1、北京市2016年高三综合能力测试数学试卷（理科）（3月份）（解析版）一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1设复数z满足（1+i）z=2，则z的共轭复数=（）A1iB1+iC1iD1+i2已知圆C：（xa）2+（yb）2=1过点A（1，0），则圆C的圆心的轨迹是（）A点B直线C线段D圆3执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A1Blog2Clog2Dlog234已知数列an满足a1=10，且2an+1=2an3，若akak+10，则正整数k=（）A6B7C8D95一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与俯视图均是半径为1的圆，则这个
2、几何体的表面积是（）ABC3D46已知直线a平面，直线b平面，则“ab”是“a”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7已知单位向量，满足2=2，设，若x，y满足，则|的最小值是（）ABC1D8某电子设备的锁屏图案设计的如图1所示，屏幕解锁图案的设计规划如下：从九个点中选择一个点为起点，手指依次划过某些点（点的个数在1到9个之间）就形成了一个路线图（线上的点只有首次被划到时才起到确定线路的作用，即第二次划过的点不会成为确定折线的点，如图1中的点P，线段AB尽管过P，但是由A、B两点确定），这个线路图就形成了一个屏幕解锁图案，则图2所给线路图中可以成为屏幕解锁图案
3、的个数是（）A0B1C2D3二、填空题（共6个小题，每一个小题5分，共30分）9北京铁路局针对今年春运客流量进行数据整理，调查北京西站从2月4日到2月8日的客流量，根据所得数据画出了五天中每日客流量的频率分布图，为了更详细地分析不同时间的客流人群，按日期用分层抽样的方法抽样，若从2月7日这个日期抽取了40人，则一共抽取的人数为10已知f（x）=其中a1，若方程f（x）=2有两个解，则实数a的取值范围是11在（x2）5的展开式中，x的系数为12在极坐标系中，已知O为极点，曲线C的极坐标方程为2=，点M是曲线C上的动点，则|OM|的最大值为13若x，y满足，则2x+y的取值范围为14已知f（x）=
4、Asin（2x+），其中A0（1）若xR，使f（x+a）f（x）=2A成立，则实数a的最小值是；（2）若A=1，则f（x+）f（x）的最大值为三、解答题（共6个小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15如图，在ABC中，cosB=，BC=7，点D在边AB上，且BD=3（）求DC的长；（）若A=45，求AC16目前很多朋友都加入了微信群，大多数群成员认为有思想的群不仅仅是群里的人转发与主题有关的网页文章，而且群成员这间还有文字或语音的交流，因此规定为“群健康度”，为此群主统计了一年的群里的聊天记录（假定该群由群主同意邀请，也无插入广告），并将聊天记录中的网页类型分享和文字语音聊
5、天内容进行了分类统计，并按照“群健康度”制作了分析趋势图如图，假定“群健康度”小于20%为群氛围优良，“群健康度”大于30%为群氛围不合理（）若从此群主统计的一年里，随机选取一个月，求该月群氛围不合理的概率；（）现群主随机选择从1月至12月的某一个月开始分析，连续分析两个月，设X表示2个月中群氛围优良的个数，求X的分布列与数学期望；（）请你简述该群在这一年里的群氛围变化的情况17在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，PA平面ABCD，PA=4（）设平面PAB平面PCD=m，求证：CDm；（）求证：BD平面PAC；（）设点Q为线段PB上一点，且直线QC与平面PAC所成角的正弦值为，求的值18
6、已知函数f（x）=extlnx（）若x=1是f（x）的极值点，求t的值，并讨论f（x）的单调性；（）当t2时，证明：f（x）019已知点A（2，1）为椭圆G：x2+2y2=m上的一点（）求椭圆G的焦点坐标；（）若椭圆G上的B，C两点满足2k1k2=1（其中k1，k2分别为直线AB，AC的斜率）证明：B，C，O三点共线20定义是一个三位数，其中各数位上的数字a，b，c0，1，2，3，4，5，6，7，8，9且不全相同，定义如下运算f：把的三个数字a，b，c自左到右分别由大到小排列和由小到大排列（若非零数字不足三位则在前面补0），然后用“较大数”减去“较小数”，例如：f（100）=100001099
7、，f（102）=2100.12198，如下定义一个三位数序列：第一次实施运算f的结果记为，对于n1且nN，将的三个数字中的最大数字与最小数字的差记为dn（）当=636时，求，及d2的值；（）若d1=6，求证：当n1时，dn=5；（）求证：对任意三位数，n6时， =4952016年北京市高三综合能力测试数学试卷（理科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1设复数z满足（1+i）z=2，则z的共轭复数=（）A1iB1+iC1iD1+i【分析】利用复数的除法化简求解复数，即可得到共轭复数【解答】解：复数z满足（1
