1、小题必刷卷(七)平面向量、数系的扩充与复数的引入考查范围:第24讲第27讲题组一刷真题 角度1复数的概念、几何意义及运算1.2017全国卷 下列各式的运算结果为纯虚数的是()A.i(1+i)2B.i2(1-i)C.(1+i)2D.i(1+i)2.2016全国卷 设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=()A.-3B.-2C.2D.33.2018浙江卷 复数21-i(i为虚数单位)的共轭复数是()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i4.2018全国卷 设z=1-i1+i+2i,则|z|=()A.0B.12C.1D.25.2018北京卷 在复平面内,复数11-i的共轭
2、复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.2018江苏卷 若复数z满足iz=1+2i,其中i是虚数单位,则z的实部为.7.2018天津卷 i是虚数单位,复数6+7i1+2i=.角度2平面向量的概念、平面向量基本定理及向量坐标运算8.2015全国卷 向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)a=()A.-1B.0C.1D.29.2018全国卷 在ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB=()A.34AB-14ACB.14AB-34ACC.34AB+14ACD.14AB+34AC10.2018全国卷 已知向量a=(1,2),b=(2,-2),
3、c=(1,),若c(2a+b),则=.角度3平面向量的数量积及应用11.2016全国卷 已知向量BA=12,32,BC=32,12,则ABC=()A.30B.45C.60D.12012.2018全国卷 已知向量a,b满足|a|=1,ab=-1,则a(2a-b)=()A.4B.3C.2D.013.2017全国卷 设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则()A.abB.|a|=|b|C.abD.|a|b|14.2018天津卷 在如图X7-1的平面图形中,已知OM=1,ON=2,MON=120,BM=2MA,CN=2NA,则BCOM的值为()图X7-1A.-15B.-9C.-6D.015.20
4、17全国卷 已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且ab,则m=.16.2017天津卷 在ABC中,A=60,AB=3,AC=2.若BD=2DC,AE=AC-AB(R),且ADAE=-4,则的值为.17.2017北京卷 已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则AOAP的最大值为.18.2018江苏卷 在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若ABCD=0,则点A的横坐标为.题组二刷模拟 19.2018贵州黔东南二模 若复数z=1-i1+i,则z=()A.1B.-1C.iD.-i 20
5、.2018北京西城区4月模拟 若复数(a+i)(3+4i)的实部与虚部相等,则实数a=()A.7B.-7C.1D.-1 21.2018河南安阳二模 若复数z=1-i,z为z的共轭复数,则复数izz-1的虚部为()A.iB.-iC.1D.-122.2018福州5月质检 设向量a=(m,2m+1),b=(m,1),若|a-b|2=|a|2+|b|2,则实数m=()A.-23B.-1C.0D.123.2018广东东莞三模 已知向量a与b满足|a|=2,|b|=2,(a-b)a,则向量a与b的夹角为()A.512B.3C.4D.624.2018安徽蚌埠三模 已知ABC中,BE=2EC,若AB=AE+A
6、C,则=() A.1B.2C.3D.4 25.2018四川成都七中月考 若向量AB=12,32,BC=(3,1),则ABC的面积为()A.12B.32C.1D.326.2018济南模拟 欧拉公式eix=cos x+isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位.特别是当x=时,ei+1=0被认为是数学上最优美的公式,数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知,e4i表示的复数在复平面内位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限27.2018郑州三模 在ABC中
7、,ADAB,CD=3DB,|AD|=1,则ACAD=()A.1B.2C.3D.428.2018石家庄一模 在ABC中,点D在边AB上,且BD=12DA,设CB=a, CA=b,则CD=()A.13a+23bB.23a+13bC.35a+45bD.45a+35b29.2018重庆巴蜀中学月考 在平行四边形ABCD中,BAD=3,AB=2,AD=1,若M,N分别是边BC,CD的中点,则AMAN的值是()A.72B.2C.3D.15430.2018安徽安庆二模 若|a|=1,|b|=3且|a-2b|=7,则向量a与向量b夹角的大小是.31.2018常州模拟 若复数z满足z2i=|z|2+1(其中i是
8、虚数单位),则|z|=.32.2018广东佛山二模 在RtABC中,B=90,AB=1,BC=2,D为BC的中点,点E在斜边AC上,若AE=2EC,则DEAC= .33.2018合肥三模 已知OA=(2,0),OB=(0,2),AC=tAB,tR.当|OC|最小时,t=.小题必刷卷(七)1.C解析 因为i(1+i)2=-2,i2(1-i)=-1+i,(1+i)2=2i,i(1+i)=-1+i,所以选C.2.A解析 因为(1+2i)(a+i)=a-2+(1+2a)i,所以由已知,得a-2=1+2a,解得a=-3.3.B解析 21-i=2(1+i)2=1+i,其共轭复数为1-i,故选B.4.C解析
