1、2005年高考理科数学北京卷试题及答案一、本大题共8小题每小题5分共40分在每小题列出的四个选项中选出符合题目要求的一项(1)设全集U=R，集合M=xxl，P=xx2l，则下列关系中正确的是(A)M=P (B) (C) (D) (2)“m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的(A)充分必要条件 (B)充分而不必要条件(C)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件(3)若，=2c=+，且ca，则向量与的夹角为(A)300 (B)600 (C)1200 (D)1500(4)从原点向圆=0作两条切线，则该圆夹在两条切线问的劣弧长为 (A) (
2、B)2 (C)4 (D)6(5)对任意的锐角，下列不等关系中正确的是 (A)sin(+)sin+sin (B)sin(+)cos+cos (C)cos (+)0； 当时，上述结论中正确结论的序号是 (14) 已知n次多项式= 如果在一种算法中，计算(k=2，3，4，n)的值需要k-1次乘法，计算的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，那么计算的值共需要 次运算下面给出一种减少运算次数的算法： =，PK+1()=PK()+ (k=0, l，2，n-1)利用该算法，计算的值共需要6次运算，计算的值共需要 次运算 三、解答题：本大题共6小题共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15 （本小
3、题共13分） 已知函数 (I)求的单调递减区间； ()若在区间一2，2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值(16)(本小题共14分)如图,在直四棱柱中,垂足为()求证;()求二面角的大小;()求异面直线与所成角的大小(17)(本小题共13分) 甲、乙俩人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为,乙每次击中目标的概率为()记甲击中目标的次数为,求的概率分布及数学期望;()求乙至多击中目标2次的概率;()求甲恰好比乙多击中目标2次的概率(18)(本小题共14分)如图,直线0)与直线之间的阴影区域(不含边界)记为,其左半部分记为,右半部分记为()分别有不等式组表示和()若区域中的动点到的距离之积等
4、于,求点的轨迹的方程;()设不过原点的直线与()中的曲线相交于两点,且与分别交于两点.求证的重心与的重心重合(19)(本小题共12分) 设数列的首项,且,记()求()判断数列是否为等比数列,并证明你的结论;()求20 （本小题共14分）设是定义在0，1上的函数，若存在，使得在0，上单调递增，在，1单调递减，则称为0，1上的单峰函数，为峰点，包含峰点的区间为含峰区间对任意的0，1上的单峰函数，下面研究缩短其含峰区间长度的方法（）证明：对任意的 , ,若，则（0，）为含峰区间；若，则（，1）为含峰区间；（）对给定的（00.5），证明：存在,满足，使得由（）确定的含峰区间的长度不大于0.5+;()选
5、取, 由（）可确定含峰区间为（0，）或（，1），在所得的含峰区间内选取,由与或与类似地可确定是一个新的含峰区间在第一次确定的含峰区间为（0，）的情况下，试确定的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）2005年高考理科数学北京卷试题及答案参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） （1） C （2）B （3）C （4）B （5）D （6）C （7）A （8）A二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9） （10）； （11）15 （12）(1, e)；e （13） （14）n(n3)；2n三
6、、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（I） 令 0，解得x3， 所以函数f(x)的单调递减区间为（，1），（3，） （II）因为f(2)81218a=2a，f(2)81218a22a， 所以f(2)f(2)因为在（1，3）上 0，所以f(x)在1, 2上单调递增，又由于f(x)在2，1上单调递减，因此f(2)和f(1)分别是f(x)在区间2，2上的最大值和最小值，于是有 22a20，解得 a2 故f(x)=x33x29x2，因此f(1)13927， 即函数f(x)在区间2，2上的最小值为7（16）（共14分）（I）在直四棱柱ABCDAB1C1D1中，AA1底面ABCD
