1、第9讲 函数的图象与性质 题型1 选填题 练熟练稳 少丢分考情分析 高考对函数的图象与性质的考查主要体现在函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性等方面，题型以选择题、填空题为主，一般属于中档题函数图象考查比较灵活，涉及知识点较多，且每年均有创新，试题考查角度有两个方面，一是函数解析式与函数图象的对应关系；二是利用图象研究函数性质、方程及不等式的解等，综合性较强函数的零点主要考查零点所在区间、零点个数的判断以及由函数零点的个数求解参数的取值范围；函数的实际应用问题常以实际生活为背景，与最值、不等式、导数等知识综合命题.1 热点题型分析 PART ONE 热点 1 函数的图象及其应用1
2、.辨识函数图象的两种方法(1)直接根据函数解析式作出函数图象，或者是根据图象变换作出函数的图象此类问题往往需要化简函数解析式，利用函数的性质(单调性、奇偶性、过定点等)判断.(2)利用间接法排除、筛选错误与正确的选项，可以从如下几个方面入手：由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域(或有界性)，判断图象的上下位置；由函数的单调性，判断图象的变化趋势；由函数的奇偶性，判断图象的对称性；由函数的周期性，判断图象的循环往复；从特殊点出发，排除不符合要求的选项.2.函数图象的应用(1)利用函数图象研究函数的性质对于已知或容易画出在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域
3、)、零点)常借助函数的图象来研究，但一定要注意函数的性质与图象特征的对应关系.(2)利用函数图象研究不等式当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合思想求解.(3)利用函数图象研究方程根的个数当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程 f(x)0 的根就是函数 f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标，方程 f(x)g(x)的根就是函数 f(x)与 g(x)图象的交点的横坐标.1.(2018全国卷)函数 f(x)exexx2的图象大致为()答案 B解析 x0，f(x)exexx2f(x)，f(x)为奇函数，排除
4、A；f(1)ee10，排除 D；f(x)exexx2exex2xx4x2exx2exx3，x2，f(x)0，排除 C；因此选 B.2.(2019山西大学附中诊断)函数f(x)ln x1x22x，x0，2x1，x0的零点个数为()A.0 B1 C2 D3答案 C解析 对于求函数 f(x)ln(x1)x22x 的零点个数，可以转化为方程 ln(x1)x22x 的根的个数问题，分别画出 yln(x1)，yx22x 的图象如图由图象可得两个函数有两个交点又 x0，所以有一个交点又方程 2x10 的根为 x120 的限制条件而错选 D.热点 2 函数的性质及其应用1.函数三个性质的应用(1)奇偶性：具有
5、奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上，尤其注意偶函数 f(x)的性质：f(x)f(x).(2)单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性.(3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解.2.四招破解函数的单调性(1)对于选择题、填空题，若能画出图象，则一般用数形结合法.(2)对于由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数的单调性问题来解决.(3)对于解析式为分式、指数式、对数式等较复杂的函数常用导数法.(4)对于抽象函数一
6、般用定义法.3.三招判断函数奇偶性(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称.(2)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称.(3)对于偶函数而言，有 f(x)f(x)f(|x|).1.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，且在0,2)上单调递减，则下列结论正确的是()A.0f(1)f(3)Bf(3)0f(1)C.f(1)0f(3)Df(3)f(1)f(0)f(1)，故选 C.2.(2017全国卷)设函数 f(x)x1，x0，2x，x0，则满足 f(x)fx12 1的 x 的取值范围是_.答案 14，解析 由题意，令 g(x)f(x)fx1
