1、2019-2020学年度第二学期质量检测高一数学试题第卷（选择题共60分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 已知向量，且与共线，则实数x值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先求出，然后根据与共线建立方程求解即可.【详解】因为，所以因为与共线，所以，解得故选：A【点睛】本题考查的是向量共线在坐标形式下的表示，属于基础题.2. 一梯形的直观图是如图所示的等腰梯形，且直观图的面积为1，则原梯形的面积为（ ）A. 1B. C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】根据斜二测画法的规则将图还原，平面图是一个
2、直角梯形，从而可求出其面积【详解】解：把该梯形的直观图还原为原来的梯形，如图所示，设原来梯形的上底为，下底为，高为，则直观图中等腰梯形的高为，因为直观图的面积为，所以，所以原梯形的面积为，故选：D【点睛】此题考查了平面图形的直观图的画法与应用问题，掌握斜二测画法的作图规则是解题的关键，属于基础题3. 设m，n是不同的直线，是不同的平面，下列命题正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】分析】A. 由或异面判断；B.由或相交判断；C.由则或判断；D. 由面面垂直的性质判断.详解】A. 若，则或异面，故错误；B.若，则或相交，故错误；C.若，则或，故错误；D.
3、 若，则，又，所以，故正确.故选：D【点睛】本题主要考查命题的真假判断，空间中线线、线面、面面间的位置关系，还考查了空间想象和逻辑推理的能力，属于中档题.4. 已知某人射击每次击中目标的概率都是0.5，现采用随机模拟的方法估计其3次射击至少2次击中目标的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示击中目标，5，6，7，8，9表示未击中目标；因为射击3次，故每3个随机数为一组，代表3次射击的结果，经随机模拟产生了20组随机数；据此估计，其中3次射击至少2次击中目标的概率约为（ ）A. 0.45B. 0.5C. 0.55D. 0.6【答案】C【解析】【分析】这是一个古
4、典概型，已知基本事件的总数为20种，然后从中找出3次射击至少2次击的基本事件的种数，代入公式求解.【详解】基本事件的总数为20种，其中3次射击至少2次击的基本事件有162 151 271 932 408 471 333 027 730 163 039共11种，所以3次射击至少2次击中目标的概率约为故选：C【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法，属于基础题.5. 将一个棱长为3cm的正方体铁块磨成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，球体最大体积的直径为棱长，利用球的体积公式即可求解.【详解】正方体的棱长为3cm，所以球体最大
5、体积的半径，所以球的体积：.故选：B【点睛】本题考查了正方体的内切球、球的体积公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.6. 已知正四棱柱中，则直线和所成的角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】以点为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，然后利用向量求出答案即可.【详解】如图，以点为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，因为正四棱柱中，所以所以所以，所以直线和所成的角的余弦值为故选：A【点睛】本题考查的是异面直线所成角的求法，考查了学生的基础水平，属于基础题.7. 在平行四边形中，若交于点M.且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根
6、据已知找到相似三角形，用向量、线性 表示向量.【详解】如图，平行四边形中，.故选：B【点睛】此题考查平面向量的线性运算，属于中档题.8. “幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标.常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.甲、乙两位同学分别随机抽取10位本地市民调查他们的幸福感指数，甲得到十位市民的幸福感指数为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，乙得到十位市民的幸福感指数的平均数为8、方差为2.2，则这20位市民幸福感指数的方差为（ ）A. 1.75B. 1.85C. 1.95D. 2.05【答案】C【解析】【分析】设乙得到十位市民的幸福感指数分
7、别为，根据这10个数据的平均数为8、方差为2.2可得，再根据方差的公式可求20个数据的方差.【详解】设甲得到的十位市民的幸福感指数分别为，乙得到十位市民的幸福感指数分别为，故这20位市民的幸福感指数的方差为，因为乙得到十位市民的幸福感指数的平均数为8、方差为2.2，故，而，故，而，故所求的方差为，故选：C.【点睛】本题考查方差的计算，注意样本数据的方差为，也可以是，本题属于中档题.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. 若复数z满足，则（ ）A. B. z的实部为1C. D.
