1、平面向量的数量积与平面向量应用举例考试要求1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题1向量的夹角已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是：0，2平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积，记作ab投影|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影，
2、|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积3.平面向量数量积的运算律(1)交换律：abba；(2)数乘结合律：(a)b(ab)a(b)；(3)分配律：a(bc)abac.4平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b结论几何表示坐标表示模|a|a|数量积ab|a|b|cos abx1x2y1y2夹角cos cos abab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2|提醒：ab与ab所满足的坐标关系不同abx1y2x2y1；abx1x2y1y20
3、.1平面向量数量积运算的常用公式(1)(ab)(ab)a2b2；(2)(ab)2a22abb2.2两个向量a，b的夹角为锐角ab0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角ab0且a，b不共线3a在b方向上的投影为，b在a方向上的投影为.一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量()(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量()(3)由ab0可得a0或b0.()(4)(ab)ca(bc)()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1设a(1，2)，b(3,4)，c(3,2)，则(a2b)c()A(15,12) B
4、0C3 D11Ca2b(5,6)，(a2b)c53623.2平面向量a与b的夹角为45，a(1,1)，|b|2，则|3ab|等于()A136 B2 C DDa(1,1)，|a|.ab|a|b|cos 4522.|3ab|.故选D3已知向量a(1，m)，b(3，2)，且(ab)b，则m .8a(1，m)，b(3，2)，ab(4，m2)，由(ab)b可得(ab)b122m4162m0，即m8.4已知|a|2，|b|6，ab6，则a与b的夹角 ，a在b方向上的投影为 cos .又因为0，所以.a在b方向上的投影为. 考点一平面向量数量积的运算 平面向量数量积的三种运算方法典例1(1)已知在矩形ABC
5、D中，AB4，AD2，若E，F分别为AB，BC的中点，则()A8 B10 C12 D14(2)已知两个单位向量a与b的夹角为60，则向量ab在向量a方向上的投影为 (1)B(2)(1)法一：(定义法)根据题意，得()()021cos 024cos 0010.法二：(坐标法)以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系则A(0,0)，B(4,0)，C(4,2)，D(0,2)E，F分别为AB，BC的中点，E(2,0)，F(4,1)(2，2)，(4，1)，24(2)(1)10.(2)由两个单位向量a和b的夹角为60，可得ab11，所以(ab)aa2ab1，所以向量ab在向量a方向上的投影为.点评：
6、解决涉及几何图形的向量的数量积运算常有两种思路：一是定义法，二是坐标法定义法可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补；坐标法要建立合适的坐标系1在ABC中，AB6，O为ABC的外心，则等于()A B6 C12 D18D如图，过点O作ODAB于D，可知ADAB3，则()36018.2(2020成都模拟)在ABCD中，|8，|6，N为DC的中点，2，则 .24法一：(定义法)()()22826224.法二：(特例图形)：若ABCD为矩形，建立如图所示坐标系，则N(4,6)，M(8,4)所以(8,4)，(4，2)，所以(
7、8,4)(4，2)32824. 考点二平面向量数量积的应用 平面向量的模求向量模的方法(1)a2aa|a|2或|a|.(2)|ab|.(3)若a(x，y)，则|a|.典例21(1)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|，|b|2，在ABC中，2a2b，2a6b，D为BC中点，则|等于()A2 B4 C6 D8(2)已知在直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则|3|的最小值为 (1)A(2)5(1)因为()(2a2b2a6b)2a2b，所以|24(ab)24(a22bab2)44，则|2.(2)建立平面直角坐标系如图所示，则A(2,0)，设P(0，y)，C
8、(0，b)，则B(1，b)，则3(2，y)3(1，by)(5,3b4y)所以|3|(0yb)当yb时，|3|min5.点评：求向量模的最值(范围)的方法(1)代数法，先把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解平面向量的夹角求向量夹角问题的方法典例22(1)(2019全国卷)已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的夹角为()A B C D(2)若向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，已知2a3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是 (1)B(2)(1)法一：因为(ab)b，所以
9、(ab)bab|b|20，又因为|a|2|b|，所以2|b|2cosa，b|b|20，即cosa，b，又知a，b0，所以a，b，故选B法二：如图，令a，b，则ab，因为(ab)b，所以OBA90，又|a|2|b|，所以AOB，即a，b.故选B(2)因为2a3b与c的夹角为钝角，所以(2a3b)c0，即(2k3，6)(2,1)0，所以4k660，所以k3.若2a3b与c反向共线，则6，解得k，此时夹角不是钝角，综上所述，k的取值范围是.点评：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角两个向量垂直问题1利用坐标
10、运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可2已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数典例23(1)(2020全国卷)已知单位向量a，b的夹角为60，则在下列向量中，与b垂直的是()Aa2b B2ab Ca2b D2ab(2)已知向量与的夹角为120，且|3，|2.若，且，则实数的值为 (1)D(2)(1)法一：由题意，得ab|a|b|cos 60.对于A，(a2b)bab2b220，故A不符合题意；对于B，(2ab)b2abb
