1、双曲线考试要求1.了解双曲线的实际背景,了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用1双曲线的定义(1)平面内到两定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线这两个定点F1,F2叫作双曲线的焦点,两焦点之间的距离叫作双曲线的焦距(2)集合PM|MF1|MF2|2a,|F1F2|2c,其中a,c为常数且a0,c0.若ac,则集合P为双曲线;若ac,则集合P为两条射线;若ac,则集合P为空集2双曲线的标准
2、方程和几何性质标准方程1(a0,b0)1 (a0,b0)图形性质范围xa或xa,yRya或ya,xR对称性对称轴:坐标轴,对称中心:原点顶点A1(a,0),A2(a,0)A1(0,a),A2(0,a)渐近线yxyx离心率e,e(1,)实、虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长a,b,c的关系c2a2b2(ca0,cb0)3等轴双曲线及性质(1)等轴双曲线:实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线,其标准方程可写作:x2y2(0)(2)等轴双曲线离心率e两条渐近线yx相互垂直1
3、双曲线中的几个常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(2)若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|minac,|PF2|minca.(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦),其长为,异支的弦中最短的为实轴,其长为2a.(4)设P,A,B是双曲线上的三个不同的点,其中A,B关于原点对称,直线PA,PB斜率存在且不为0,则直线PA与PB的斜率之积为.(5)P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则,其中为F1PF2.2巧设双曲线方程(1)与双曲线 (a0,b0)有共同渐近线的方程可表示为t(t0)(2)
4、过已知两个点的双曲线方程可设为mx2ny21(mn0)一、易错易误辨析(正确的打“”,错误的打“”)(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线()(2)方程1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线()(3)双曲线(m0,n0,0)的渐近线方程是0,即0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于.()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1以椭圆1的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线方程为 ()Ax21 B.y21Cx21 D.1A设所求的双曲线方程为1(a0,b0),由椭圆1,得椭圆焦点为(1,0),在x轴上的顶点为(2,0)所以双曲线的顶点为
5、(1,0),焦点为(2,0). 所以a1,c2,所以b2c2a23,所以双曲线标准方程为x21.2经过点A(3,1),且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_1设等轴双曲线的方程为x2y2(0)由题意得91,8.即1.3若方程1表示双曲线,则m的取值范围是_(,2)(1,)因为方程1表示双曲线,所以(2m)(m1)0,即m1或m2.4双曲线1的实轴长为_,离心率为_,渐近线方程为_10yx双曲线1中a5,b224,c2252449,实轴长为2a10,离心率e,渐近线方程为yx. 考点一双曲线的定义及其应用 双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲
6、线方程(2)在“焦点三角形”中,当F1PF290时,SPF1F2b2,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合|PF1|PF2|2a,运用平方的方法,建立|PF1|与|PF2|的关系提醒:在应用双曲线定义时,要注意定义中的条件,搞清所求轨迹是双曲线,还是双曲线的一支,若是双曲线的一支,则需确定是哪一支典例1(1)已知双曲线x21上一点P到它的一个焦点的距离等于4,那么点P到另一个焦点的距离等于_(2)已知圆C1:(x3)2y21和圆C2:(x3)2y29,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为_(3)已知F1,F2为双曲线C:x2y22的左、右焦点,点P在C上,|PF1|2|PF