7、2，则 g(x)2x32，x0，2xx12，0 x12，1 22 2x，x12，函数 g(x)在区间(，0，0，12，12，三段区间内均单调递增，且 g14 1,200121，1 22 212 1，据此 x 的取值范围是14，.3.(2019青岛调研)已知定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，当 x0,1时，f(x)ex1，则 f(2018)f(2019)_.答案 e1解析 f(x)是 R 上的偶函数，f(2019)f(2019)，f(x2)f(x)，f(x)的周期为 2，又 x0,1时，f(x)ex1；f(2018)f(0)0，f(2019)f(2019)f(1)e1.f
8、(2019)f(2018)e1.第 1 题不能正确求出函数的最小正周期而导致 f(3)的值求错，易错选D.第 2 题易错点有二：一是分段函数 fx12 的解析式与定义域易错，导致 f(x)fx12 的解析式不明确而无从下手；二是解不等式时忽略定义域的范围限制而出错.热点 3 函数零点与方程的根1.判断零点个数的常用方法(1)直接求零点：令 f(x)0，则方程解的个数即为零点的个数.(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数 f(x)的图象在区间a，b上是连续不断的曲线，且 f(a)f(b)1.若关于 x 的方程f(x)14xa(aR)恰有两个互异的实数解，则 a 的取值范围为()A.54，94
9、B.54，94C.54，94 1 D.54，94 1答案 D解析 如图，分别画出两函数 yf(x)和 y14xa 的图象.(1)先研究当 0 x1 时，直线 y14xa 与 y2 x的图象只有一个交点的情况.当直线 y14xa 过点 B(1,2)时，214a，解得 a94.所以 0a94.(2)再研究当 x1 时，直线 y14xa 与 y1x的图象只有一个交点的情况：相切时，由 y1x214，得 x2，此时切点为2，12，则 a1.相交时，由图象可知直线 y14xa 从过点 A 向右上方移动时与 y1x的图象只有一个交点过点 A(1,1)时，114a，解得 a54.所以 a54.结合图象可得，
10、所求实数 a 的取值范围为54，94 1故选 D.第 1 题易错在不能把函数的零点转化为方程|log0.5x|12x 的根，进而利用指数、对数函数的图象交点来解决问题；第 2 题利用数形结合思想，转化为直线与曲线交点的问题，易错点有二：一是分段函数图象在定义域的分界点易忽略；二是直线平移的临界位置(区间端点和切点)能不能取到.热点 4 函数的实际应用函数有关应用题的常见类型及解决问题的一般程序：(1)常见类型：与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题.(2)应用函数模型解决实际问题的一般程序：读题文字语言 建模数学语言 求解数学应
11、用 反馈检验作答(3)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识综合解答.某食品的保鲜时间 y(单位：小时)与储存温度 x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b 为常数)若该食品在 0 的保鲜时间是 192 小时，在 22 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 的保鲜时间是_小时.答案 24解析 由题意得eb192，e22kb48，e22k 4819214，e11k12，当 x33 时，ye33kb(e11k)3eb1819224.本题易错点有二：一是指数式的运算 e22kbe22keb 能否正确运用