11、21120，故B不符合题意；对于C，(a2b)bab2b220，故C不符合题意；对于D，(2ab)b2abb2110，所以(2ab)b.故选D法二：不妨设a，b(1,0)，则a2b，2ab(2，)，a2b，2ab(0，)，易知，只有(2ab)b0，即(2ab)b，故选D(2)因为，所以0.又，所以()()0，即(1)220，所以(1)|cos 120940.所以(1)32940.解得.点评：解答本例(2)的关键是的转化，考虑到，且与的夹角为120，故.从而可转化为0，即()()0.1(2020南宁模拟)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|1，|b|，则a2b与b的夹角是()A B C DA因为
12、|a2b|2|a|24|b|24ab1141cos 3，所以|a2b|.又(a2b)bab2|b|21cos 2，所以cosa2b，b，所以a2b与b的夹角为.故选A2(2020福州模拟)已知向量|3，|2，mn，若与的夹角为60，且，则实数的值为()A B C6 D4A因为向量|3，|2，mn，与的夹角为60，所以32cos 603，所以()(mn)(mn)m|2n|23(mn)9m4n6mn0，所以，故选A3(2020全国卷)设a，b为单位向量，且|ab|1，则|ab| .a，b为单位向量，且|ab|1，(ab)21，112ab1，ab，|ab|2a2b22ab1123，|ab|. 考点三
13、平面向量的应用 平面向量常与平面几何、三角函数、解三角形、不等式、解析几何的问题综合起来考查，还会与一些物理知识相结合考查解决此类问题的关键是把向量作为载体，将题干关系转化为向量的运算，进一步转化为实数运算来求解典例3(1)设P是ABC所在平面内一点，若()2，且222，则点P是ABC的()A外心 B内心 C重心 D垂心(2)在ABC中，(sin x，sin x)，(sin x，cos x)设f (x)，若f (A)0，求角A的值；若对任意的实数t，恒有|t|，求ABC面积的最大值(1)A由()2，得(2)0，即()()0，所以()0.设D为AB的中点，则20，故0.由222，得()()2，即
14、(2)0.设E为BC的中点，则(22)0，则20，故0.所以P为AB与BC的垂直平分线的交点，所以P是ABC的外心故选A(2)解f (x)sin2 xsin xcos xsin.f (A)0，sin.又A(0，)，2A，2A，A.如图，设t，则t，即|恒成立，ACBC|2，|1，|，ABC的面积SBCAC，当且仅当cos 2x0，即xk，kZ时等号成立，ABC面积的最大值为.点评：运用向量表示三角形的外心、重心、垂心及内心(1)|(或222)O是ABC的内心；(2)0O是ABC的重心；(3)O是ABC的垂心；(4)O是ABC的内心1(2020济南一模)加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组
15、成部分某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60，每只胳膊的拉力大小均为400 N，则该学生的体重(单位：kg)约为()(参考数据：取重力加速度大小为g10 m/s2，1.732)A63 B69 C75 D81B设该学生两只胳膊的拉力分别为F1，F2，由题意知，|F1|F2|400，夹角60，所以GF1F20，即G(F1F2)所以G2(F1F2)240022400400cos 60400234002，|G|400(N)，则该学生的体重约为40401.73269(kg)，故选B2在ABC中，3，其面积S，则与夹角的取值范围为()A BC DC设与夹角为，3，|cos
16、3，即|.又S，故|sin()，所以tan ，即tan .又0，.故选C备考技法4平面向量中的最值(范围)问题平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等，解题思路通常有两种：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义，先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程的有解等问题，然后利用函数、不等式、方程有关知识来解决.数量积的最值
17、(范围)问题已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()的最小值是()A2 B C D1B法一：(极化恒等式)结合题意画出图形，如图所示，设BC的中点为D，AD的中点为E，连接AD，PE，PD，则有2，图则()22()()2(22)而2，当点P与点E重合时，2有最小值0，故此时()取得最小值，最小值为222.法二：(坐标法)如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，则(x，y)，(1x，y)，(1x，y)，所以()(x，y)(2x，2y)2x22，当x0，y时，()
18、取得最小值，最小值为.图评析设a，b是平面内的两个向量，则有ab(ab)2(ab)2；极化恒等式的几何意义是在ABC中，若AD是BC边上的中线，则AD2BD2.具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合1(2020新高考全国卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AA的取值范围是()A(2,6) B(6,2)C(2,4) D(4,6)A|cosPAB2|cosPAB，又|cosPAB表
19、示在方向上的投影，所以结合图形(图略)可知，当P与C重合时投影最大，当P与F重合时投影最小又22cos 306，22cos 1202，故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时，(2,6)，故选A2在半径为1的扇形AOB中，若AOB60，C为弧AB上的动点，AB与OC交于点P，则的最小值是 法一：(极化恒等式)如图，取OB的中点D，连接PD，则PD2OD2PD2，即求PD的最小值图由图可知，当PDOB时，PDmin，则的最小值是.法二：(坐标法)以OB所在的直线为x轴，过点A且垂直于OB的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，图则A，O，B，可得直线AB的方程为2xy1，设P，则，所以4x2
20、3x4，当x时，的最小值是.模的最值问题(2020赣州模拟)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|2，|b|1，若对任意的正实数，|ab|的最小值为，则cos ()A B C D0B法一：(函数法)根据题意，|a|2，|b|1，a，b的夹角为，则ab2cos ，若对任意的正实数，|ab|的最小值为，则|ab|2的最小值为3，则|ab|2a22b22ab424cos (2cos )244cos2 ，故当2cos 时，|ab|2取得最小值3，即有44cos23，即cos ，又由0，则cos ，故选B法二：(数形结合法)如图，设a，b(0)，则|ab|，易知当BAOA时|ab|取得最小值，此时sin ，cos .故选B评析模的最值问题求解方法一种是借助函数，另一种是借助向量的几何意义前者可以建系借助坐标法求解，后者常用三角形法则数形结合求解已知向量a，b，c满足|a|4，|b|2，a与b的夹角为，(ca)(cb)1，则|ca|的最大值为 1设a，b，c，以OA所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，|a|4，|b|2，a与b的夹角为，则A(4,0)，B(2,2)，设C(x，y)(ca)(cb)1，x2y26x2y90，即(x3)2(y1)21表示以(3,1)为圆心，以1为半径的圆，|ca|表示点A，C的距离即圆上的点与点A(4,0)的距离圆心到点A的距离为，|ca|的最大值为1.
