1、内蒙古包头市回民中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）考试时间：120分钟；第I卷（选择题）一、选择题1. 已知复数，则（ ）A. 1B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】先对复数化简，再利用模的公式求解即可详解】由，则故选：B【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模的计算，属于基础题2. 已知复数（为虚数单位，），则“”是“在复平面内复数所对应的点位于第一象限”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据复平面内点的坐标表示，结合充分必要条件的性质即可判断.【详解】复数，所以在复平面内对
2、应的点坐标为，若，则，或都有可能，因而不一定位于第一象限，所以不是充分条件；若在复平面内复数所对应的点位于第一象限，有可得，可得，而所以是必要条件，综上可知， “”是“在复平面内复数所对应的点位于第一象限”的必要不充分条件，故选:B【点睛】本题考查了复数的几何意义，充分必要条件的判断，属于基础题.3. 直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意得直线与圆相交，利用圆心到直线的距离与半径的关系求解的取值范围，再根据充分不必要条件的定义即可得答案.【详解】解：已知，即圆心，半径，当直线与圆有两个不同的交点，直线与圆的位置关系是相交关
3、系，所以圆心到直线的距离为，解得，由于要求使得直线与圆相交的充分不必要条件，故只需要满足是的子集的取值范围即可满足.故选：C.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，充分不必要条件等，属于基础题型.4. 已知两点A（2，0），B（0，2），点C是圆x2y22x0上任意一点，则ABC面积的最小值是（ ）A. 3B. 3C. 3D. 【答案】A【解析】试题分析：圆的标准方程为，圆心为，半径为1，直线方程为，即，到直线的距离为，点到的距离的最小值为，所以面积最小值为故选A考点：点到直线的距离5. 下列语句中正确的个数是（ ），函数都不是偶函数；命题“若，则”的否命题是真命题；若或为真，则，非均为真；
4、已知向量，则“”的充分不必要条件是“与夹角为锐角”.A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【详解】分析：对于， 时可得其错误；对于， 令，可得其错误；对于，假且为真时，可得其错误；对于，由平面向量数量积的几何意义可得其正确.详解：对于，因为时函数是偶函数，故错误；对于，“若，则”的否命题是“若，则 ”，令，可得到错误；对于，假且为真时，或为真，可得到非均为假，故错误；对于，由平面向量数量积的几何意义可知若“与夹角为锐角”，则“”，若“”，则“与夹角不一定为锐角”（同向时夹角为），故正确，故选B.点睛：本题通过判断命题的真假综合考查四种命题及其关系以及充分条件与必要条件、全称命题与特
5、称命题，判断命题的真假应注意以下几个方面：(l)首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系；(2)要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地确定了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”，注意利用“原命题”与“逆否命题”同真假；(3)判断命题真假时，可直接依据定义、定理、性质直接判断，也可使用特值进行排除.6. 【陕西省西安市长安区第一中学上学期期末考】已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：，解得：，双曲线方程：.本题选
6、择D选项.【考点】 双曲线的标准方程【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于的方程，解方程组求出，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线过两点可设为，（2）与共渐近线的双曲线可设为，（3）等轴双曲线可设为等，均为待定系数法求标准方程.7. 设椭圆C：的两个焦点分别为，P是C上一点，若，且，则椭圆C的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据，得到 ，由椭圆的定义得到，结合，求得，然后在中，由余弦定理求得a即可.【详解】因为，所以 ，P是C上一点，由椭圆的定义得：，又，所以，又，则，所以在中，由余弦定
7、理得：，即，整理得：，解得，则，所以椭圆C的方程为故选：D8. 圆心在抛物线上，且与x轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】设圆心坐标为,则由所求圆与抛物线的准线及x轴都相切可得 所以，故圆心为半径所以圆心在抛物线上,并与抛物线的准线及x轴都相切的圆方程为即，所以D选项是正确的9. 已知为抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，则线段的中点到轴的距离为 ( ) A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】抛物线的准线为，过作准线的垂线，垂足为，的中点为，过作准线的垂线，垂足为，则可利用几何性质得到，故可得到轴的距离.【详解】抛物线的准线为