9、 z=(1-i)2(1+i)(1-i)+2i=1-2i-12+2i=i,所以|z|=02+12=1,故选C.5.D解析 11-i=1+i(1-i)(1+i)=12+12i,其共轭复数为12-12i,在复平面内对应的点位于第四象限.6.2解析 由iz=1+2i,得z=1+2ii=2-i,则z的实部为2.7.4-i解析 6+7i1+2i=(6+7i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=20-5i5=4-i.8.C解析 2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(1,0),所以(2a+b)a=(1,0)(1,-1)=1.9.A解析 如图,EB=AB-AE=AB-12AD=AB-1212(AB+AC)
10、=34AB-14AC ,故选A.10.12解析 2a+b=(4,2),由c(2a+b)可得14=2,即=12.11.A解析 cosABC=BABC|BA|BC|=1232+3212=32,ABC0,180,ABC=30.12.B解析 a(2a-b)=2a2-ab=2-(-1)=3,故选B.13.A解析 将|a+b|=|a-b|两边平方,得a2+2ab+b2=a2-2ab+b2,于是有ab=0,所以ab.14.C解析 连接MN,由BM=2MA,CN=2NA,可得MNBC,且BC=3MN,所以BC=3MN,所以BCOM=3MNOM=3(ON-OM)OM=3(ONOM-OM2)=3(12cos 12
11、0-12)=-6.故选C.15.2解析 ab,ab=-23+3m=0,解得m=2.16.311解析 ABAC=32cos 60=3,AD=13AB+23AC,ADAE=13AB+23AC(AC-AB)=33+234-139-233=-4,解得=311.17.6解析 设P(x1,y1).因为AO=(2,0),AP=(x1+2,y1),所以AOAP=2(x1+2)=2x1+4.由题意可知-1x11,所以22x1+46,故AOAP的最大值为6.18.3解析 因为点A 为直线l:y=2x上在第一象限内的点,所以可设A(a,2a)(a0),则AB的中点为Ca+52,a,圆C的方程为(x-5)(x-a)+
12、y(y-2a)=0.由(x-5)(x-a)+y(y-2a)=0,y=2x,得D(1,2),则AB=(5-a,-2a),CD=-a-32,2-a,又ABCD=0,所以(5-a)-a-32+(-2a)(2-a)=0,解得a=3或a=-1.又a0,所以a=3,则点A的横坐标为3.19.C解析 z=1-i1+i=(1-i)2(1+i)(1-i)=-2i2=-i,则z=i.故选C.20.B解析 (a+i)(3+4i)=3a-4+(4a+3)i,依题意3a-4=4a+3,得a=-7.故选B.21.C解析 因为z=1-i,所以zz=2,所以izz-1=i2-1=i,其虚部为1,故选C.22.B解析 |a-b
13、|2=(m-m)2+(2m+1-1)2=4m2,|a|2=m2+(2m+1)2=5m2+4m+1,|b|2=m2+1,因为|a-b|2=|a|2+|b|2,所以4m2=5m2+4m+1+m2+1,即m2+2m+1=0,解得m=-1.故选B.23.C解析 设向量a与b的夹角为,由(a-b)a得(a-b)a=0,a2-ab=0,a2-|a|b|cos =0,2-22cos =0,所以cos =22,所以=4.故选C.24.C解析 AB=AE+EB=AE+23CB=AE+23(AB-AC),所以13AB=AE-23AC,所以AB=3AE-2AC,则=3.故选C.25.A解析 因为AB=12,32,B
14、C=(3,1),所以|AB|=1,|BC|=2,AB与BC夹角的余弦值为ABBC|AB|BC|=32,所以ABC=150,所以SABC=121212=12,故选A.26.C解析 由已知有e4i=cos 4+isin 4,因为432,所以4在第三象限,所以cos 40,sin 40,故e4i表示的复数在复平面内位于第三象限,故选C.27.D解析 AC=AB+BC=AB+BD+DC=AB+4BD,又ADAB,所以ACAD=(AB+4BD)AD=4BDAD=4|BD|AD|cosADB=4|AD|2=4.故选D.28.B解析 因为AB=CB-CA=a-b,BD=12DA,所以AD=23AB=23a-
15、23b,所以CD=CA+AD=b+23a-23b=23a+13b,故选B.29.D解析 由题得AMAN=(AB+BM)(AD+DN)=ABAD+12ABDC+12ADBC+14BCDC=2112+1222+1211+141212=154,故选D.30.6解析 由|a-2b|=7得|a|2-4ab+4|b|2=7,1-4ab+43=7,ab=32,cos=3213=32,=6.31.1解析 设z=a+bi(a,bR),因为z2i=|z|2+1,所以-2b+2ai=a2+b2+1,所以a=0,-2b=a2+b2+1,解得a=0,b=-1,所以z=-i,则|z|=1.32.13解析 以B为坐标原点建立平面直角坐标系,如图所示,则B(0,0),A(1,0),C(0,2),D(0,1),E13,43.所以DE=13,13,AC=(-1,2),所以DEAC=13(-1)+132=13.33.12解析 因为AC=tAB,所以OC-OA=t(OB-OA),得OC=tOB+(1-t)OA=(2-2t,2t),|OC|=(2-2t)2+(2t)2=22t-122+12,当t=12时,|OC|有最小值2.
