1、2005年全国高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共10小，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、复数zii2i3i4的值是（）A、1 B、0 C、1 D、I 2、函数f(x)的定义域是（）A、，0）B、0，）C、（，0）D、（，）3、已知数列log2(an1)（nN）为等差数列，且a13，a25，则)A、2 B、 C、1 D、A1CBAB1C1D1DO4、已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则zxy的取值范围是A、2，1 B、2，1 C、1，2 D、1，2 5、如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为
2、1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面AB C1D1的距离为（）A、B、C、D、 6、设f0(x)sinx，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nN，则f2005(x)（）A、sinx B、sinx C、cosx D、cosx7、已知双曲线1（a0，b0）的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，OAF的面积为（O为原点），则两渐近线的夹角为（）A、30 B、45 C、60 D、908、集合Ax|0，Bx|x-b|a，若“a1”是“AB”的充分条件，则b的取值范围是（）A、2b0 B、0b2 C、3b1 D、1b29、4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则
3、规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得100分；选乙题答对得90分，答错得90分。若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分的种数是A、48 B、36 C、24 D、1810、设P是APC内任意一点，SABC表示ABC的面积，1，2，3，定义f(P)=( 1, 2, 3),若G是ABC的重心，f(Q)（，），则A、点Q在GAB内 B、点Q在GBC内C、点Q在GCAB D、点Q与点G重合 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分（第15小题每空2分），共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。11、一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲、乙、丙3条
4、生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了 件产品。12、在（1x）（1x）2（1x）6的展开式中，x2项的系数是 。（用数字作答）13、已知直线axbyc0与圆O：x2y21相交于A、B两点，且|AB|，则14、设函数f(x)的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数f1(x)，f(4)0，则f1(4)15、设函数f(x)的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在a，b上的面积，已知函数ysinnx在0，上的面积为（nN），（）ysin3x在0,上的面积为；（）ysin（3x）1在
5、，上的面积为。三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16、（本小题满分12分）已知在ABC中，sinA（sinBcosB）sinC0，sinBcos2C0，求A、B、C的大小。17、（本题满分12分）ABCDOO1ABOCO1D如图1，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2。（）证明：ACBO1；（）求二面角OACO1的大小。 图1 图218、（本小题满分14分）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这3个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开该
6、城市时游览的景点数与没游览的景点数之差的绝对值。（）求的分布及数学期望；（）记“函数f(x)x23x1在区间2，）上单调递增”为事件A，求事件A的概率。19、（本小题满分14分）已知椭圆C：1（ab0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为e。直线l：yexa与x轴、y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设。（）证明：1e2（）确定的值，使得PF1F2是等腰三角形。20、（本小题满分14分） 自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响。用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，nN，且x10。不考
7、虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c。（）求xn+1与xn的关系式；（）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明） （）设a2，b1，为保证对任意x1（0,2），都有xn0，nN，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论。21、（本小题满分14分） 已知函数f(x)lnx，g(x)ax2bx，a0。（）若b2，且h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；（）设函数f(x)的图象C1与函数g(x)图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交
8、C1，C2于点M、N，证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行。2005年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）参考答案一、选择题： BACCBCDDBA二、填空题：115600 1235 13 142 15， 三、解答题：16解法一 由得所以即因为所以，从而由知 从而.由即由此得所以解法二：由由、，所以即由得 所以即 因为，所以由从而，知B+2C=不合要求.ABOCO1Dxyz再由，得 所以17解法一（I）证明 由题设知OAOO1，OBOO1.所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAOB. 故可以O为原点，OA、OB、OO1所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直
9、角坐标系，如图3，则相关各点的坐标是A（3，0，0），图3B（0，3，0），C（0，1，） O1（0，0，）. 从而所以ACBO1. （II）解：因为所以BO1OC，由（I）ACBO1，所以BO1平面OAC，是平面OAC的一个法向量.设是0平面O1AC的一个法向量，由 得. 设二面角OACO1的大小为，由、的方向可知，所以cos，=ABOCO1D即二面角OACO1的大小是解法二（I）证明 由题设知OAOO1，OBOO1， 所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAOB. 从而AO平面OBCO1，OC是AC在面OBCO1内的射影.图4因为 ，所以OO1B=60，O1OC=30，从而OCBO1由
10、三垂线定理得ACBO1.（II）解 由（I）ACBO1，OCBO1，知BO1平面AOC.设OCO1B=E，过点E作EFAC于F，连结O1F（如图4），则EF是O1F在平面AOC内的射影，由三垂线定理得O1FAC.所以O1FE是二面角OACO1的平面角. 由题设知OA=3，OO1=，O1C=1，所以，从而，又O1E=OO1sin30=，所以 即二面角OACO1的大小是18解：（I）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”为事件A1，A2，A3. 由已知A1，A2，A3相互独立，P（A1）=0.4，P（A2）=0.5，P（A3）=0.6.客人游览的景点数的可能取值为0，1，
11、2，3. 相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，所以的可能取值为1，3.P（=3）=P（A1A2A3）+ P（）= P（A1）P（A2）P（A3）+P（）=20.40.50.6=0.24，1 3 P0.760.24P（=1）=10.24=0.76.所以的分布列为E=10.76+30.24=1.48.解法二的可能取值为1,3当1时，函数f(x)=x2-3x+1在区间2，+）上单调递增，当=3时，函数f(x)=x2-9x+1在区让2，+）上不单调递增。所以P（A）=P（=1）=0.76（）解法一 因为所以函数上单调递增，要使上单调递增，当且仅当从而19（）证法二：因为A、B分别是
12、直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是设M的坐标是所以 因为点M在椭圆上，所以 即 解得 （）解法一：因为PF1l，所以PF1F2=90+BAF1为钝角，要使PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即 设点F1到l的距离为d，由 得 所以 即当PF1F2为等腰三角形.解法二：因为PF1l，所以PF1F2=90+BAF1为钝角，要使PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，设点P的坐标是，则由|PF1|=|F1F2|得两边同时除以4a2，化简得 从而于是. 即当时，PF1F2为等腰三角形.20解（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为
13、bxn，死亡量为 （II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， nN*，从而由（*）式得 因为x10，所以ab. 猜测：当且仅当ab，且时，每年年初鱼群的总量保持不变. （）若b的值使得xn0，nN* 由xn+1=xn(3bxn), nN*, 知 0xn3b, nN*, 特别地，有0x13b. 即0b0.又因为xk+1=xk(2xk)=(xk1)2+110， nN*，则捕捞强度b的最大允许值是1.21解：（I），则因为函数h(x)存在单调递减区间，所以0时，则ax2+2x10有x0的解.当a0时，y=ax2+2x1为开口向上的抛物线，ax2+2x10总有x0的解；当a0总有x0的解；
14、则=4+4a0,且方程ax2+2x1=0至少有一正根.此时，1a0.综上所述，a的取值范围为（1，0）（0，+）. （II）证法一 设点P、Q的坐标分别是（x1, y1），（x2, y2），0x1x2. 则点M、N的横坐标为 C1在点M处的切线斜率为 C2在点N处的切线斜率为 假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2. 即，则 =所以 设则令则因为时，所以在）上单调递增. 故则. 这与矛盾，假设不成立.故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.证法二：同证法一得因为，所以令，得 令因为，所以时，故在1，+上单调递增.从而，即于是在1，+上单调递增.故即这与矛盾，假设不成立.故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.
