1、北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编18：空间的平行与垂直关系一、选择题 （北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）平面平面的一个充分条件是（）A存在一条直线B存在一条直线C存在两条平行直线D存在两条异面直线 （北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）设是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是（）A若，则 B若，则 C若，则 D若，则 （北京东城区普通校2013届高三12月联考理科数学）已知是两条不同直线,是三个不同平面,下列命题中正确的是（）AB CD （2013届北京大兴区一模理科）已知平面，直线，下列命题中不正确的是（）A若，则 B若，则C
2、若，则D若，则 （2013届北京市高考压轴卷理科数学）已知、是两条不同的直线,、是两个不同的平面,给出下列命题:若,则;若,且则;若,则;若,且,则.其中正确命题的序号是（）ABCD二、填空题 （北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理）设、是不同的直线,、是不同的平面,有以下四个命题: 若 则 若,则 若,则 若,则其中所有真命题的序号是_三、解答题 （北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）如图,在四棱锥中,平面平面,且, .四边形满足,.点分别为侧棱上的点,且.()求证:平面;()当时,求异面直线与所成角的余弦值; ()是否存在实数,使得平面平面?若存在,试求出的值;若不
3、存在,请说明理由.PDABCFE （2013北京西城高三二模数学理科）如图1,四棱锥中,底面,面是直角梯形,为侧棱上一点.该四棱锥的俯视图和侧(左)视图如图2所示. ()证明:平面; ()证明:平面; ()线段上是否存在点,使与所成角的余弦值为?若存在,找到所有符合要求的点,并求的长;若不存在,说明理由. （北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分14分）在四棱锥中，底面是正方形，为的中点. （）求证：平面；（）求证：；（）若在线段上是否存在点，使？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）已知几何体ABCED的
4、三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形（）求此几何体的体积V的大小;（）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；（）试探究在棱DE上是否存在点Q，使得AQBQ，若存在，求出DQ的长，不存在说明理由.侧视图俯视图正视图1444（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）(本小题满分13分) 在四棱锥中，底面为矩形，分别为的中点（1）求证：；（2）求证：平面；（3）线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由（2013届北京海滨一模理科）在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，点在
5、线段上，且（）求证：；（）求证：平面;（）求二面角的余弦值（2010年高考（北京理）如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,CEAC,EFAC,AB=,CE=EF=1.()求证:AF平面BDE;()求证:CF平面BDE;()求二面角A-BE-D的大小北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编18：空间的平行与垂直关系参考答案一、选择题 D 【答案】C解：C中，当，所以，或当，所以，所以正确。 B【解析】根据线面垂直的性质可知,B正确. C B 【解析】当时,不一定成立,所以错误.成立.成立.,且,也可能相交,所以错误.所以选B. 二、填空题 三、解答题 证明:()由已知, 所
6、以 . 因为,所以. 而平面,平面, 所以平面 ()因为平面平面, 平面平面,且, 所以平面. 所以,. 又因为, 所以两两垂直 如图所示,建立空间直角坐标系,PDABCFExyxzx 因为, 所以 . 当时,为中点, 所以, 所以. 设异面直线与所成的角为, 所以, 所以异面直线与所成角的余弦值为 ()设,则. 由已知,所以, 所以 所以. 设平面的一个法向量为,因为, 所以 即 令,得. 设平面的一个法向量为,因为, 所以 即 令,则. 若平面平面,则,所以,解得. 所以当时,平面平面 【方法一】 ()证明:由俯视图可得, 所以 又因为 平面, 所以 , 所以 平面 ()证明:取上一点,使
7、,连结, 由左视图知 ,所以 , 在中,易得,所以 .又 , 所以, . 又因为 ,所以 ,. 所以四边形为平行四边形,所以 因为 平面,平面, 所以 直线平面 ()解:线段上存在点,使与所成角的余弦值为.证明如下: 因为 平面,建立如图所示的空间直角坐标系. 所以 . 设 ,其中 所以,. 要使与所成角的余弦值为,则有 , 所以 ,解得 或,均适合 故点位于点处,此时;或中点处,此时, 有与所成角的余弦值为 【方法二】()证明:因为平面,建立如图所示 的空间直角坐标系. 在中,易得,所以 , 因为 , 所以, . 由俯视图和左视图可得: . 所以 ,. 因为 ,所以 又因为 平面,所以 ,
8、所以 平面 ()证明:设平面的法向量为,则有 因为 , 所以 取,得 因为 ,所以 因为 平面, 所以 直线平面 ()解:线段上存在点,使与所成角的余弦值为.证明如下: 设 ,其中 所以 ,. 要使与所成角的余弦值为,则有 , 所以 ,解得或,均适合 故点位于点处,此时;或中点处,此时, 有与所成角的余弦值为 解：（I）连接. 由是正方形可知,点为中点. 又为的中点，所以.2分又 所以平面.4分(II) 证明：由所以由是正方形可知, 又所以.8分 又所以.9分(III)解法一：在线段上存在点，使. 理由如下：如图，取中点，连接.在四棱锥中，所以.11分由（II）可知，而所以，因为所以. 13分
9、故在线段上存在点，使.由为中点，得 14分来源:学科网ZXXK解法二：由且底面是正方形，如图，建立空间直角坐标系由已知设，则设为线段上一点，且，则.12分由题意，若线段上存在点，使，则，.所以，故在线段上存在点，使，且 14分解：（1）由该几何体的三视图知面,且EC=BC=AC=4 ，BD=1，即该几何体的体积V为-4分（2）以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）， 异面直线DE与AB所成的角的余弦值为-4分（3） 点Q在棱DE上，存在使得同理,即，满足题设的点Q存在，DQ的长为1 -14分
10、 （1）证明：底面为矩形 4分（2）证明：取，连接 ,是平行四边形，/，/ 8分(3) ，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，假设在线段上存在一点，使得平面平面，设， 设平面的法向量为 ， ， 令 设平面的法向量为 令 ，解得 线段上存在点，且当时，使得平面平面. 13分证明：(I) 因为是正三角形，是中点，所以,即1分又因为，平面，2分又，所以平面3分又平面，所以4分（）在正三角形中，5分在中，因为为中点，所以，所以，所以6分在等腰直角三角形中，所以，所以8分又平面，平面，所以平面9分（）因为，所以，分别以为轴, 轴, 轴建立如图的空间直角坐标系，所以由（）可知，为
11、平面的法向量10分，设平面的一个法向量为,则，即，令则平面的一个法向量为12分设二面角的大小为， 则所以二面角余弦值为14分 证明:(I) 设AC与BD交与点G 因为EF/AG,且EF=1,AG=AC=1. 所以四边形AGEF为平行四边形. 所以AF/平面EG, 因为平面BDE,AF平面BDE, 所以AF/平面BDE. (II)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直,且CEAC, 所以CE平面ABCD. 如图,以C为原点,建立空间直角坐标系C-. 则C(0,0,0),A(,0),B(0,0). 所以,. 所以, 所以,. 所以BDE. (III) 由(II)知,是平面BDE的一个法向量. 设平面ABE的法向量,则,. 即 所以且 令则. 所以. 从而 因为二面角为锐角, 所以二面角的大小为.
