1、章末整合提升 知识网络建构 专题归纳整合 章末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 专题一 专题二 专题三 专题一 三角函数式的化简 三角函数的化简,主要有以下几类:(1)对三角的和式,基本思路是降幂、消项和逆用公式;(2)对三角的分式,基本思路是分子与分母的约分和逆用公式,最终变成整式或数值;(3)对二次根式,则需要运用倍角公式的变形形式.在具体过程中体现的则是化归的思想,是一个“化异为同”的过程,涉及切弦互化,即“函数名”的“化同”;角的变换,即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等具体手段.章末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 专题一 专题二 专题三【例 1】已知 0 x2,化
2、简:lg costan+1-2sin2 2+lg 2cos -4 -lg(1+sin 2x)=.答案:0解析:原式=lg(sin x+cos x)+lg(sin x+cos x)-lg(sin x+cos x)2=0.章末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 专题一 专题二 专题三 迁移应用1(2014福建高考,理16)已知函数f(x)=cos x(sin x+cos x)-.(1)若0 ,且sin=,求f()的值;(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.22212章末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 专题一 专题二 专题三 解法一:(1)因为 02,sin=22,所以 cos=2
3、2.所以 f()=22 22+22 12=12.(2)因为 f(x)=sin xcos x+cos2x-12=12sin 2x+1+cos2 212=12sin 2x+12cos 2x=22 sin 2+4,所以 T=22=.由 2k-22x+42k+2,kZ,得 k-38 xk+8,kZ.所以 f(x)的单调递增区间为-38,+8,kZ.章末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 专题一 专题二 专题三 解法二:f(x)=sin xcos x+cos2x-12=12sin 2x+1+cos2 212=12sin 2x+12cos 2x=22 sin 2+4.(1)因为 02,sin=22,所以
4、=4,从而 f()=22 sin 2+4=22 sin34=12.(2)T=22=.由 2k-22x+42k+2,kZ,得 k-38 xk+8,kZ.所以 f(x)的单调递增区间为-38,+8,kZ.章末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 专题一 专题二 专题三 专题二 三角函数式的求值 三角函数求值主要有三种类型,即(1)“给角求值”,一般给出的角都是非特殊角,观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系,如和或差为特殊角,必要时运用诱导公式;(2)“给值求值”,即给出某些角的三角函数式的值,求另外一些三角函数的值,这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角,合理拆、配角.要注意角的范围;(3)
5、“给值求角”,本质上还是“给值求值”,只不过往往求出的是特殊角的值,在求出角之前还需结合函数的单调性确定角,必要时还要讨论角的范围.章末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 专题一 专题二 专题三【例 2】求值:sin 50(1+3tan 10).解:方法一:原式=sin 50 1+3sin10 cos10 =sin 50co s10+3sin10 cos10=sin 502 12cos10+32 sin10 cos10=sin 502sin40 cos10=cos 402sin40 cos10 =sin80 cos10=1.方法二:原式=sin 50(1+tan 60tan 10)=sin
6、50tan60-tan10 tan50=cos 50(tan 60-tan 10)=cos 50 sin60 cos10-cos60 sin10 cos60 cos10 =cos50 sin50 cos60 cos10=sin50 cos50 12cos10=sin100 cos10=1.章末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 专题一 专题二 专题三 迁移应用 2 sin2 002sin2 008-cos6 sin2 002cos2 008+sin6 的值是()A.-1tan28 B.1tan28 C.-tan 28D.tan 28答案:A解析:原式=sin2 002sin2 008-co
7、s(2 008-2 002)sin2 002cos2 008+sin(2 008-2 002)=-cos2 008cos2 002sin2 008cos2 002=-cos28 sin28=-1tan28,故选 A.章末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 专题一 专题二 专题三【例 3】已知 tan=4 3,cos(+)=-1114,且,均为锐角,求 cos 的值.解:,均为锐角,0+.又 cos(+)=-1114,sin(+)=1-1114 2=5 314.又 tan=4 3,sin2=sin2sin2+co s2=tan2tan2+1=4849.sin=4 37.cos=1-sin2=1
8、7.cos=cos(+)-=cos(+)cos+sin(+)sin=-1114 17+5 314 4 37=12.章末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 专题一 专题二 专题三 迁移应用 3 已知 tan2+6tan+7=0,tan2+6tan+7=0,(0,),且,求+的值.解:由题意知 tan,tan 是方程 x2+6x+7=0 的两根,由根与系数的关系得 tan+tan=-6,tantan=7,则 tan(+)=tan+tan 1-tan tan =-61-7=1.由知 tan 0,tan 0.,(0,),2,2.+2.又 tan(+)=1,+=54.章末整合提升 知识网络构建 专题归
9、纳整合 专题一 专题二 专题三 专题三 三角恒等变换的综合应用 三角函数的图象和性质是三角函数的重要内容.如果给出的三角函数的表达式较为复杂,我们必须先通过三角恒等变换,将三角函数的表达式变形化简,然后根据化简后的三角函数,讨论其图象和性质.(1)求三角函数的值域、单调区间、图象变换、周期性、对称性等问题,一般先要通过三角恒等变换将函数表达式变形为y=Asin(x+)+k或y=Acos(x+)+k等形式,让角和三角函数名称尽量少,然后再根据正、余弦函数基本性质和相关原理进行求解.(2)要注意三角恒等变换中由于消项、约分、合并等原因导致函数定义域发生一些变化,所以一定要在变换前确定好原三角函数的
10、定义域并在这个定义域内分析问题.(3)有时会以向量为背景出题,综合考查向量、三角恒等变换、三角函数知识.章末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 专题一 专题二 专题三【例 4】已知函数 f(x)=-2sin2x+2 3sin xcos x+1.(1)求 f(x)的最小正周期及对称中心;(2)若 x-6,3,求 f(x)的最大值和最小值.解:(1)f(x)=3(2sin xcos x)+(1-2sin2x)=3sin 2x+cos 2x=2sin 2+6,f(x)的最小正周期为 T=22=.令 sin 2+6=0,即 2x+6=k,kZ,则 x=2 12,kZ.f(x)的对称中心为 2-12,
11、0,kZ.(2)x-6,3,-62x+6 56.-12sin 2+6 1.-1f(x)2.当 x=-6时,f(x)有最小值为-1;当 x=6时,f(x)有最大值为 2.章末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 专题一 专题二 专题三 迁移应用 4 已知函数 f(x)=cos xcos-3.(1)求 f 23 的值;(2)求使 f(x)14成立的 x 的取值集合.解:(1)f 23 =cos23 cos3=-cos3cos3=-12 2=-14.章末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 专题一 专题二 专题三(2)f(x)=cos xcos-3=cos x 12 cos+32 sin=12cos2x+32 sin xcos x=14(1+cos 2x)+34 sin 2x=12cos 2-3+14.f(x)14等价于12cos 2-3+14 14,即 cos 2-3 0.于是 2k+22x-32k+32,kZ,解得 k+512xk+1112,kZ.故使 f(x)14成立的 x 的取值集合为 +512 +1112,Z.