12、；二是利用 e11k12整体代换的技巧而求解本题.2 真题自检感悟 PART TWO 1.(2018浙江高考)函数 y2|x|sin2x 的图象可能是()答案 D解析 令 yf(x)2|x|sin2x，f(x)2|x|sin(2x)2|x|sin2xf(x)，所以 f(x)为奇函数，排除 A，B；当 x(0，)时，2|x|0，sin2x 可正可负，所以 f(x)可正可负，排除 C.故选 D.2.(2018全国卷)已知 f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足 f(1x)f(1x)若 f(1)2，则 f(1)f(2)f(3)f(50)()A.50 B0 C2 D50答案 C解析 因为f(x)是定义
13、域为(，)的奇函数，且f(1x)f(1x)所以 f(1x)f(x1)，所以 f(3x)f(x1)f(x1)，所以 T4，因此 f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)，因为 f(3)f(1)，f(4)f(2)，所以 f(1)f(2)f(3)f(4)0，因为 f(2)f(2)f(2)，所以 f(2)0，从而 f(1)f(2)f(3)f(50)f(1)2，选 C.3.(2019全国卷)已知 f(x)是奇函数，且当 x0，则x0.当 x0，函数f(x)x22axa，x0，x22ax2a，x0.若关于 x 的方程 f(x)ax 恰有 2 个互异的实数解，则
14、 a 的取值范围是_.答案(4,8)解析 令 g(x)f(x)axx2axa，x0，x2ax2a，x0.依题意，方程 f(x)ax 恰有 2 个互异实数解，等价于 g(x)0 恰有 2 个互异实数解.又因为 g(x)xa22aa24，x0，xa22a24 2a，x0，其中 a0，所以只需aa24 0，a24 2a0，a24 2a0，易解得 4a8.3 专题作业 PART THREE 一、选择题1.(2019全国卷)设 f(x)为奇函数，且当 x0 时，f(x)ex1，则当 x0时，f(x)()A.ex1 Bex1C.ex1 Dex1答案 D解析 当 x0，当 x0 时，f(x)ex1，f(x)
15、ex1.又f(x)为奇函数，f(x)f(x)ex1.故选 D.2.(2019华南师大附中一模)给出下列四个函数：f(x)2x2x；f(x)xsinx；f(x)log33x3x；f(x)|x3|x3|.其中是奇函数的编号为()A.BC.D答案 B解析 对于，f(x)2x2x(2x2x)f(x)，所以是奇函数；对于，f(x)(x)sin(x)xsinxf(x)，所以是偶函数；对于，f(x)log33x3xlog33x3xf(x)，所以是奇函数；对于，f(x)|x3|x3|x3|x3|(|x3|x3|)f(x)，所以是奇函数故选 B.3.函数 f(x)ln(x1)1x的一个零点所在的区间是()A.(
16、0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)解析 f(1)ln 210，函数 f(x)ln(x1)1x的零点所在的区间是(1,2)故选 B.答案 B4.在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量浓度(单位：mol/L，记作H)和氢氧根离子的物质的量浓度(单位：mol/L，记作OH)的乘积等于常数 1014.已知 pH 值的定义为 pHlg H，健康人体血液的pH 值保持在 7.357.45 之间(包含 7.35 和 7.45)，那么健康人体血液中的 HOH可以为()(参考数据：lg 20.30，lg 30.48)A.12 B.13 C.16 D.110答案 C解析 设健康人体血液的pH值
17、为x(7.35x7.45)，则根据pHlg H可得H10 x.又HOH1014，所以健康人体血液中的 HOHH21014102x101410142x100.9,100.7因为 lg 20.30，lg 30.48，所以 lg 6lg 2lg 30.78，所以 lg 16lg 60.78，所以16100.78.结合 100.78100.9,100.7可知健康人体血液中的 HOH可以为16.故选 C.5.(2017全国卷)函数 f(x)在(，)单调递减，且为奇函数若 f(1)1，则满足1f(x2)1 的 x 的取值范围是()A.2,2 B1,1C.0,4 D1,3答案 D解析 f(x)为奇函数，f(
18、x)f(x)f(1)1，f(1)f(1)1.故由1f(x2)1，得 f(1)f(x2)f(1)又 f(x)在(，)单调递减，1x21，1x3.故选 D.6.(2017天津高考)已知奇函数 f(x)在 R 上是增函数，g(x)xf(x)若 ag(log25.1)，bg(20.8)，cg(3)，则 a，b，c 的大小关系为()A.abcBcbaC.bacDbca答案 C解析 依题意 ag(log25.1)(log25.1)f(log25.1)log25.1f(log25.1)g(log25.1).因为 f(x)在 R 上是增函数，可设 0 x1x2，则 0f(x1)f(x2).从而 x1f(x1)
