1、-1-2 角的概念的推广-2-2 角的概念的推广 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCE当堂检测 学习目标 思维脉络 1.理解正角、负角和零角的概念.2.掌握象限角、轴线角的特征及其表示方法.3.理解终边相同的角的概念,会正确表示终边相同的角.-3-2 角的概念的推广 XINZHI DAOXUE新知导学 首 页 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCE当堂检测 1.角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.旋转开始时的射线叫作角的始边;旋转终止时的射线
2、叫作角的终边;射线的端点叫作角的顶点.如图,一条射线端点是 O,它从起始位置 OA 按逆时针方向旋转到终止位置 OB,形成了一个角,点 O 是角 的顶点,射线 OA 是角 的始边,射线OB 是角 的终边,记作AOB.-4-2 角的概念的推广 XINZHI DAOXUE新知导学 首 页 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCE当堂检测 2.角的分类(1)正角:按逆时针方向旋转形成的角.(2)负角:按顺时针方向旋转形成的角.(3)零角:如果一条射线从起始位置没有作任何旋转,终止位置与起始位置重合,我们称这样的角为零度角,又称零角.下图中的角 分别为正角、负角和零角.-
3、5-2 角的概念的推广 XINZHI DAOXUE新知导学 首 页 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCE当堂检测 做一做 1用任意角表示下列各角:(1)顺时针拧螺丝 1 圈转过的角为 ;(2)将时钟拨慢 2 小时,分针转过的角为 ;(3)体操运动员向右转体 3 周转过的角为 .答案:(1)-360(2)720(3)-1 080-6-2 角的概念的推广 XINZHI DAOXUE新知导学 首 页 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCE当堂检测 3.象限角和轴线角(1)象限角在直角坐标系内,使角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的
4、非负半轴重合,那么,角的终边(除端点外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角.注意:直角坐标系中的角,如果不作特别说明,都是指顶点与原点重合,始边与 x 轴的非负半轴重合的角.(2)轴线角如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,我们称这个角为轴线角.-7-2 角的概念的推广 XINZHI DAOXUE新知导学 首 页 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCE当堂检测 做一做 2给出下列各角:45;-60;195;-180;300;-200;270;-330.其中是第一象限角的有 ;第二象限角有 ;第三象限角有 ;第四象限角有 ;轴线角有 .答案:
5、-8-2 角的概念的推广 XINZHI DAOXUE新知导学 首 页 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCE当堂检测 4.终边相同的角(1)一般地,所有与角 终边相同的角,连同角 在内,可构成一个集合S=|=+k360,kZ,即任何一个与角 终边相同的角,都可以表示成角 与周角的整数倍的和.(2)象限角的表示:第一象限角的集合为:x|k360 xk360+90,kZ.第二象限角的集合为:x|k360+90 xk360+180,kZ.第三象限角的集合为:x|k360+180 xk360+270,kZ.第四象限角的集合为:x|k360+270 xk360+360,k
6、Z.-9-2 角的概念的推广 XINZHI DAOXUE新知导学 首 页 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCE当堂检测(3)轴线角的表示:终边落在 x 轴的非负半轴上的角的集合为:x|x=k360,kZ.终边落在 x 轴的非正半轴上的角的集合为:x|x=k360+180,kZ.终边落在 x 轴上的角的集合为:x|x=k180,kZ.终边落在 y 轴的非负半轴上的角的集合为:x|x=k360+90,kZ.终边落在 y 轴的非正半轴上的角的集合为:x|x=k360-90,kZ.终边落在 y 轴上的角的集合为:x|x=k180+90,kZ.-10-2 角的概念的推广
7、 XINZHI DAOXUE新知导学 首 页 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCE当堂检测 做一做 3与-50角终边相同的角可用集合表示为 ,其中,在7201080范围内的角等于 .解析:与-50角终边相同的角可表示为=k360-50(kZ),其中在范围 7201080内的角是 1030角,此时 k=3.答案:|=k360-50,kZ 1 030-11-2 角的概念的推广 XINZHI DAOXUE新知导学 首 页 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCE当堂检测 做一做 4下列命题是真命题的是()A.三角形的内角必是第一、二象限
8、内的角B.第一象限内的角必是锐角C.不相等的角的终边一定不相同D.|=k36090,kZ=|=k180+90,kZ解析:若三角形的内角为 90,它就不是第一、二象限内的角,故 A 错误;390角是第一象限内的角,但它不是锐角,故 B 错误;39030,但 390角与 30角的终边相同,故 C 错误;终边在 y 轴上的角的集合既可表示成|=k36090,kZ,也可表示成|=k180+90,kZ,故 D正确.答案:D-12-2 角的概念的推广 ZHONGNAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四
