1、10.1.3古典概型课后训练巩固提升一、A组1.下列关于古典概型的说法不正确的是()A.试验中所有可能出现的样本点只有有限个B.每个随机事件出现的可能性相等C.每个样本点出现的可能性相等D.若样本点总数为n,随机事件A包含k个样本点,则P(A)=kn解析:根据古典概型的两个特征及概率公式知,A,C,D正确,B中随机事件应改为基本事件.答案:B2.有100张卡片(从1号到100号),从中任取一张卡片,则取得的卡片是7的倍数的概率是()A.320B.13100C.750D.335解析:n=100,k=14,P=kn=14100=750.答案:C3.下列是古典概型的是()A.任意抛掷两枚骰子,所得点
2、数之和作为样本点时B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率,将取出的正整数作为样本点时C.从甲地到乙地共n条路线,求某人正好选中最短路线的概率D.抛掷一枚不均匀硬币至首次出现正面为止解析:A项中由于点数的和出现的可能性不相等,故A不是;B中的样本点是无限的,故B不是;C项满足古典概型的有限性和等可能性,故C是;D项中样本点既不是有限个也不具有等可能性.答案:C4.在两个袋内,分别装着写有1,2,3,4,5,6六个数字的6张卡片,今从每个袋中各取一张卡片,则两数之和等于9的概率为()A.13B.16C.19D.112解析:用x,y分别表示从两个袋内取出卡片的数字,如图所示,样本点总数为36
3、,实心圆表示两数之和为9,包含4个样本点,则两数之和为9的概率为436=19.答案:C5.已知四条线段的长度分别是1,3,5,7,从这四条线段中任取三条,则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是()A.14B.13C.12D.25解析:样本空间=(1,3,5),(1,3,7),(1,5,7),(3,5,7),有4个样本点,而能构成三角形的样本点只有(3,5,7),所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是P=14.答案:A6.小明一家想从北京、济南、上海、广州四个城市中任选两个城市作为2020年暑假期间的旅游目的地,则济南被选入的概率是.解析:用1,2,3,4分别表示北京、济南、上海、广州
4、,则样本空间=(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共有6个样本点,记事件A=“济南被选入”,则A=(1,2),(2,3),(2,4),共有3个样本点,所以事件“济南被选入”的概率P=36=12.答案:127.现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9.若从中一次抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为.解析:样本空间=(2.5,2.6),(2.5,2.7),(2.5,2.8),(2.5,2.9),(2.6,2.7),(2.6,2.8),(2.6,2.9),(2.7,2.8),(2.7,2.9),(2.8,2.
5、9),共有10个样本点.相差0.3m的共有(2.5,2.8),(2.6,2.9)2个样本点,因此P=15.答案:158.某建馆工程有六家企业参与竞标,其中A企业来自陕西省,B,C两家企业来自天津市,D,E,F三家企业来自北京市,现有一个工程需要两家企业联合建设,假设每家企业中标的概率相同,则中标企业中至少有一家来自北京市的概率是.解析:从这六家企业中任选两家,对应的样本空间=(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共有15个样本点.设事件M=“中标企业中至
6、少有一家来自北京市”,则M=(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共有12个样本点,则中标企业中至少有一家来自北京的概率P=45.答案:459.先后抛掷两枚质地均匀的骰子,求:(1)点数之和是4的倍数的概率;(2)点数之和大于5且小于10的概率.解:从图中容易看出,样本点与所描点一一对应,共36个.(1)记事件A=“点数之和是4的倍数”,从图中可以看出,事件A包含的样本点共有9个:(1,3),(2,2),(2,6),(3,1),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(6,6),所
7、以P(A)=14.(2)记事件B=“点数之和大于5且小于10”,从图中可以看出,事件B包含的样本点共有20个(已用虚线圈出),所以P(B)=2036=59.10.某商场举行购物抽奖促销活动,规定每位顾客从装有编号为0,1,2,3四个相同小球的抽奖箱中,每次取出一球,记下编号后放回,连续取两次,若取出的两个小球号码相加之和等于6,则中一等奖,等于5中二等奖,等于4或3中三等奖.(1)求中三等奖的概率;(2)求中奖的概率.解:设“中三等奖”为事件A,“中奖”为事件B,则样本空间=(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),
8、(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3),共16个样本点.(1)取出的两个小球号码相加之和等于4或3包含的样本点有:(1,3),(2,2),(3,1),(0,3),(1,2),(2,1),(3,0),共7个,则中三等奖的概率为P(A)=716.(2)由(1)知两个小球号码相加之和等于3或4的取法有7种;两个小球号码相加之和等于5的取法有2种:(2,3),(3,2).两个小球号码相加之和等于6的取法有1种:(3,3).则中奖概率为P(B)=7+2+116=58.二、B组1.甲、乙、丙三人站成一排,甲站在中间的概率是()A.16B.12C.13D.23解析:样本空间=