7、2|,则cosF1PF2_.(1)6(2)x21(x1)(3)(1)设双曲线的焦点为F1,F2,|PF1|4,则|PF1|PF2|2,故|PF2|6或2,又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为ca1,故|PF2|6.(2)如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B.根据两圆外切的条件,得|MC1|AC1|MA|,|MC2|BC2|MB|.因为|MA|MB|,所以|MC1|AC1|MC2|BC2|,即|MC2|MC1|BC2|AC1|2,所以点M到两定点C1,C2的距离的差是常数且小于|C1C2|.根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小),其中
8、a1,c3,则b28.故点M的轨迹方程为x21(x1)(3)因为由双曲线的定义有|PF1|PF2|PF2|2a2,所以|PF1|2|PF2|4,所以cosF1PF2.母题变迁1将本例(3)中的条件“|PF1|2|PF2|”改为“F1PF260”,则F1PF2的面积是多少?解不妨设点P在双曲线的右支上,则|PF1|PF2|2a2,在F1PF2中,由余弦定理,得cosF1PF2,|PF1|PF2|8,SF1PF2|PF1|PF2|sin 602.2将本例(3)中的条件“|PF1|2|PF2|”改为“0”,则F1PF2的面积是多少?解不妨设点P在双曲线的右支上,则|PF1|PF2|2a2,0,在F1
9、PF2中,有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2,即|PF1|2|PF2|216,|PF1|PF2|4,SF1PF2|PF1|PF2|2.点评:(1)求双曲线上的点到焦点的距离时,要注意取舍,如本例T(1)(2)利用定义求双曲线方程时,要注意所求是双曲线一支,还是整个双曲线,如本例T(2)1虚轴长为2,离心率e3的双曲线的两焦点为F1,F2,过F1作直线交双曲线的一支于A,B两点,且|AB|8,则ABF2的周长为()A3 B16 C12D24B由于2b2,e3,b1,c3a,9a2a21,a.由双曲线的定义知,|AF2|AF1|2a,|BF2|BF1|,得|AF2|BF2|(|AF1|BF1
10、|),又|AF1|BF1|AB|8,|AF2|BF2|8,则ABF2的周长为16,故选B.2已知F是双曲线1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|PA|的最小值为_9设双曲线的右焦点为F1,则由双曲线的定义,可知|PF|4|PF1|,所以当|PF1|PA|最小时满足|PF|PA|最小由双曲线的图像(图略),可知当点A,P,F1共线时,满足|PF1|PA|最小,|AF1|即|PF1|PA|的最小值又|AF1|5,故所求的最小值为9. 考点二双曲线的标准方程 求双曲线的标准方程的方法1(2020兰州诊断)经过点M(2,2)且与双曲线1有相同渐近线的双曲线方程是()A.1 B.1
11、C.1 D.1D设所求双曲线方程为(0),又双曲线过点M(2,2),所以6.即双曲线方程为1,故选D.2已知F1,F2分别为双曲线1(a0,b0)的左、右焦点,P为双曲线上一点,PF2与x轴垂直,PF1F230,且虚轴长为2,则双曲线的标准方程为()A.1 B.1C.1Dx21D由题意可知|PF1|,|PF2|,2b2,由双曲线的定义可得2a,即ca.又b,c2a2b2,a1,双曲线的标准方程为x21,故选D.3经过点P(3,2),Q(6,7)的双曲线的标准方程为_1设双曲线方程为mx2ny21(mn0)解得双曲线方程为1.点评:结合题设条件,灵活选择双曲线的设法,可以快速求解双曲线的标准方程
12、 考点三双曲线的几何性质 1.求双曲线渐近线方程的方法求双曲线1(a0,b0)或1(a0,b0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0,即令0,得yx;或令0,得yx.2求双曲线的离心率或其范围的方法(1)求a,b,c的值,由1直接求e.(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2c2a2消去b,然后转化成关于e的方程(或不等式)求解求双曲线的渐近线方程典例21(1)(2018全国卷)双曲线1(a0,b0)的离心率为,则其渐近线方程为()AyxByxCyxDyx(2)(2020广州模拟)设F1,F2分别是双曲线C:1(a0,b0)的左、右焦点,P是C上一点,若|PF1|PF2|6
