求出 n 的值；若不存在，说明理由解(1)e1e211cos6012，所以|OP|3e12e2|3e1212e1e22e22 9|e1|212e1e24|e2|2 19.(2)因为 a(m，1)me1e2，又 a 与OP 3e12e2 共线，所以存在实数 使得 aOP，即 me1e2(3e12e2)3e12e2，由平面向量基本定理得m3，12，解得 m32.(3)假设存在实数 n，使得OP 与向量 b(1，n)垂直，则OP b0，即(3e12e2)(e1n
17、e2)3e21(3n2)e1e22ne223|e1|2(3n2)e1e22n|e2|23(3n2)122n0，得 n87，所以存在实数 n87，使得向量OP 与 b(1，n)垂直14如图，在四边形 ABCD 中，AD4，AB2.(1)若ABC 为等边三角形，且 ADBC，E 是 CD 的中点，求AEBD；(2)若 ACAB，cosCAB35，ACBD 45，求|DC|.解(1)因为ABC 为等边三角形，且 ADBC，所以DAB120，又 AD2AB，所以 AD2BC，因为 E 是 CD 的中点，所以AE 12(AD AC)12(AD AB BC)12AD AB12AD 34AD 12AB.又BD AD AB，所以AEBD 34AD 12AB(AD AB)34AD 212AB 214AD AB3416124144212 11.(2)因为 ABAC，AB2，所以 AC2，因为ACBD 45，所以AC(AD AB)45，所以ACAD ACAB45.又ACAB|AC|AB|cosCAB435125，所以ACAD 45ACAB165.所以|DC|2|ACAD|2AC 2AD 22ACAD 4162165 685.所以|DC|2 855.本课结束