9、(甲,乙,丙),(甲,丙,乙),(乙,丙,甲),(乙,甲,丙),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲),共6个样本点,甲站在中间的样本点有2个,故甲站在中间的概率P=26=13.答案:C2.设a是抛掷一枚骰子得到的点数,则方程x2+ax+2=0有两个不相等的实根的概率为()A.23B.13C.12D.512解析:试验的样本空间=1,2,3,4,5,6,共有6个样本点,若方程有两个不相等的实根,则a2-80,即a3,4,5,6,故P=46=23.答案:A3.从分别标有1,2,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张,则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是()A.518B.49C.59D.79解
10、析:从标有1,2,3,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张,包含的样本点共有98=72个,其中两张卡片上的数奇偶性不同的有(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(2,1),(2,3),(2,5),(2,7),(2,9),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(4,1),(4,3),(4,5),(4,7),(4,9),(5,2),(5,4),(5,6),(5,8),(6,1),(6,3),(6,5),(6,7),(6,9),(7,2),(7,4),(7,6),(7,8),(8,1),(8,3),(8,5),(8,7),(8,9),(9,2),(9,4),(9,6)
11、,(9,8),共40个样本点,因此所求事件的概率P=4072=59.答案:C4.从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()A.12B.13C.14D.16解析:从1,2,3,4中任取2个不同的数,试验的样本空间=(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),共有12个样本点,而满足条件“2个数之差的绝对值为2”的只有(1,3),(2,4),(3,1),(4,2),共有4个样本点,所以取出的2个数之差的绝对值为2的概率是412=13.答案:B5.古代“五行”学说认
12、为:物质分“金、木、水、火、土”五种属性,“金克木,木克土,土克水,水克火,火克金”.从五种不同属性的物质中随机抽取两种,则抽到的两种物质不相克的概率为.解析:试验的样本空间=(金,木),(金,水),(金,火),(金,土),(木,水),(木,火),(木,土),(水,火),(水,土),(火,土),共有10个样本点.“金克木,木克土,土克水,水克火,火克金”之外的都不相克,共有5个,故抽取到的两种物质不相克的概率为510=12.答案:126.某食堂规定,每份午餐可以在四种水果中任选两种,则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为.解析:将水果编号为1,2,3,4,则甲的选择可以是(1,2),(1
13、,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共6种,乙的选择也有6种,故共有基本事件66=36.可以用坐标系表示,横轴坐标6个点为甲的选择,纵轴坐标6个点为乙的选择,甲、乙两同学各自所选的两种水果相同即在坐标系中x=y直线上的点,共6个,故所求概率为636=16.答案:167.某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.(1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.解:(1)依题意,从6个国家中任选2个国家,对应的样本空间=(A1,
14、A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),共有15个样本点.记事件M=“所选国家都是亚洲国家”,则M=(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),共有3个样本点,因此P(M)=315=15.(2)从亚洲国家和欧洲国家各任选1个,对应的样本空间=(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),共有9个样本点.记
15、事件N=“包括A1但不包括B1”,则N=(A1,B2),(A1,B3),共有2个样本点,因此P(N)=29.8.某奶茶公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别.公司准备了两种不同的奶茶共5杯,其颜色完全相同,并且其中3杯为A奶茶,另外2杯为B奶茶,公司要求此员工一一品尝后,从5杯奶茶中选出2杯奶茶.若该员工2杯都选A奶茶,则评为优秀;若2杯选对1杯A奶茶,则评为良好;否则评为及格.假设此人对A和B两种奶茶没有鉴别能力.(1)求此人被评为优秀的概率;(2)求此人被评为良好及以上的概率.解:设3杯A奶茶为A1,A2,A3,2杯B奶茶为B1,B2,则从五杯奶茶中任选两杯,对应的样本空间=(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),共有10个样本点.(1)记事件M=“此人被评为优秀”,则事件M=(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),共有3个样本点,则P(M)=310.(2)记事件N=“此人被评为良好及以上”,则事件N=(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),共有9个样本点,则P(N)=910.
