1、-1-本章整合-2-本章整合 网络构建 专题探究 圆与方程 圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹方程 标准方程:(-)2+(-)2=2(0)一般方程:2+2+=0(2+2-4 0)位置关系 点与圆 点在圆外:点到圆心的距离大于半径点在圆上:点到圆心的距离等于半径点在圆内:点到圆心的距离小于半径直线与圆 相离:圆心到直线的距离大于半径相切:圆心到直线的距离等于半径相交:圆心到直线的距离小于半径圆与圆 相离:圆心距大于两圆半径的和外切:圆心距等于两圆半径的和外交:圆心距小于两圆半径的和且大于两圆半径的差的绝对值内切:圆心距等于两圆半径的差的绝对值内含:圆心距小于两圆半径的差的绝对值应用:
2、坐标法解决平面几何问题三步曲一建、二算、三译空间直角坐标系 点的坐标:过点分别向坐标轴作垂线即可得到两点间的距离公式:|12|=(1-2)2+(1-2)2+(1-2)2-3-本章整合 专题探究 网络构建 专题一 专题二 专题三 专题一 求圆的方程求圆的方程主要是联系圆系方程、圆的标准方程和一般方程,利用待定系数法解题.一般地,当已知圆的圆心或半径的几何特征时,设圆的标准方程并结合圆的几何性质求解;当已知圆上三个点时,设圆的一般方程;当所求圆经过直线与圆、圆与圆的交点时,常利用圆系方程来解答.过两圆交点的圆系过两个已知圆 x2+y2+D1x+E1y+F1=0 和 x2+y2+D2x+E2y+F2
3、=0 的交点的圆系方程为 x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(-1).(*)方程(*)是一个圆系的方程,这些圆的圆心都在两圆的连心线上,圆系方程代表的圆不包含圆 x2+y2+D2x+E2y+F2=0.当=-1 时,(*)表示一条直线:(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.(*)若两圆相交,则方程(*)是它们的公共弦所在直线的方程;若两圆相切,则方程(*)就是它们的公切线方程.过直线与圆的交点的圆系方程过已知直线 l:Ax+By+C=0 和圆 C:x2+y2+Dx+Ey+F=0 的交点的圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By
4、+C)=0.-4-本章整合 专题探究 网络构建 专题一 专题二 专题三 例 1 求圆心在直线 3x+4y-1=0 上,且经过两圆 x2+y2-x+y-2=0 与x2+y2=5 的交点的圆的方程.思路分析:可先用待定系数法设出过两圆交点的圆系方程,再由圆心在已知直线上确定出系数;也可以先求出两圆交点坐标,再设出圆的一般方程,结合圆心在已知直线上求出待定系数.解法一:设所求圆为 x2+y2-x+y-2+(x2+y2-5)=0,化为一般式,得 x2+y2-11+x+11+y-2+51+=0.故圆心坐标为 12(1+),-12(1+),代入直线 3x+4y-1=0,得=-32.再把 代回所设方程,得
5、x2+y2+2x-2y-11=0,故所求圆的方程为 x2+y2+2x-2y-11=0.-5-本章整合 专题探究 网络构建 专题一 专题二 专题三 解法二:解方程组 2+2-+-2=0,2+2=5,得两圆的交点为 A(1,-2)和 B(2,-1).设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0.A,B 在圆上,且圆心-2,-2 在直线 3x+4y-1=0 上,5+-2+=0,5+2-+=0,3 -2+4 -2-1=0.解得 =2,=-2,=-11.所求圆的方程是 x2+y2+2x-2y-11=0.-6-本章整合 专题探究 网络构建 专题一 专题二 专题三 专题二 直线与圆、圆与圆的位置关系1.
