1、4.1一元二次函数课后训练巩固提升一、A组1.一元二次函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称,则()A.m=-2B.m=2C.m=-1D.m=1解析:函数y=x2+mx+1的图象的对称轴为直线x=-m2,所以-m2=1,即m=-2.答案:A2.一元二次函数y=-x2+4x+t的图象的顶点在x轴上,则t的值是()A.-4B.4C.-2D.2解析:由函数的图象顶点在x轴上,可知=16+4t=0,得t=-4.答案:A3.函数y=2x2-mx+3,当x-2,+)时,函数值y随自变量x的增大而增大,当x(-,-2时,函数值y随自变量x的增大而减小,则m等于()A.-4B.-8C.8D.无法确定解
2、析:由题意,得函数的图象的对称轴为直线x=-2,即m4=-2,得m=-8.答案:B4.已知函数y=-x2+4x,xm,5的值域是-5,4,则实数m的取值范围是()A.(-,-1)B.(-1,2C.-1,2D.2,5)解析:如图,一元二次函数的图象的对称轴为直线x=2,且函数在x=2处取得最大值,即ymax=-4+42=4,又当x=5时,ymin=-5,由一元二次函数图象的对称性可知,x=-1时,y=-5,所以要使xm,5时的值域是-5,4,需满足m-1,2.答案:C5.函数y=x2+m的图象向下平移2个单位长度,得函数y=x2-1的图象,则实数m=.解析:由题意,可知y=x2-1的图象向上平移
3、2个单位长度,得函数y=x2+1的图象,即函数y=x2+m的图象,所以m=1.答案:16.一元二次函数y=2x2-6x+1在区间-1,1上的最小值是,最大值是.解析:由题知,函数y=2x2-6x+1的图象的对称轴为直线x=32,图象开口向上,函数在区间-1,1上单调递减,当x=1时,函数取最小值,即ymin=2-6+1=-3;当x=-1时,函数取最大值,即ymax=2(-1)2-6(-1)+1=9.答案:-397.已知二次函数的图象经过点(4,3),在x轴上截得的线段长为2,对称轴是x=2,求此函数的解析式.解:函数的图象的对称轴为直线x=2,且函数图象被x轴截得的线段长为2,函数图象与x轴交
4、点的横坐标为1和3.则可设函数的解析式为y=a(x-1)(x-3)(a0).又函数的图象过点(4,3),有(4-1)(4-3)a=3,即3a=3,得a=1.故所求函数的解析式为y=(x-1)(x-3),即y=x2-4x+3.8.已知抛物线y=ax2+6x-8与一次函数y=-3x的图象相交于点A(1,m).(1)求抛物线的解析式;(2)(1)中的抛物线经过怎样的平移就可以得到y=ax2的图象?解:(1)点A(1,m)在一次函数y=-3x的图象上,m=-31=-3.把x=1,y=-3代入y=ax2+6x-8,得a+6-8=-3,解得a=-1.抛物线的解析式是y=-x2+6x-8.(2)由(1)知,
5、y=ax2=-x2.y=-x2+6x-8=-(x-3)2+1,把抛物线y=-x2+6x-8的图象向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度即可得到y=-x2的图象.二、B组1.已知一元二次函数y=x2-6x+8,x1,a,且在x=a时取最小值,则实数a的取值范围是()A.(1,6B.(1,3C.(1,4D.(1,5解析:函数的图象的对称轴为直线x=3,又一元二次函数在x=a时取最小值,结合图象(图略)可得1a3,a的取值范围是(1,3.答案:B2.函数y=-x2-2ax(0x1)的最大值是a2,则实数a的取值范围是()A.0,1B.0,2C.-2,0D.-1,0解析:y=-x2-2ax=-(
6、x+a)2+a2.函数在区间0,1上的最大值是a2,0-a1,即-1a0.答案:D3.函数y=(m-1)x2+2(m+1)x-1的图象与x轴只有一个交点,则实数m的取值集合为.解析:当m=1时,y=4x-1,其图象和x轴只有一个交点14,0,当m1时,依题意,有=4(m+1)2+4(m-1)=0,即m2+3m=0,解得m=-3,或m=0,所以实数m的取值集合为-3,0,1.答案:-3,0,14.设函数y=x2+bx+c,若函数的图象经过点(-4,c),(-2,-2),则函数的解析式为.解析:由已知得(-4)2-4b+c=c,(-2)2-2b+c=-2,解得b=4,c=2.所以函数的解析式为y=
7、x2+4x+2.答案:y=x2+4x+25.已知一元二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的实数根为.解析:由题图知,抛物线的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标是(3,0),所以抛物线与x轴的另一个交点坐标是(-1,0).所以关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的实数根为x1=-1,x2=3.答案:x1=-1,x2=36.已知二次函数y1=f(x)与y2=g(x)的图象开口大小相同,开口方向也相同,且y2=g(x)=-2x2-x-2,y1=f(x)的图象的对称轴为直线x=-1,且过点(0,6).(1)求函数y1=f(x)的解析式;(
8、2)求函数y1=f(x)在区间-2,3上的最大值和最小值.解:(1)由题意,设y1=f(x)=-2x2+bx+c,y1=f(x)的图象的对称轴为直线x=-1,且过点(0,6),-b2(-2)=-1,c=6,解得b=-4,c=6,y1=f(x)=-2x2-4x+6.(2)y1=f(x)=-2(x+1)2+8,x-2,3,x=-1时,y1取最大值8,x=3时,y1取最小值-24.7.某企业生产的一种电器的固定成本(即固定投资)为0.5万元,每生产一台这种电器还需可变成本(即另增加投资)25元,市场对这种电器的年需求量为5百台.已知这种电器的销售收入(R)与销售量(t)的关系可用抛物线段表示,如图.
9、(注:年产量与销售量的单位:百台,纯收益的单位:万元,生产成本=固定成本+可变成本,精确到1台和0.01万元)(1)写出如图的销售收入(R)与销售量(t)之间的函数关系式;(2)认定销售收入减去生产成本为纯收益,写出纯收益与年产量的函数关系式,并求年产量为多少时纯收益最大?解:(1)由题图可设R=a(t-5)2+252,又t=0时,R=0,(0-5)2a+252=0,解得a=-12.R=-12(t-5)2+252(0t5).(2)纯收益y=-12t2+5t-0.5-14t=-12t2+194t-12,当t=194=4.75时,y取得最大值10.78.故年产量为475台时,纯收益最大,最大为10.78万元.3