8、，过作准线的垂线，垂足为，的中点为，过作准线的垂线，垂足为，因为是该抛物线上的两点，故，所以，又为梯形的中位线，所以，故到轴的距离为，故选C.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，属于基础题.10. 如图，已知是椭圆的左、右焦点，点 在椭圆上，线段与圆相切于点 ，且点为线段的中点，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用为的中点及可得且为直角三角形，故可得的等式关系，从这个等式关系进一步得到，消去后可得离心率.【详解】连接， 因为线段与圆相切于点，故，因，点为线段的中点，故且，故，又，故，整理得到，所以，所以，故选A.【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用
9、题设条件构建关于的一个等式关系而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组11. 设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任一点，的坐标为（6，4），则的最大值为（ ）A. 13B. 14C. 15D. 16【答案】C【解析】【分析】由椭圆的标准方程得到a、b、c，然后借助定义转化为求的最大值即可【详解】如图所示，由椭圆可得：，由椭圆的定义可得：，则的最大值为15，故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其性质，三角形三边大小关系，两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12. 已知点P是双曲线下支上的一点，、分别是双曲线的上、
10、下焦点，M是的内心，且，则双曲线的离心率为（ ）A. 2B. C. 3D. 【答案】C【解析】【分析】设的内切圆的半径为r，即，故得解.【详解】设，的内切圆的半径为r，则由于故因此：故选：C【点睛】本题考查了双曲线的焦点三角形的综合问题，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.第II卷（非选择题）二、填空题13. _.【答案】1+i【解析】【分析】根据虚数单位的性质运算即可求解.【详解】,故答案为：1+i【点睛】本题主要考查了虚数单位的周期性，属于容易题.14. 命题：“，”的否定为_【答案】，.【解析】【分析】根据特称命题的否定：改变量词，否定结论，可得出结果.【详解】命
11、题“，”为特称命题，其否定为：“，”.故答案为：，.【点睛】本题考查特称命题否定的改写，属于基础题.15. 若双曲线C：（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，双曲线C的离心率为_.【答案】2【解析】【分析】求得双曲线的一条渐近线方程，求得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得a，b的关系，即可得到所求离心率公式【详解】双曲线C：的一条渐近线方程设为，圆的圆心为，半径，可得圆心到渐近线的距离为，则，化为，即，解得.故答案为：2.【点睛】本题考查圆与圆锥曲线的综合，解题关键是点到直线距离公式及弦长公式建立a，b的等量关系，即可求解a、c关系，属于中等题.16. 直线过抛物线的焦点，与
12、抛物线交于、两点，与其准线交于点，若，则_【答案】【解析】设，则，由题设可得，即，则，即直线的倾斜角为，所以，又，即，故，应填答案点睛：解答本题的关键是借助题设条件，确定交点的坐标，进而确定直线的斜率与倾斜角，数形结合求得，然后再依据已知条件建立方程求出，使得问题获解三、解答题17. 设命题实数满足，命题实数满足.（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）解出命题、中的不等式，由为真，得出真或真，然后将两个不等式的解集取并集可得出结果；（2）解出命题、中对应不等式的解集，由两个条件之间的充分不必要条件关系
13、，可得出两个解集之间的包含关系，然后列关于的不等式，解出即可.【详解】（1）当时，即.由，得若为真，即真或真，.因此，实数的取值范围；（2）若，即.，或，且是的充分不必要条件，则或，即或.因此，实数的取值范围.【点睛】本题考查由复合命题的真假求参数的取值范围，以及由命题的充分必要性求参数的取值范围，一般转化为集合的包含关系，利用集合包含关系列不等式（组）求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.18. 已知：，（1）若q是真命题，求实数m的取值范围；（2）若为真命题，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意知，q是真命题等价于方程有实根，利用判别式即可求解；（