6、直线与圆的位置关系是高考考查的重点,切线问题更是重中之重,判断直线与圆的位置关系以几何法为主,解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程.2.解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征,利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系,以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题.-7-本章整合 专题探究 网络构建 专题一 专题二 专题三 例 2 如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4 和圆 C2:(x-4)2+(y-5)2=4.(1)若直线 l 过点 A(4,0),且被圆 C1 截得的弦长为 2 3,求直线 l 的方程;(2)
7、设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1和 l2,它们分别与圆 C1 和圆 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2被圆 C2 截得的弦长相等,试求所有满足条件的点 P 的坐标.-8-本章整合 专题探究 网络构建 专题一 专题二 专题三 解:(1)由于直线 x=4 与圆 C1 不相交,所以直线 l 的斜率存在.设直线 l 的方程为 y=k(x-4),圆 C1 的圆心到直线 l 的距离为 d,因为直线 l 被圆 C1 截得的弦长为 2 3,所以 d=22-(3)2=1.由点到直线的距离公式得 d=|1-(-3-4)|1+2,从而 k(24k+7
8、)=0,即 k=0 或 k=-724,所以直线 l 的方程为 y=0 或 7x+24y-28=0.(2)设点 P(a,b)满足条件,不妨设直线 l1 的方程为 y-b=k(x-a),k0,则直线l2 的方程为 y-b=-1(x-a).因为圆 C1 和圆 C2 的半径相等,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2被圆 C2 截得的弦长相等,所以圆 C1 的圆心到直线 l1 的距离和圆 C2 的圆心到直线 l2 的距离相等,即|1-(-3-)-|1+2=5+1(4-)-1+12,-9-本章整合 专题探究 网络构建 专题一 专题二 专题三 整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|
9、,从而 1+3k+ak-b=5k+4-a-bk 或 1+3k+ak-b=-5k-4+a+bk,即(a+b-2)k=b-a+3 或(a-b+8)k=a+b-5.因为 k 的取值范围有无穷多个,所以 +-2=0,-+3=0或 -+8=0,+-5=0,解得 =52,=-12或 =-32,=132.这样点 P 只可能是 52,-12 或 -32,132 .经检验点 P 满足题目条件.-10-本章整合 专题探究 网络构建 专题一 专题二 专题三 专题三 数学思想方法1.数形结合思想“数形结合”是把代数中的“数”与几何上的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法,是人们一种普遍思维习惯在数学上
10、的具体表现.数形结合一般包括两个方面,即以“形”助“数”,以“数”解“形”.解析几何研究问题的主要方法坐标法,就是体现数形结合的典范.-11-本章整合 专题探究 网络构建 专题一 专题二 专题三 例 3 已知实数 x,y 满足 y=3-2,试求代数式(1)+1+3;(2)2x+y 的取值范围.解:(1)如图所示,y=3-2化为 x2+y2=3(y0),表示的图形为半圆弧,+1+3的几何意义为定点 A(-3,-1)与半圆弧上任意一点 M(x,y)的连线的斜率.利用数形结合法可知kAB+1+3kAC.又B(3,0),kAB=-1-0-3-3=3-36,设直线AC 的方程为 y+1=k(x+3),即
11、 kx-y+3k-1=0.直线 AC 与半圆相切,|3-1|1+2=3,即 3k2-3k-1=0,解得 k=3+216或 3-216(舍去).kAC=3+216.3-36+1+3 3+216.-12-本章整合 专题探究 网络构建 专题一 专题二 专题三(2)如图所示,2x+y 可以看作直线 2x+y=b 与半圆有交点时的纵截距,当直线 2x+y=b 过点 D(-3,0)时,b 取得最小值,bmin=-2 3;当直线 2x+y=b 与半圆相切时 b 取得最大值.由|5=3,得 b=15,b=-15不合题意,舍去,bmax=15.-2 32x+y 15.综上可知,代数式+1+3的取值范围是 3-3
12、6,3+216,2x+y 的取值范围是-2 3,15.-13-本章整合 专题探究 网络构建 专题一 专题二 专题三 2.分类讨论思想分类讨论思想是中学数学的基本方法之一,是历年高考的重点.其实质就是整体问题化为部分问题来解决,化成部分问题后,从而增加了题设的条件.在用二元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆时要分类讨论,在求直线的斜率问题,用斜率表示直线方程时要分类讨论.例 4 求半径为 4,与圆 x2+y2-4x-2y-4=0 相切,且和直线 y=0 相切的圆的方程.解:由题意,所求圆与直线 y=0 相切且半径为 4,则圆心坐标 O1(a,4)或O1(a,-4).又已知圆 x2+y2-4x-2y-4=0 的圆心 O2 坐标为(2,1),半径为 3,(1)若两圆内切,则|O1O2|=4-3=1,即(a-2)2+(4-1)2=12 或(a-2)2+(-4-1)2=12,两方程都无解.(2)若两圆外切,则|O1O2|=4+3=7,即(a-2)2+(4-1)2=72,有 a=22 10或(a-2)2+(-4-1)2=72,有 a=22 6.所求圆的方程为(x-2-2 10)2+(y-4)2=16 或(x-2+2 10)2+(y-4)2=16 或(x-2-2 6)2+(y+4)2=16 或(x-2+2 6)2+(y+4)2=16.
