1、北京市四中2011-2012学年上学期高二年级期末测验数学试卷（文科）（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）卷（I）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 1. 抛物线的焦点坐标为A. （1，0）B. （0，1）C. （2，0）D. （0，2） 2. 若为异面直线，直线，则与的位置关系是A. 相交B. 异面C. 平行D. 异面或相交 3. 设条件甲为“”，条件乙为“”，则甲是乙的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 4. 若双曲线的离心率为2，则等于A. 2B. C. D. 1 5. 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积
2、是A. 2B. 1C. D. 6. 已知ABC的顶点B，C均在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC边上，则ABC的周长是A. B. 6C. D. 12 7. 过点（2，4），与抛物线有且仅有一个公共点的直线有A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条 8. 双曲线的一个焦点是（0，3），那么的值是A. 1B. 1C. D. 9. 已知直线和平面，在下列命题中真命题是A. 若内有无数多条直线垂直于内的一条直线，则B. 若内有不共线的三点到的距离相等，则C. 若是两条相交直线，则D. 若 10. 过抛物线的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p的
3、值是A. 2B. 4C. D. 11. 在正方体中，P是侧面内一动点，若点P到直线BC的距离与点P到直线的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是A. 直线B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线 12. 直线与曲线有公共点，则的取值范围是A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 13. 一个圆柱的侧面展开图是一个边长为1的正方形，则该圆柱的体积是_。 14. 已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是_。 15. 已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M，若圆M的面积为，则球O的表面积等于_。 16
4、. 已知椭圆的两焦点为，点满足，则的取值范围为_，直线与椭圆C的公共点个数是_。三、解答题：本大题共2小题，每小题12分，共24分 17. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，APAB，BPBC2，E，F分别是PB，PC的中点。（1）证明：EF平面PAD；（2）求三棱锥EABC的体积V。 18. 已知椭圆的右焦点为（3，0），离心率为。（1）求椭圆的方程。（2）设直线与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段，的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，求的值。卷（II）一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 1. 已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点（
5、0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为A. B. 3C. D. 2. 长方体的8个顶点在同一球面上，且AB2，AD，则顶点A，B间的球面距离是A. B. C. D. 3. 若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为A. 2B. 3C. 6D. 8二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 4. 若正四面体的棱长为，则其体积是_。 5. 已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且，则C的离心率为_。 6. 自半径为R的球面上一点P引球的两两垂直的弦PA、PB、PC，则_。三、解答题：本大题共2小题，每小题10
6、分，共20分 7. 已知直三棱柱中，ABAC，ABAC，D，E，F分别为的中点。（1）求证：DE平面ABC；（2）求证：平面AEF。 8. 设，椭圆方程为，抛物线方程为，如图所示，过点F（0，）作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点。（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）。【试题答案】卷（I）112 CDADBCBACADB 13. 14. 15. 16. ；0 17. 解：（1）在P
7、BC中，E，F分别是PB，PC的中点，EFBC，又BCAD，EFAD，EF平面PAD。（2）连接AE，AC，EC，过E作EGPA交AB于点G，则BG平面ABCD，且。在PAB中，ADAB，BP2，APAB，EG。，。 18. 解：（1）由题意得，得。结合，解得，。所以，椭圆的方程为。（2）由，得。设，则，依题意，OMON，易知，四边形为平行四边形，所以，因为，所以。即，解得。卷（II）13 ACB 4. ；5. 6. 7. （1）取的中点G，则DGAB，EGAC，所以平面GDE平面ABC，所以DG平面ABC。（2）连结AF，则AF平面。，所以平面AEF。 8. 解：（1）由得，当得，G点的坐标为（4，），法一：，与抛物线联立，0，解得；法二：由椭圆方程得点的坐标为（，0），根据抛物线光学性质，即，即椭圆和抛物线的方程分别为和；（2）过A作轴的垂线与抛物线只有一个交点P，以PAB为直角的RtABP只有一个，同理，以PBA为直角的RtABP只有一个。若以APB为直角，设P点坐标为（），A、B两点的坐标分别为和（，0），关于的二次方程有一大于等于1的解，有两解，即以APB为直角的RtABP有两个，因此抛物线上存在四个点使得ABP为直角三角形。