13、a,且PF1F2的最小内角的大小为30,则双曲线C的渐近线方程是()Axy0 B.xy0Cx2y0D2xy0(1)A(2)B(1)法一:(直接法)由题意知,e,所以ca,所以ba,即,所以该双曲线的渐近线方程为yxx.法二:(公式法)由e,得,所以该双曲线的渐近线方程为yxx.(2)假设点P在双曲线的右支上,则|PF1|4a,|PF2|2a.|F1F2|2c2a,PF1F2最短的边是PF2,PF1F2的最小内角为PF1F2.在PF1F2中,由余弦定理得4a216a24c224a2ccos 30,c22ac3a20,e22e30,e,c23a2,a2b23a2,b22a2,双曲线的渐近线方程为x
14、y0,故选B.点评:双曲线的渐近线的斜率k与离心率e的关系:k,或e.双曲线的离心率典例22(1)已知点F是双曲线1(a0,b0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是()A(1,)B(1,2)C(2,1)D(1,1)(2)(2019全国卷)设F为双曲线C:1(a0,b0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P,Q两点若|PQ|OF|,则C的离心率为()A. B. C2 D.(1)B(2)A(1)若ABE是锐角三角形,只需AEF45,在RtAFE中,|AF|,|FE|ac,则
15、ac,即b2a2ac,即2a2c2ac0,则e2e20,解得1e2,又e1,则1e2,故选B.(2)令双曲线C:1(a0,b0)的右焦点F的坐标为(c,0),则c.如图所示,由圆的对称性及条件|PQ|OF|可知,PQ是以OF为直径的圆的直径,且PQOF.设垂足为M,连接OP,则|OP|a,|OM|MP|,由|OM|2|MP|2|OP|2,得22a2,即离心率e.故选A.点评:解答双曲线与圆的综合问题一般要画出几何图形,多借助圆的几何性质,挖掘出隐含条件,如垂直关系、线段或角的等量关系等1若双曲线1(a0,b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为()A.B5C.D2A由题意可
16、知b2a,e,故选A.2(2020衡水模拟)已知双曲线C1:1(a0,b0),圆C2:x2y22axa20,若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点,则双曲线C1的离心率的取值范围是()A. B.C(1,2)D(2,)A由双曲线方程可得其渐近线方程为yx,即bxay0,圆C2:x2y22axa20可化为(xa)2y2a2,圆心C2的坐标为(a,0),半径ra,由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点,得2b,即c24b2,又知b2c2a2,所以c24(c2a2),即c2a2,所以e1,所以双曲线C1的离心率的取值范围为.3(2020安徽示范高中联考)如图,F1,F2是双曲线C:
17、1(a0,b0)的左、右焦点,过F2的直线与双曲线交于A,B两点若|AB|BF1|AF1|345,则双曲线的渐近线方程为()Ay2xBy2xCyxDyxA由题意可设|AB|3k,则|BF1|4k,|AF1|5k,则易得BF1BF2,由双曲线的定义可知|AF1|AF2|2a,则可得|AF2|5k2a,|BF2|8k2a,再根据双曲线的定义得|BF2|BF1|2a,得ka,即|BF1|4a,|BF2|6a,|F1F2|2c,在直角三角形BF1F2中,得16a236a24c24(a2b2),则2,双曲线的渐近线方程为y2x,故选A.备考技法6“设而不求”在解析几何中的妙用“设而不求”是解析几何解题简
18、化运算的一种重要手段,它的精彩在于通过设出相应的参数,利用题设条件加以巧妙转化,以参数为过渡,最大限度地减少运算;同时,“设而不求”也是比较特殊的一种思想方法,其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用.活用定义,转化坐标在平面直角坐标系xOy中,双曲线1(a0,b0)的右支与焦点为F的抛物线x22py(p0)交于A,B两点,若|AF|BF|4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为_yx设A(xA,yA),B(xB,yB),由抛物线定义可得|AF|BF|yAyB4yAyBp,由 可得a2y22pb2ya2b20,所以yAyBp,解得ab,故该双曲线的渐近线方程为yx.评析设出点的坐标,先通过抛物