19、x2f(x2)，即 g(x1)g(x2).所以 g(x)在(0，)上亦为增函数.又 log25.10,20.80,30，且 log25.1log283,20.8213，而 20.821log24log25.1，所以 3log25.120.80，所以 cab.故选 C.7.(2019河北武邑中学调研)已知函数 f(x)x2ln|x|x，则函数 yf(x)的大致图象为()答案 A解析 由题意可知函数的定义域为(，0)(0，)，函数 f(x)x2ln|x|x，f(x)x2ln|x|x，即 f(x)f(x)，函数 f(x)为非奇非偶函数，排除 B 和 C，当 x1e时，f1e e2e0，排除 D，故选
20、 A.8.(2019辽宁部分重点高中联考)已知函数 f(x)为定义在3，t2上的偶函数，且在3,0上单调递减，则满足 f(x22x3)fx2t5 的 x 的取值范围是()A.(1，)B(0,1C.(1，2 D0，2答案 C解析 因为函数 f(x)为定义在3，t2上的偶函数，所以3t20，t5，所以函数 f(x)为定义在3,3上的偶函数，且在3，0上单调递减，所以 f(x22x3)fx2t5 等价于f(x22x3)x213,112时，log|a|x2，且|a|12，1，log|a|122，|a|212，则|a|22，又 a12，22 a12.11.已知函数 f(x)|x|2x12(x0)，则由题
21、意可得方程 h(x)g(x)(x(0，)有解，即方程 2x12log2(xa)(x(0，)有解，作出函数 y2x12，ylog2(xa)的图象如图，当 a0时，两个图象在(0，)上必有交点，符合题意；当 a0 时，若两个图象在(0，)上有交点，则 log2a12，0a 2，综上可得 a 2，故选 A.12.某海上油田 A 到海岸线(近似直线)的垂直距离为 10 海里，垂足为 B，海岸线上距离 B 处 100 海里有一原油厂 C，现计划在 BC 之间建一石油管道中转站 M.已知海上修建石油管道的单位长度费用是陆地上的 3 倍，要使从油田 A 处到原油厂 C 修建管道的费用最低，则中转站 M到 B
22、处的距离应为()A.5 2海里B.5 22 海里C.5 海里D10 海里答案 B解析 设中转站 M 到 B 处的距离为 x 海里，修造管道的费用为 y，陆地上单位长度修建管道的费用为 a，依题意，ya(3 x2102100 x)，0 x100，则 y3122xx21001 a3xx21001 a.令 y0，得 3xx2100，解得 x5 22.当 x5 22 时，y 取得最小值.二、填空题13.若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间0，)上是单调递增函数如果实数 t 满足 f(ln t)fln 1t 2f(1)，那么 t 的取值范围是_.答案 1e，e解析 由于函数 f(x)是定义
23、在 R 上的偶函数，所以 f(ln t)fln 1t，由 f(ln t)fln 1t 2f(1)，得 f(ln t)f(1).又函数 f(x)在区间0，)上是单调递增函数，所以|ln t|1，即1ln t1，故1ete.14.(2018江苏高考)函数 f(x)满足 f(x4)f(x)(xR)，且在区间(2,2上，f(x)cos2x，0 x2，x12，2x0，则 ff(15)的值为_.答案 22解析 由 f(x4)f(x)得函数 f(x)的周期为 4，所以 f(15)f(161)f(1)112 12，因此 ff(15)f12 cos4 22.15.(2018全国卷)函数 f(x)cos3x6 在0，的零点个数为_.答案 3解析 0 x，63x6196.由题可知，当 3x62，3x632，或 3x652 时，f(x)0.解得 x9，49，或79.故函数 f(x)cos3x6 在0，上有 3 个零点.16.(2018浙江高考改编)已知 R，函数 f(x)x4，x，x24x3，x.若函数 f(x)恰有 2 个零点，则 的取值范围是_.答案(1,3(4，)解析 令 f(x)0，当 x 时，x4.当 x 时，x24x30，则 x1或 x3.若函数 f(x)恰有 2 个零点，结合如图函数的图象知，14.本课结束