8、+i）z=2，可得z=1i则z的共轭复数=1+i故选：D【点评】本题考查复数的基本运算，复数的基本概念的应用，是基础题2已知圆C：（xa）2+（yb）2=1过点A（1，0），则圆C的圆心的轨迹是（）A点B直线C线段D圆【分析】A代入圆C：（xa）2+（yb）2=1，即可求出圆C的圆心的轨迹【解答】解：圆C：（xa）2+（yb）2=1过点A（1，0），（1a）2+（0b）2=1，（a1）2+b2=1，圆C的圆心的轨迹是以（1，0）为圆心，1为半径的圆故选：D【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，比较基础3执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A1Blog2C
9、log2Dlog23【分析】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=log2+log2+log2+log2的值，利用对数的运算法则计算即可得解【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=0，n=2n=3，M=，S=log2不满足条件n5，n=4，M=，S=log2+log2，不满足条件n5，n=5，M=，S=log2+log2+log2，不满足条件n5，n=6，M=，S=log2+log2+log2+log2，满足条件n5，退出循环，输出S=log2+log2+log2+log2=log2（）=log2故选：C【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了对数的运算，属于基础题4已
10、知数列an满足a1=10，且2an+1=2an3，若akak+10，则正整数k=（）A6B7C8D9【分析】利用2an+1=2an3，判断数列an是等差数列，求出数列的通项，确定其正数项，即可得到结论【解答】解：因为2an+1=2an3，所以an+1an=，所以数列an是首项为10，公差为的等差数列，所以an=10（n1），由an=10（n1）0，得n7，所以使akak+10的k值为7，故选：B【点评】本题考查等差数列的判定，考查数列的通项，考查学生的计算能力，属于基础题5一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与俯视图均是半径为1的圆，则这个几何体的表面积是（）ABC3D4【分析】由三视图可知
11、：该几何体为一个球的即可得出【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个球的这个几何体的表面积=412+12=4故选：D【点评】本题考查了球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6已知直线a平面，直线b平面，则“ab”是“a”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】直线a平面，直线b平面，若a，则ab；反之不成立【解答】解：直线a平面，直线b平面，若a，则ab；反之不成立“ab”是“a”的必要不充分条件故选：B【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、空间位置关系的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7已知单位向量，满足2=2，设，若x，y满
12、足，则|的最小值是（）ABC1D【分析】由题意可得2=1，从而化简可得=x2+y2+xy，结合不等式组，不妨设x+y=a，（a1）时有最小值，从而利用二次函数求解即可【解答】解：单位向量，满足2=2，2=1，=x2+y2+2xy=x2+y2+xy，不妨设x+y=a，（a1）时有最小值，则=x2+y2+xy=x2+（ax）2+x（ax）=x2ax+a2=（x）2+a2，故当x=，此时y=时，有最小值a2，故|的最小值是=，故选：B【点评】本题考查了平面向量的应用及二次函数的综合应用，同时考查了不等式组的应用8某电子设备的锁屏图案设计的如图1所示，屏幕解锁图案的设计规划如下：从九个点中选择一个点为
13、起点，手指依次划过某些点（点的个数在1到9个之间）就形成了一个路线图（线上的点只有首次被划到时才起到确定线路的作用，即第二次划过的点不会成为确定折线的点，如图1中的点P，线段AB尽管过P，但是由A、B两点确定），这个线路图就形成了一个屏幕解锁图案，则图2所给线路图中可以成为屏幕解锁图案的个数是（）A0B1C2D3【分析】根据屏幕解锁图案的设计规则即可得出结论【解答】解：根据屏幕解锁图案的设计规则：从九个点中选择一个点为起点，手指依次划过某些点（点的个数在1到9个之间）就形成了一个线路图（线上的点只有首次被划到时才起到确定线路的作用，即第二次划的点不会成为确定折线的点，得知只有一种方法可以解锁屏