14、2）由题意知，分别求出p、为真命题时实数m的取值范围，然后再取交集即可.【详解】（1）因为为真命题，所以方程有实根，所以判别式，所以实数m的取值范围为.（2）可化为，若为真命题，则对任意的恒成立，当时，不等式可化为，显然不恒成立；当时，有，由（1）知，若为真命题，则，又为真，故p、均为真命题，所以实数m需满足，解得，所以实数m的取值范围为.【点睛】本题考查利用复合命题的真假求参数的取值范围；考查运算求解能力和逻辑思维能力；熟练掌握复合命题的真假判断是求解本题的关键；属于中档题.19. 已知抛物线的焦点与双曲线的一个顶点重合，过点作倾斜角为的直线与抛物线交于、两点.（1）求抛物线方程；（2）求的
15、面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知得双曲线的右顶点为，即可得到抛物线的焦点，由此能求出抛物线的方程.（2）由题意利用点斜式求出直线的方程：，将直线与抛物线联立，再利用弦长公式求出，利用点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，进而可求出的面积.【详解】（1）由双曲线的右顶点为，即可得抛物线的焦点，所以抛物线的方程为.（2）由题意可得直线的方程：，将直线与抛物线联立，整理可得，设，所以，原点到直线的距离，所以【点睛】本题考查了抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线中的面积问题、弦长公式，考查了运算求解能力，属于基础题.20. 已知椭圆的半焦距为，原点到经过两点的直线的距离为，椭圆
16、的长轴长为（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于两点，线段的中点为，求弦长【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由点到直线的距离得，再由长轴长可求得得椭圆方程；（2）直线的斜率一定存在，设方程为，代入椭圆方程整理，设，由韦达定理得，由中点坐标公式求得，再由弦长公式求得弦长【详解】解：（1）经过两点的直线为：即.由已知：原点到直线的距离即因为，所以所以椭圆的标准方程为：（2）当直线斜率不存在时，线段的中点在轴上，不合题意.所以直线的斜率存在，设为，则直线即为：设联立得：显然则，解得则所以【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查求直线与椭圆相交弦长，解题方法是设而不求的思想方法，即设交点坐
17、标，设直线方程，代入椭圆方程应用韦达定理，得，由弦长公式得弦长21. 已知圆，直线过点.（1）若直线与圆相切，求直线的方程；（2）若直线与圆交于两点，当的面积最大时，求直线的方程.【答案】（1）或；（2）或.【解析】【分析】（1）分直线l的斜率不存在与直线l的斜率存在两种讨论，根据直线l与圆M相切进行计算，可得直线的方程；（2）设直线l方程为，圆心到直线l的距离为d，可得的长，由的面积最大，可得，可得k的值，可得直线的方程.【详解】解：（1）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，此时直线l与圆M相切，所以符合题意 ,当直线l的斜率存在时，设l的斜率为k，则直线l的方程为，即 ,因为直线l与圆
18、M相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，即,解得，即直线l方程为；综上，直线l的方程为或,（2）因为直线l与圆M交于P.Q两点，所以直线l的斜率存在，可设直线l的方程为，圆心到直线l的距离为d ,则 ,从而的面积为当时，的面积最大 ,因为，所以，解得或,故直线l的方程为或.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系及方程的应用，涉及直线与圆相切，直线与圆相交及三角形面积的计算与点到直线的距离公式，需灵活运用各知识求解.22. 已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左，右顶点，为椭圆的右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，当直线垂直于轴时，四边形的面积为.(1)求椭圆的方程；(2)若直线的斜率为，线段的垂直平分线与轴交于点,求证：为定值.【答案】（）；（）见解析.【解析】【分析】（）根据，可得，再根据离心率求出，即可求出椭圆方程，（）由题意可知，直线的方程为，根据韦达定理和弦长公式求出，再求出直线的方程可得的坐标，即可求出，问题得以证明【详解】（）由：，令可得，则，则 ，可得，椭圆的方程为证明：（）由题意可知，直线的方程为，由，可得设，设的中点为，则，则的过程为，令，可得， ，为定值【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查根的判断式、韦达定理、弦长公式，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题