9、探究一有关角的概念的理解概念是解题的重要依据,因此应熟练掌握.正确区分象限角、轴线角、终边相同的角、锐角、钝角、正角、负角和零角等概念,应熟记一些关于角的概念的正确的描述.典型例题 1下列各种说法中正确的是()A.终边相同的角一定相等B.第一象限角就是锐角C.锐角是第一象限角D.小于 90的角都是锐角-13-2 角的概念的推广 ZHONGNAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 解析:根据锐角和第一象限角的定义来进行判定.锐角的集合是|090,第一象限角的集合是|k360k360+90,kZ
10、,故当k=0时,角的范围就与锐角的范围相一致,故锐角是第一象限角,C正确.对于 A,-60角与 300角是终边相同的角,它们并不相等,故说法错误;对于 B,390角是第一象限角,但它不是锐角,故说法错误;对于 D,-30角是小于 90的角,但它不是锐角,故说法错误.答案:C点评在根据概念判断命题的真假时,除了结合概念正面去判断以外,还要善于通过反例来说明一个命题是错误的.-14-2 角的概念的推广 ZHONGNAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 变式训练 1下列命题中正确的是()A.第二象限角比第一象限角大B.钝角是第
11、二象限角C.小于 180的角是锐角、直角或钝角D.第四象限角是负角解析:=100是第二象限角,=390是第一象限角,但,故 A 错;钝角的范围是90180,是第二象限角,故B正确;小于180的角还有负角,但不是锐角、直角或钝角,故 C 错;第四象限角不一定是负角,故 D 错.答案:B探究一 探究二 探究三 探究四-15-2 角的概念的推广 ZHONGNAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 探究二象限角的判定1.已知一个角的大小判断其所在象限时,可先根据终边相同的角的表示方法,找到在0,36
12、0)内与之终边相同的角,从而确定其象限.2.已知角的终边所在的象限,求新角的终边所在的位置时,一般是根据所给角的范围,得到新角的范围,然后判断新角终边所在的位置.典型例题 2(1)分别判断角=-130和=-940是第几象限角?(2)若角 是第二象限角,试判断 180-及 2 是第几象限角?思路分析:(1)可通过终边相同的角将其转化为0,360)内的角再进行判断;(2)先确定 的范围,再写出 180-,2 的范围,根据范围判断所在象限.-16-2 角的概念的推广 ZHONGNAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 探究一 探
13、究二 探究三 探究四 解:(1)由于=-130=-360+230,即角与230角终边相同,而230角是第三象限角,故 是第三象限角.由于=-940=-3360+140,即 角与 140角终边相同,而 140角是第二象限角,故 是第二象限角.(2)由 是第二象限角可得,90+k360180+k360(kZ),所以 180-(180+k360)180-180-(90+k360)(kZ),即-k360180-90-k360(kZ).所以 180-为第一象限角.同理,180+2k3602360+2k360(kZ),所以角 2 可能是第三象限角或第四象限角或者终边落在 y 轴的非正半轴上.-17-2 角
14、的概念的推广 ZHONGNAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 点评本题(2)还可以通过取特殊值的方法进行判断,例如,取=100或 150等,那么 180-=80或 30,2=200或 300,从而可确定其相应范围.-18-2 角的概念的推广 ZHONGNAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 变式训练 2已知 是第三象限的角,则2的终边所在的象限是()A.第一或第二象限B.第二或第三象限C.第一或第三象限D.第二或第
15、四象限解析:是第三象限的角,即180+k360270+k360(kZ),所以 90+k1802135+k180(kZ).分别令 k 为偶数和奇数,可知2的终边在第二或第四象限.答案:D探究一 探究二 探究三 探究四-19-2 角的概念的推广 ZHONGNAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 探究一 探究三 探究二 探究四 探究三终边相同的角的表示及应用1.与角 终边相同的角的集合为 S=|=k360+,kZ.理解集合 S=|=+k360,kZ要注意以下几点:(1)式中的角 为任意角;(2)终边相同的角有无数个,它们的度数
16、相差 360的整数倍.在求终边相同的角的问题时,关键是找到一个与其终边相同的角(一般找 0360的角),然后用集合语言和符号语言表示出来;(3)“kZ”这一条件必不可少;(4)k360与 之间是“+”,如 k360-30应看成 k360+(-30),即与-30角终边相同的角;(5)终边相同的角不一定相等,但是相等的角的终边一定相同.-20-2 角的概念的推广 ZHONGNAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 探究一 探究三 探究二 探究四 2.在终边相同的角的集合中求某特定范围内的角时,常采用对 k 赋值的方法.-21-
17、2 角的概念的推广 ZHONGNAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 典型例题 3写出与 15角终边相同的角的集合,并求出该集合中适合不等式-1 080-360的角.思路分析:先写出与 15角终边相同的角的集合,然后根据不等式的要求通过赋值法求角.解:与 15角终边相同的角的集合 S=|=15+k360,kZ.通过赋值可知 k=-3,-2 时,集合 S 中适合不等式-1080-360的角 是-3360+15=-1065,-2360+15=-705.点评在指定条件下,求与角 终边相同的角时,可先将这样的角表示为+k360(
18、kZ)的形式,然后用赋值法寻求满足条件的 k 值和角.探究一 探究三 探究二 探究四-22-2 角的概念的推广 ZHONGNAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 探究一 探究三 探究二 探究四 变式训练 3写出与 75角终边相同的角的集合,并求其在360,1 080)范围内的角.解:与 75角终边相同的角的集合为:S=|=k360+75,kZ.当 3601080时,即 360k360+751080(kZ),解得1924k21924.又 kZ,所以 k=1 或 k=2.当 k=1 时,=435;当 k=2 时,=795.综
