1、专练45空间向量的应用命题范围:利用向量解决角和距离问题基础强化一、选择题1若两不重合直线l1和l2的方向向量分别为V1(1,0,1),V2(3,0,3),则l1和l2的位置关系是()A平行B相交C垂直D不确定2若a(2,2,2),b(2,0,4),则a与b的夹角的余弦值为()A.B.CD03若直线l的一个方向向量a(2,2,2),平面的一个法向量b(1,1,1),则()AlBlClDA,C都有可能4在空间直角坐标系中,已知A(1,2,1),B(2,2,2),点P在z轴上,且满足|,则P点坐标为()A(3,0,0) B(0,3,0)C(0,0,3) D(0,0,3)5若平面,的法向量分别为m(
2、2,3,5),n(3,1,4),则()ABC,相交,但不垂直D以上均不正确6.如图所示,已知PA平面ABC,ABC120,PAABBC6,则PC()A6B6C12D1447.如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1,CACC12CB,则直线BC1与AB1夹角的余弦值为()A.B.C.D.8在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB1,AC2,BC,D,E分别是AC1和BB1的中点,则直线DE与平面BB1C1C所成的角为()A30B45C60D909过正方形ABCD的顶点A作线段PA面ABCD,若ABPA,则平面ADP与平面CDP所成的二面角为()A30B45C60D90二、填空题10已知
3、四边形ABCD为平行四边形,且A(4,1,3),B(2,5,1),C(3,7,5),则顶点D的坐标为_11已知空间三点A(0,2,3),B(2,1,6),C(1,1,5),则以,为邻边的平行四边形的面积为_12设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,则D1点到平面A1BD的距离为_能力提升132021长沙一中高三测试如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1MAN,则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A斜交B平行C垂直DMN在平面BB1C1C内14直三棱柱ABCA1B1C1中,若BAC90,ABACAA1,则异面直线BA1与AC1所成的
4、角等于()A30B45C60D9015若平面的一个法向量n(2,1,1),直线l的一个方向向量为a(1,2,3),则与l所成角的正弦值为_16.如图所示,四棱锥SABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC底面ABCD,已知ABC45,BC2,AB2,SASB.求直线SD与平面SAB所成角的正弦值为_专练45空间向量的应用1AV1V2,l1l2.2C|a|2,|b|2,ab22(2)0(2)44,cosa,b.3Aa2b,a与b共线,l.4C由题意可设点P的坐标为(0,0,z)由|得解得z3.故选C.5Cm与n不共线,且mn63200,与相交但不垂直6CABBC6,ABC120,AC6,建
5、立如图所示的空间直角坐标系,其中O为AC的中点,则P(0,3,6),C(0,3,0)|PC|12.7A设BC1,则B(0,0,1),C1(0,2,0),A(2,0,0),B1(0,2,1)(0,2,1),(2,2,1)0(2)22(1)13.|,|3,cos,.8AAB1,AC2,BC,AB2BC2AC2,ABBC,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),C1(0,h),B1(0,0,h),B(0,0,0)D,E.,显然面BB1C1C的法向量为m(1,0,0),与平面BB1C1C所成角满足sin,又,30.9D建立如图所示的空间直角坐标系,设AB1,则A(0,0,0),B(1,0,0
6、),D(0,1,0),C(1,1,0),P(0,0,1),显然面ADP的法向量m(1,0,0),设平面CDP的法向量n(x,y,z),(1,0,0),(1,1,1),令y1,则z1,n(0,1,1),mn1001010,mn,平面ADP与平面CDP所成的角为90.10(5,13,3)解析:设D(x,y,z),由题意得,(x4,y1,z3)(1,12,6)D(5,13,3)117解析:(2,1,3),(1,3,2),2367,|,|.又cos,sin,平行四边形的面积S|sin,7.12.解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则D1(0,0,2),A1(2,0,2),D(0,0,0),B(2,2,
7、0),(2,0,0),(2,0,2),(2,2,0)设平面A1BD的法向量为n(x,y,z),则令x1,则n(1,1,1),点D1到平面A1BD的距离是d.13B建立如图所示的空间直角坐标系,由于A1MAN,则M,N,.又C1D1平面BB1C1C,所以(0,a,0)为平面BB1C1C的一个法向量因为0,所以,所以MN平面BB1C1C.14C如图所示,以A1为坐标原点,A1B1所在直线为x轴,A1B1为单位长度,A1C1所在直线为y轴,A1A所在直线为z轴,建立空间直角坐标系A1xyz.则可得A1(0,0,0),B1(1,0,0,),C1(0,1,0),A(0,0,1),B(1,0,1)所以(1
8、,0,1),(0,1,1)则|cos,|.所以异面直线BA1与AC1所成角为60.故选C.15.解析:设直线l与平面所成的角为,则sin.16.解析:如图所示,作SOBC,垂足为O,连接AO,由侧面SBC底面ABCD,得SO底面ABCD.由SASB,可得OAOB.又由ABC45,得ABO为等腰直角三角形,OAOB.建立如图所示空间直角坐标系Oxyz,则A(,0,0),B(0,0),C(0,0),S(0,0,1),D(,2,0),(,2,1),(,0,1),(0,1)设平面SAB的法向量为n(x1,y1,z1),由得令z1,得n(1,1,)设直线SD与平面SAB所成角为,则sin|cos,n|.所以直线SD与平面SAB所成角的正弦值为.