8、【答案】BC【解析】【分析】先利用复数的运算求出复数z，然后逐个分析判断即可【详解】解：由，得，所以z的实部为1，故选：BC【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭复数，属于基础题10. 是边长为2的等边三角形，已知向量，满足，则下列结论正确的是（ ）A. 是单位向量B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】A. 根据是边长为2的等边三角形和判断；B.根据，利用平面向量的减法运算得到判断；C. 根据，利用数量积运算判断；D. 根据， ，利用数量积运算判断.【详解】A. 因为是边长为2的等边三角形，所以，又，所以 是单位向量，故正确；B. 因为，所以，所以，故
9、正确；C. 因为，所以，故错误；D. 因为， ，所以，所以，故正确.故选：ABD【点睛】本题主要考查平面向量的概念，线性运算以及数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11. 分别抛掷两枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），设事件“第一枚骰子的点数为奇数”，事件“第二枚骰子的点数为偶数”，则（ ）A. M与N互斥B. M与N不对立C. M与N相互独立D. 【答案】BCD【解析】【分析】相互独立事件，互斥事件，对立事件，利用定义即可以逐一判断四个选项正误.【详解】对于选项A：事件与是可能同时发生的，故与不互斥，选项A不正确；对于选项：事件与不互斥，不是对立事件，
10、选项正确；对于选项：事件发生与否对事件发生的概率没有影响，与相互独立.对于选项：事件发生概率为 ，事件发生的概率，选项正确.故选：【点睛】本题主要考查了相互独立事件，互斥事件，对立事件，以及随机事件的概率，属于基础题.12. 已知正方体的棱长为2，点O为的中点，若以O为球心，为半径的球面与正方体的棱有四个交点E，F，G，H，则下列结论正确的是（ ）A. 平面B. 平面C. 与平面所成的角的大小为45D. 平面将正方体分成两部分的体积的比为【答案】ACD【解析】【分析】如图，计算可得分别为所在棱的中点，利用空间中点线面的位置关系的判断方法可判断A、B的正确与否，计算出直线与平面所成的角为后可得C
11、正确，而几何体为三棱柱，利用公式可求其体积，从而可判断D正确与否.【详解】如图，连接，则，故棱与球面没有交点.同理，棱与球面没有交点.因为棱与棱之间的距离为，故棱与球面没有交点.因为正方体的棱长为2，而，球面与正方体的棱有四个交点E，F，G，H，所以棱与球面各有一个交点， 如图各记为.因为为直角三角形，故，故为棱的中点.同理分别为棱的中点.由正方形、为所在棱的中点可得，同理，故，故共面.由正方体可得，故因为平面，平面，故平面，故A正确.因为在直角三角中， ，与不垂直，故与不垂直，故平面不成立，故B错误.由正方体可得平面，而平面，所以，所以在正方形中，因为分别为的中点，故，因为，故平面，所以为直
12、线与平面所成的角，而，故直线与平面所成的角为，因为，故与平面所成的角的大小为45.故C正确.因为分别为所在棱的中点，故几何体为三棱柱，其体积为，而正方体的体积为8，故平面将正方体分成两部分的体积的比为，故D正确.故选：ACD.【点睛】本题考查空间中线面位置的判断、空间角的计算和体积的计算，注意根据球的半径确定哪些棱与球面有交点，本题属于中档题.第卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在平行四边形中，对角线与相交于点O，若向量，对应的复数分别是，则向量对应的复数是_.【答案】【解析】【分析】利用复数的几何意义，由求解.【详解】因为向量，对应的复数分别是，所
13、以故答案为：【点睛】本题主要考查复数的几何意义以及平面向量的减法运算，属于基础题.14. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 .【答案】【解析】【详解】由面积为半圆面，可得圆的半径为2，即圆锥的母线长为2.圆锥的底面周长为.所以底面半径为1.即可得到圆锥的高为.所以该圆锥的体积为.15. 如图，要计算某湖泊岸边两景点B与C的距离，由于受地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得，则两景点B与C的距离为_km.【答案】【解析】【分析】在中，根据，由余弦定理解得，然后在中，利用正弦定理 求解.【详解】在中，因为，由余弦定理得，整理得，解得或（舍去），在中，因为，所以，由正弦
14、定理得： ，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16. 在中，E，F是边的三等分点，若，则_【答案】【解析】【分析】以AB，AC为邻边作平行四边形ABCD，根据，得到， 再根据，得到平行四边形ABCD是菱形，则，设，利用勾股定理分别求得，的长度，在中利用余弦定理求解.【详解】如图所示：以AB，AC为邻边作平行四边形ABCD，则，因，所以，设，则，因为，所以平行四边形ABCD是菱形，所以，所以，所以，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的平行四边形法则以及余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.四、
15、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.（1）求的值；（2）若，求的周长.【答案】（1）；（2）9.【解析】【分析】（1）由正弦定理以及两角和的正弦公式，再结合，即可得的值.（2）利用向量数量积的定义知，可得，再利用余弦定理，可求，即可得周长.【详解】（1）由正弦定理，得.，即又，.（2）由余弦定理，得即解得.的周长为.【点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理，两角和的正弦公式，向量数量积的定义，属于中档题.18. 某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于50