14、幕，根据，的信息，可得，只有一种使其唯一确定，有多种，故选：C【点评】本题考查学生进行合情推理的能力，考查学生对新题型的解答能力，属于中档题二、填空题（共6个小题，每一个小题5分，共30分）9北京铁路局针对今年春运客流量进行数据整理，调查北京西站从2月4日到2月8日的客流量，根据所得数据画出了五天中每日客流量的频率分布图，为了更详细地分析不同时间的客流人群，按日期用分层抽样的方法抽样，若从2月7日这个日期抽取了40人，则一共抽取的人数为200【分析】利用频率分布直方图的纵坐标是频率除以组距；利用频数等于频率乘以样本容量，求出应抽的人数【解答】解：2月7日这个日期的客流量的频率0.20，因为从2
15、月7日这个日期抽取了40人，所以一共抽取的人数为=200，故答案为：200【点评】本题考查频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距、考查频数等于频率乘以样本容量10已知f（x）=其中a1，若方程f（x）=2有两个解，则实数a的取值范围是a1【分析】根据分段函数的表达式，结合对数函数的性质，利用对数函数的图象和性质进行求解即可【解答】解：若0a1，则当x0时，函数f（x）=1ax为减函数，此时函数的最小值为1，存在一个根x使f（x）=2成立，当x0时，f（x）=loga（x+1）为减函数，此时f（x）0，方程f（x）=2无解，综上方程f（x）=2只有一个解，不满足条件若a1，则当x0时，函数f（
16、x）=1ax为减函数，此时函数的最小值为1，存在一个根x使f（x）=2成立，当x0时，f（x）=loga（x+1）为增函数，此时f（x）0，方程f（x）=2有一个解，综上方程f（x）=2有两个解，满足条件综上a1，故答案为：a1【点评】本题主要考查根的个数的判断和应用，利用分段函数的表达式，结合对数函数的单调性是解决本题的关键11在（x2）5的展开式中，x的系数为10【分析】根据题意，可得（x2）5的通项为Tr+1，令x的幂指数等于1，可得r=3，将r=3代入通项可得x的系数【解答】解：根据二项式定理（x2）5的通项为Tr+1=C5r（x）102r（）r=（1）rC5r（x）103r，令103
17、r=1，可得r=3，将r=3代入通项公式，可得含x项的系数为：（1）3C53=10，故答案为：10【点评】本题考查二项式定理的运用，注意二项式系数与某一项的系数的区别12在极坐标系中，已知O为极点，曲线C的极坐标方程为2=，点M是曲线C上的动点，则|OM|的最大值为2【分析】由题意可得|OM|=，再根据正弦函数的值域求得它的最大值【解答】解：曲线C的极坐标方程为2=，点M是曲线C上的动点，则|OM|=，故当sin=0时，|OM|取得最大值为2，故答案为：2【点评】本题主要考查极坐标方程中，极坐标的意义，求函数的最值，属于基础题13若x，y满足，则2x+y的取值范围为0，3【分析】画出满足条件的
18、平面区域，求出角点的坐标，令z=2x+y，得y=2x+z，显然直线过（0，0）时，z最小是0，直线过A（1，1）时，从而得到答案【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，令z=2x+y，得y=2x+z，显然直线过（0，0）时，z最小是0，直线过A（1，1）时，z最大，z的最大值是3，故答案为：0，3【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题14已知f（x）=Asin（2x+），其中A0（1）若xR，使f（x+a）f（x）=2A成立，则实数a的最小值是；（2）若A=1，则f（x+）f（x）的最大值为1【分析】（1）根据正弦函数的图象和性质可得f（x+a）=A，f（x
19、）=A，故a的最小值为f（x）的半周期（2）使用和角公式化简，利用三角函数的性质得出最大值【解答】解：（1）f（x）的最大值为A，最小值为A，f（x+a）f（x）=2A，f（x+a）=A，f（x）=A，a的最小值为f（x）的半周期f（x）的周期T=，a的最小值为（2）f（x+）=sin（2x+），f（x）=sin（2x+）f（x+）f（x）=sin（2x+）sin（2x+）=sin（2x+）+cos（2x+）sin（2x+）=cos（2x+）sin（2x+）=cos（2x+）f（x+）f（x）的最大值为1故答案为，1【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质，三角函数的恒等变换，属于中档题三、解答