19、上所述,与 75角终边相同且在360,1080)内的角为 435角和795角.-23-2 角的概念的推广 ZHONGNAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 探究一 探究三 探究二 探究四 典型例题 4写出终边落在直线 y=x 上的角的集合.思路分析:先找出符合要求的在 0360内的角,再根据终边相同的角的表示方法写出集合,最后进行合并改写.解:在0360范围内,终边落在直线y=x上的角有两个,即45角与225角(如图).-24-2 角的概念的推广 ZHONGNAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE
20、新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 探究一 探究三 探究二 探究四 又所有与 45角终边相同的角构成集合 S1=|=45+k360,kZ,所有与 225角终边相同的角构成集合 S2=|=225+k360,kZ.于是,终边落在直线 y=x 上的角的集合 S=S1S2=|=45+k360,kZ|=225+k360,kZ=|=45+k180,kZ.点评与角 终边在一条直线上的角,其终边有两种情况,一种是与角 终边相同,另一种是与角(180+)的终边相同,所有这些角的集合才是与角 终边在一条直线上的角,记为 S=|=+k180,kZ.-25-2 角的概念的推广 ZHONGNAN TANJ
21、IU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 探究一 探究三 探究二 探究四 探究四区域角的表示根据已知图形写出区域角的集合的步骤:(1)仔细观察图形;(2)写出区域过界作为终边时角的表示;(3)用不等式表示区域范围内的角.-26-2 角的概念的推广 ZHONGNAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 探究一 探究三 探究二 探究四 典型例题 5已知角 的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界),那么满足题意的角 的集合为 .-27-2 角的概念的推广 ZHONGNAN
22、 TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 探究一 探究三 探究二 探究四 解析:在 0360范围内,终边落在阴影内的角为 30150与210330,则所有满足题意的角 为|k360+30k360+150,kZ|k360+210k360+330,kZ=|2k180+302k180+150,kZ|(2k+1)180+30(2k+1)180+150,kZ=|n180+30n180+150,nZ.答案:|n180+30n180+150,nZ点评1.用不等式表示区域角的范围时,要注意观察角的集合形式是否能够合并,能合并的一定要合并.2.对
23、于区域角的书写,一定要看其区域是否跨越 x 轴的正方向.-28-2 角的概念的推广 ZHONGNAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 变式训练 4已知角 的终边落在图中阴影部分表示的范围内(不包括边界),那么角 的集合是 .解析:在 0360范围内,阴影部分的边界射线所表示的角分别是 45和 150,因此,所求 的范围是 45+k360150+k360(kZ).答案:|45+k360150+k360,kZ探究一 探究三 探究二 探究四-29-2 角的概念的推广 DANGTANG JIANCE当堂检测 首 页 XINZHI
24、 DAOXUE新知导学 ZHONGNAN TANJIU重难探究 1.下列命题中正确的是()A.小于 90的角是锐角B.若角 与 的终边相同,那么=C.若角 的终边落在 x 轴上,则=k360(kZ)D.与 2 016终边相同的最小正角是 216解析:因为 2016=5360+216,所以 D 项正确,其余均错.答案:D1 2 3 4 5-30-2 角的概念的推广 DANGTANG JIANCE当堂检测 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 ZHONGNAN TANJIU重难探究 2.下列各角中,终边与 330角终边相同的是()A.-630B.-1 830C.30D.990解析:终边与 3
25、30角终边相同的角为=330+k360(kZ).令 k=-6,得=-1830.故选 B.答案:B1 2 3 4 5-31-2 角的概念的推广 DANGTANG JIANCE当堂检测 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 ZHONGNAN TANJIU重难探究 3.若 是第四象限的角,则 270-是()A.第一象限的角B.第二象限的角C.第三象限的角D.第四象限的角解析:由于 是第四象限角,所以-是第一象限角,因此 270-是第四象限角.答案:D1 2 3 4 5-32-2 角的概念的推广 DANGTANG JIANCE当堂检测 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 ZHONGNAN
26、 TANJIU重难探究 4.-496角是第 象限的角,与它终边相同的角的集合是 ,它们中最小正角是 ,最大负角是 .解析:因为-496=224-2360,而 180224270,因此-496是第三象限的角.与-496角终边相同的角的集合是|=224+k360,kZ.当 k=0 时,=224;当 k=-1 时,=-136.故与-496角终边相同的角中最小正角是 224,最大负角是-136.答案:三|=224+k360,kZ 224-1361 2 3 4 5-33-2 角的概念的推广 DANGTANG JIANCE当堂检测 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 ZHONGNAN TANJIU重难探究 5.若角 的终边落在如图所示的阴影部分中,试写出其集合.解:以 OA 为终边的角为 75+k360(kZ),以 OB 为终边的角为k360-30(kZ),因此终边落在阴影部分中的角的集合可以表示为|k360-30k360+75,kZ.1 2 3 4 5
