1、20102014年高考真题备选题库第8章 平面解析几何第5节 椭圆1. (2014辽宁，5分)已知椭圆C： 1，点M与C的焦点不重合若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则 |AN|BN|_.解析：取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，故有|GF1|AN|，|GF2|BN|，所以|AN|BN|2(|GF1|GF2|)4a12.答案：12.2(2014江苏，5分)在平面直角坐标系xOy中，直线x2y30被圆(x2)2(y1)24截得的弦长为_解析：因为圆心(2，1)到直线x2y30的距离d，所以直线x2y30被圆截得的弦长为2.答
2、案：3. (2014辽宁，12分)圆 x2y24的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图)(1)求点P的坐标；(2)焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：yx 交于A，B两点若PAB 的面积为2，求C的标准方程解：(1)设切点坐标为(x0，y0)(x00，y00)，则切线斜率为，切线方程为yy0(xx0)，即x0xy0y4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S.由xy42x0y0知当且仅当x0y0时x0y0有最大值，即S有最小值，因此点P的坐标为(，)(2)设C的标准方程为1(ab0)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)由点P在C上知
3、1，并由得b2x24x62b20，又x1，x2是方程的根，因此由y1x1，y2x2，得|AB|x1x2|.由点P到直线l的距离为及SPAB|AB|2得b49b2180，解得b26或3，因此b26，a23(舍)或b23，a26.从而所求C的方程为1.4. (2014江西，5分)设椭圆 C：1(ab0)的左、右焦点为 F1，F2，过F2 作x 轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B 与y 轴交于点D，若ADF1B，则椭圆 C的离心率等于_解析：由题意知F1(c,0)，F2(c,0)，其中c，因为过F2且与x轴垂直的直线为xc，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A，B.因为AB平行于y轴，且|F1O|
4、OF2|，所以|F1D|DB|，即D为线段F1B的中点，所以点D的坐标为，又ADF1B，所以kADkF1B1，即1，整理得b22ac，所以(a2c2)2ac，又e，0eb0)，由题意知解得a，b1，因此椭圆C的方程为y21.(2)()当A，B两点关于x轴对称时，设直线AB的方程为xm，由题意得m0或0m0，所以t2或t.()当A，B两点关于x轴不对称时，设直线AB的方程为ykxh，将其代入椭圆的方程y21，得(12k2)x24khx2h220.设A(x1，y1)，B(x2，y2)由判别式0可得12k2h2，此时x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2)2h，所以|AB|2 .因为点O到直线AB
5、的距离d，所以SAOB|AB|d2 |h|.又SAOB，所以 |h|.令n12k2，代入整理得3n216h2n16h40，解得n4h2或nh2，即12k24h2或12k2h2.又tt()t(x1x2，y1y2)，因为P为椭圆C上一点，所以t2221，即1.将代入得t24或t2.又t0，所以t2或t.经检验，符合题意综合()()得t2或t.7（2013新课标全国，5分）设椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2F1F2，PF1F230，则C的离心率为()A.B.C. D.解析：本题主要考查椭圆离心率的计算，涉及椭圆的定义、方程与几何性质等知识，意在考查考生的运算求解
6、能力法一：由题意可设|PF2|m，结合条件可知|PF1|2m，|F1F2|m，故离心率e.法二：由PF2F1F2可知P点的横坐标为c，将xc代入椭圆方程可解得y，所以|PF2|.又由PF1F230可得|F1F2|PF2|，故2c，变形可得(a2c2)2ac，等式两边同除以a2，得(1e2)2e，解得e或e(舍去)答案：D8（2013辽宁，5分）已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|10，|BF|8，cosABF，则C的离心率为()A. B.C. D.解析：本题主要考查圆锥曲线的定义、离心率，解三角形等知识，意在考查考生对圆锥曲线的求解
7、能力以及数据处理能力由余弦定理得，|AF|6，所以2a6814，又2c10，所以e.答案：B9（2013四川，5分）从椭圆1(ab0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且ABOP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是()A. B.C. D.解析：本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查曲线和方程这一解析几何的基本思想由已知，点P(c，y)在椭圆上，代入椭圆方程，得P.ABOP，kABkOP，即，则bc，a2b2c22c2，则，即该椭圆的离心率是.答案：C10（2013福建，4分）椭圆：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为
8、2c.若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_解析：本题主要考查椭圆的定义、图像和性质等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力直线y(xc)过点F1(c,0)，且倾斜角为60，所以MF1F260，从而MF2F130，所以MF1MF2.在RtMF1F2中，|MF1|c，|MF2|c，所以该椭圆的离心率e1.答案：111.(2012安徽，13分)如图，F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，F1AF260.(1)求椭圆C的离心率；(2)已知AF1B的面积为40，求
9、a，b的值解：(1)由题意可知，AF1F2为等边三角形，a2c，所以e.(2)法一：a24c2，b23c2，直线AB的方程可为y(xc)将其代入椭圆方程3x24y212c2，得B(c，c)所以|AB|c0|c.由SAF1B|AF1|AB|sin F1ABaca240，解得a10，b5.法二：设|AB|t.因为|AF2|a，所以|BF2|ta.由椭圆定义|BF1|BF2|2a可知，|BF1|3at.再由余弦定理(3at)2a2t22atcos 60可得，ta.由SAF1Baaa240知，a10，b5.12（2012新课标全国，5分）设F1，F2是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，P为直线x上一点
10、，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为()A. B.C. D.解析：由题意可得|PF2|F1F2|，所以2(ac)2c，所以3a4c，所以e.答案：C13（2012江西，5分）椭圆1(ab0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为()A.B.C. D.2解析：依题意得|F1F2|2|AF1|F1B|，即4c2(ac)(ac)a2c2，整理得5c2a2，所以e.答案：B14（2011浙江，5分）已知椭圆C1：1(ab0)与双曲线C2：x21有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于
11、A，B两点若C1恰好将线段AB三等分，则()Aa2Ba213Cb2 Db22解析：对于直线与椭圆、圆的关系，如图所示，设直线AB与椭圆C1的一个交点为C(靠近A的交点)，则|OC|，因tanCOx2，sinCOx，cosCOx，则C的坐标为(，)，代入椭圆方程得1，a211b2.5a2b2，b2.答案：C15(2011陕西，12分)设椭圆C：1(ab0)过点(0,4)，离心率为.()求C的方程；()求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标解：()将(0,4)代入C的方程得1，b4，又e得，即1，a5，C的方程为1.()过点(3,0)且斜率为的直线方程为y(x3)，设直线与C的交点为
12、A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y(x3)代入C的方程，得1，即x23x80，解得x1，x2，AB的中点坐标，(x1x26)，即中点坐标为(，)注：用韦达定理正确求得结果，同样给分16（2011新课标全国，5分）椭圆1的离心率为()A. B.C. D.解析：由1可得a216，b28，c2a2b28.e2.e.答案：D17（2010福建，5分）若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为()A2 B3C6 D8解析：由椭圆1，可得点F(1,0)，点O(0,0)，设P(x，y)，2x2，则x2xy2x2x3(1)x2x3(x2)22，当且仅当x2时，取得最大值6.答案：C