16、至100之间，将数据按照，的分组作出频率分布直方图如图所示.（1）求频率分布直方图中a的值，并估计本次竞赛成绩的第80百分位数；（2）若按照分层随机抽样从成绩在，的两组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人的成绩在内的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据小矩形的面积代表概率，所以所有小矩形面积之和等于 ，即可得a的值，成绩在以下的频率为，成绩在分以下的频率为，第80百分位数，.（2）先利用频率之比求出，的两组中应抽的人数，然后列出从这6人中随机抽取2人包括的基本事件，至少有1人的成绩在内包括的基本事件，利用概率公式即可求概率.【详解】（1）由题意可知，解得.，成
17、绩在分以下的频率为，成绩在分以下的频率为，第80百分位数，.（2），的频率之比为从中随机抽取人.从中随机抽取人.从中随机抽取的4人记为1，2，3，4，从中随凯抽取的2人记为a，b，从这6人中随机抽取2人的样木空间为，共有15个样本点，.设事件“至少有1人的成绩在内”，则，共有9个样本点.至少有1人的成绩在内的概率.【点睛】本题主要考查了用样本估计总体，以及古典概率的计算，属于中档题.19. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为，的中点.（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面之间的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由平面，AE平面，且，即可证得平面平面；（2）先
18、将平面与平面之间的距离转化为点B到面的距离，然后把当作顶点求出总体积，再把当作顶点利用等体积法建立方程，即可求出点到平面的距离【详解】（1）证明：正方体中E，F分别为，的中点，=四边形是平行四边形.又平面，平，平面.，=四边形是平行四边形.又平向，平面，AE平面.又，平面平面.（2）平面与平面之间的距离也就是点B到面的距离，设为h，正方体的棱长为2，的面积三棱锥的体积，.又三棱锥的体积.由可得，解得.平面与平面之间的距离为.【点睛】此题考查空间位置关系、面面距离的计算、面面平行的判定、等体积求距离，考查推理能力和计算能力，属于中档题20. 如图所示，在中，点D为边上一点，且，.（1）求的长；（
19、2）若为锐角三角形，求的面积的取值范围.【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）在中，首先利用两角差的正弦公式求出，再利用正弦定理即可求解. （2）的面积，设，由为锐角角形，即，即求.【详解】解：（1）在中，.在中，由正弦定理，得，即.（2）由题设知的面积.在中，由正弦定理，得设，则.为锐角角形，又，.，从而.的面积的取值范围是.【点睛】本题考查了正弦定理解三角形、三角形的面积公式，考查了基本运算求解能力，属于中档题.21. 甲、乙两人组成“星队”进行定点投篮比赛，在距篮筐3米线内设一点M，在点M处投中一球得2分，不中得0分；在距篮筐3米线外设一点N，在点N处投中一球得3分，不中得0分
20、.已知甲、乙两人在M点投中的概率都为p，在N点投中的概率都为q.且在M，N两点处投中与否互不影响.设定甲、乙两人先在M处各投篮一次，然后在N处各投篮一次，甲、乙两人的得分之和为“星队”总得分.已知在一次比赛中甲得2分的概率为，乙得5分的概率为.（1）求p，q的值；（2）求“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）设，分别表示在一次比赛中甲得分的事件，分别表示在一次比赛中乙得分的事件，由题意结合在一次比赛中甲得2分的概率为，乙得5分的概率为，由求解. （2）由题意知：，设“星队”在一次比赛屮的总得分为5分”，则，然后利用独立事件和互斥事件的概率公式
21、求解.【详解】（1）设，分别表示在一次比赛中甲得分的事件，分别表示在一次比赛中乙得分的事件.因为在一次比赛中甲得2分的概率为，乙得5分的概率为，所以.解得，.（2）由已知得，设“星队”在一次比赛屮的总得分为5分”，则，则，所以“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率是.【点睛】本题主要考查独立事件和互斥事件的概率，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.22. 如图1所示，在直角梯形中，边上一点E满足.现将沿折起到的位置，使平面平面，如图2所示.（1）求证：；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接，连接交于点O，证明平面即可；（2）
22、延长，设，连接，可得是平面与平面的交线，作，垂足为H，连接，然后证明为平面与平面所成锐二面角的平面角，然后求出即可.【详解】（1）证明：在图1中，连接，易求.四边形为菱形.连接交于点O，则.在图2中，.又，平面.又平面，.（2）解：在图2中延长，设，连接.平面，平面.又平面，平面.是平面与平面的交线.平面平面，平面平面，平面.又平面，.作，垂足为H，连接.又，平面，又平面，.即为平面与平面所成锐二面角的平面角.由（1）知，为等边三角形，.，解得在中，.平面与平面所成锐二面角的余弦值.【点睛】本题考查的是线面垂直的证明和面面垂直的性质、二面角的求法，考查了学生的空间想象能力和计算能力，属于较难题.