7、 AC是A1C在平面ABCD上的射影 BDAC BDA1C；（II）连结A1E，C1E，A1 C1 与（I）同理可证BDA1E，BDC1E， A1EC1为二面角A1BDC1的平面角 ADDC， A1D1C1=ADC90， 又A1D1=AD2，D1C1= DC2，AA1=且 ACBD， A1C14，AE1，EC3， A1E2，C1E2， 在A1EC1中，A1C12A1E2C1E2， A1EC190， 即二面角A1BDC1的大小为90（III）过B作 BF/AD交 AC于 F，连结FC1，则C1BF就是AD与BC1所成的角 ABAD2， BDAC，AE1， BF=2，EF1，FC2，BCDC， F
8、C1=，BC1， 在BFC1 中，, C1BF=即异面直线AD与BC1所成角的大小为解法二：（）同解法一（）如图，以D为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系连结与(1)同理可证, 为二面角的平面角.由得即二面角的大小为（）如图,由,得异面直线与所成角的大小为解法三：（）同解法一.（）如图,建立空间直角坐标系,坐标原点为E.连结.与（）同理可证为二面角的平面角由得即二面角的大小为（17）（共13分）解：（I）P(0)，P(1)，P(2)，P(3)， 的概率分布如下表：0123P E, （或E=3=1.5）； （II）乙至多击中目标2次的概率为1=； （III）设甲恰比乙多击中目
9、标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B1，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次为事件B2，则AB1B2， B1，B2为互斥事件 所以，甲恰好比乙多击中目标2次的概率为（18）（共14分）解：（I）W1=(x, y)| kxykx, x0，W2=(x, y)| kxy0， （II）直线l1：kxy0，直线l2：kxy0，由题意得 , 即， 由P(x, y)W，知k2x2y20， 所以 ，即, 所以动点P的轨迹C的方程为； （III）当直线与x轴垂直时，可设直线的方程为xa（a0）由于直线，曲线C关于x轴对称，且1与2关于x轴对称，于是M1M2，M3M4的中点坐标都为（a，0
10、），所以OM1M2，OM3M4的重心坐标都为（a，0），即它们的重心重合， 当直线1与x轴不垂直时，设直线的方程为y=mx+n（n0） 由，得 由直线与曲线C有两个不同交点，可知k2m20且=0设M1，M2的坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)，则, , 设M3，M4的坐标分别为(x3, y3)，(x4, y4)， 由得从而，所以y3+y4=m(x3+x4)+2nm(x1+x2)+2ny1+y2, 于是OM1M2的重心与OM3M4的重心也重合（19）（共12分）解：（I）a2a1+=a+，a3=a2=a+；（II） a4=a3+=a+, 所以a5=a4=a+,所以b1=a1=a, b2
11、=a3=(a), b3=a5=(a),猜想：bn是公比为的等比数列 证明如下： 因为bn+1a2n+1=a2n=(a2n1)=bn, (nN*) 所以bn是首项为a, 公比为的等比数列 （III）.（20）（共14分）（I）证明：设x*为f(x) 的峰点，则由单峰函数定义可知，f(x)在0, x*上单调递增，在x*, 1上单调递减 当f(x1)f(x2)时，假设x*(0, x2)，则x1x2f(x1)， 这与f(x1)f(x2)矛盾，所以x*(0, x2)，即(0, x2)是含峰区间 当f(x1)f(x2)时，假设x*( x2, 1)，则x*x1f(x2)， 这与f(x1)f(x2)矛盾，所以
12、x*(x1, 1)，即(x1, 1)是含峰区间（II）证明：由（I）的结论可知： 当f(x1)f(x2)时，含峰区间的长度为l1x2； 当f(x1)f(x2)时，含峰区间的长度为l2=1x1； 对于上述两种情况，由题意得 由得 1x2x11+2r，即x1x12r 又因为x2x12r，所以x2x1=2r, 将代入得 x10.5r, x20.5r， 由和解得 x10.5r， x20.5r 所以这时含峰区间的长度l1l10.5r，即存在x1，x2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5r（III）解：对先选择的x1；x2，x1x3时，含峰区间的长度为x1 由条件x1x30.02，得x1(12x1)0.02，从而x10.34 因此，为了将含峰区间的长度缩短到0.34，只要取x10.34，x20.66，x3=0.32