19、线的定义,实现点的坐标与几何关系|AF|BF|4|OF|的转换,然后借助根与系数的关系建立参数a,b的等量关系,达到设而不求,从而求得双曲线的渐近线方程抛物线y24mx(m0)的焦点为F,点P为该抛物线上的动点,若点A(m,0),则的最小值为_设点P的坐标为(xP,yP),由抛物线的定义,知|PF|xPm,又|PA|2(xPm)2y(xPm)24mxP,则2(当且仅当xPm时取等号),所以,所以的最小值为.妙用“点差法”,构造斜率已知椭圆E:1(ab0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点若AB的中点坐标为(1,1),则椭圆E的标准方程为()A.1B.1C.1 D.1D设A(x
20、1,y1),B(x2,y2),则x1x22,y1y22,得0,所以kAB.又kAB,所以.又9c2a2b2,解得b29,a218,所以椭圆E的方程为1.评析该题目属于中点弦问题,可设出A,B两点的坐标,通过“点差法”,巧妙地表达出直线AB的斜率,通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系,从而快速解决问题1抛物线E:y22x上存在两点关于直线yk(x2)对称,则k的取值范围是_ (,)当k0时,显然成立当k0时,设两对称点为B(x1,y1),C(x2,y2),BC的中点为M(x0,y0),由y2x1,y2x2,两式相减得(y1y2)(y1y2)2(x1x2),则直线BC的斜率kBC,由
21、对称性知kBC,点M在直线yk(x2)上,所以y0k,y0k(x02),所以x01.由点M在抛物线内,得y2x0,即(k)22,所以k,且k0.综上,k的取值范围为(,)2已知双曲线x21,过点P(1,1)能否作一条直线l与双曲线交于A,B两点,且点P是线段AB的中点?解假设存在直线l与双曲线交于A,B两点,且点P是线段AB的中点设A(x1,y1),B(x2,y2),易知x1x2,由 两式相减得(x1x2)(x1x2)0,又1,1,所以2(x1x2)(y1y2)0,所以kAB2,故直线l的方程为y12(x1),即y2x1.由 消去y得2x24x30,因为162480,方程无解,故不存在一条直线
22、l与双曲线交于A,B两点,且点P是线段AB的中点巧引参数,整体代入已知椭圆y21的左顶点为A,过A作两条互相垂直的弦AM,AN交椭圆于M,N两点(1)当直线AM的斜率为1时,求点M的坐标;(2)当直线AM的斜率变化时,直线MN是否过x轴上的一定点?若过定点,请给出证明,并求出该定点;若不过定点,请说明理由解(1)直线AM的斜率为1时,直线AM的方程为yx2,代入椭圆方程并化简得5x216x120.解得x12,x2,所以M.(2)设直线AM的斜率为k,直线AM的方程为yk(x2),联立方程化简得(14k2)x216k2x16k240.则xAxM,xMxA2.同理,可得xN.由(1)知若存在定点,
23、则此点必为P.证明如下:因为kMP,同理可计算得kPN.所以直线MN过x轴上的一定点P.评析第(2)问先设出AM的方程为yk(x2),联立方程,利用根与系数的关系求出xM,在此基础上借助kAMkAN1,整体代入求出xN.已知F为抛物线C:y22x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,求|AB|DE|的最小值解法一:由题意知,直线l1,l2的斜率都存在且不为0,F,设l1:xty,则直线l1的斜率为,联立方程得 消去x得y22ty10.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y22t,y1y21.所以|AB|y1y2|2t22,同理得,用替换t可得|DE|2,所以|AB|DE|24448,当且仅当t2,即t1时等号成立,故|AB|DE|的最小值为8.法二:由题意知,直线l1,l2的斜率都存在且不为0,F,不妨设l1的斜率为k,则l1:yk,l2:y.由消去y得k2x2(k22)x0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x21.由抛物线的定义知,|AB|x1x21112.同理可得,用替换|AB|中k,可得|DE|22k2,所以|AB|DE|222k242k2448,当且仅当2k2,即k1时等号成立,故|AB|DE|的最小值为8.