20、题（共6个小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15如图，在ABC中，cosB=，BC=7，点D在边AB上，且BD=3（）求DC的长；（）若A=45，求AC【分析】（）在DBC中，由余弦定理可得DC2=BD2+BC22BDBCcosB，代值计算可得；（）由同角三角函数基本关系可得sinB，由正弦定理可得AC=，代值计算可得【解答】解：（）在DBC中，由余弦定理可得DC2=BD2+BC22BDBCcosB=32+72237=25，DC=5；（）在ABC中，由cosB=可得sinB=，由正弦定理可得AC=【点评】本题考查正余弦定理解三角形，属基础题16目前很多朋友都加入了微信群，
21、大多数群成员认为有思想的群不仅仅是群里的人转发与主题有关的网页文章，而且群成员这间还有文字或语音的交流，因此规定为“群健康度”，为此群主统计了一年的群里的聊天记录（假定该群由群主同意邀请，也无插入广告），并将聊天记录中的网页类型分享和文字语音聊天内容进行了分类统计，并按照“群健康度”制作了分析趋势图如图，假定“群健康度”小于20%为群氛围优良，“群健康度”大于30%为群氛围不合理（）若从此群主统计的一年里，随机选取一个月，求该月群氛围不合理的概率；（）现群主随机选择从1月至12月的某一个月开始分析，连续分析两个月，设X表示2个月中群氛围优良的个数，求X的分布列与数学期望；（）请你简述该群在这一
22、年里的群氛围变化的情况【分析】（）设从此群主统计的一年里，随机所选月份的群氛围不合理为事件A，利用等可能事件概率计算公式能出该月群氛围不合理的概率（）X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列与数学期望（）该群的“群健康度”从图表中看出，群氛围在前半年良好，而后半年越不越不合理【解答】解：（）设从此群主统计的一年里，随机所选月份的群氛围不合理为事件A，则P（A）=（）X的可能取值为0，1，2，连续两个月中均为群氛围优良的为：（1，2），（2，3），（5，6），连续两个月均为群氛围不是优良的为：（7，8），（10，11），（11，12），则P（X=2）=，P（X=1）=，
23、P（X=0）=，X的分布列为： X 0 1 2 PE（X）=1（）该群的“群健康度”从图表中看出，在前半年的“群健康度”保持不错水平，在后几个月有上扬的趋势，说明群氛围在前半年良好，而后半年越不越不合理【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意图表的合理运用17在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，PA平面ABCD，PA=4（）设平面PAB平面PCD=m，求证：CDm；（）求证：BD平面PAC；（）设点Q为线段PB上一点，且直线QC与平面PAC所成角的正弦值为，求的值【分析】（）利用平行四边形的性质和平行线的传递性即可找出两个平
24、面的交线并且证明结论；（）利用已知条件先证明BDAC，再利用线面垂直的性质定理和判定定理即可证明；（）通过结论空间直角坐标系，利用法向量与斜线所成的角即可找出Q点的位置【解答】解：（）如图所示，过点B作BMPA，并且取BM=PA，连接PM，CM四边形PABM为平行四边形，PMAB，ABCD，PMCD，即PM为平面PAB平面PCD=m，mCD（）在RtBAD和RtADC中，由勾股定理可得BD=，AC=ABDC，OD2+OC2=4=CD2，OCOD，即BDAC；PA底面ABCD，PABDPAAC=A，BD平面PAC（）建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（4，0，0），D（0，0）
25、，C（2，0），P（0，0，4），设，则Q（4，0，44），由（2）可知为平面PAC的法向量=，直线QC与平面PAC所成角的正弦值为，=，化为12=7，解得=【点评】熟练掌握平行四边形的性质、平行线的传递性、线面垂直的性质定理和判定定理及法向量与斜线所成的角是解题的关键18已知函数f（x）=extlnx（）若x=1是f（x）的极值点，求t的值，并讨论f（x）的单调性；（）当t2时，证明：f（x）0【分析】（I）由x=1是函数f（x）的极值点，可得f（1）=0，进而可得t=1，求得导函数，进而可由导函数的符号与函数单调性的关系，可得函数f（x）的单调性；（）当t2，x（0，+）时，设g（x）=e
26、x2lnx，g（x）=ex2，根据函数单调性及零点定理可知存在x0（1，2）使得g（x0）=0，在x=x0取极小值也是最小值，即g（x）g（x0），lnx0=2x0，根据函数的单调性可知g（x0）=0，即可证明f（x）0【解答】解：（）由函数f（x）的定义域（0，+），因为f（x）=ext，x=1是f（x）的极值点，所以f（1）=e1t1=0，所以t=1，所以f（x）=ex1，因为y=ex1和y=，在（0，+）上单调递增，所以f（x）在（0，+）上单调递增，当x1时，f（x）0；0x1时，f（x）0，此时，f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+），（）证明：当t2时，f（x
27、）=extlnxex2lnx，设g（x）=ex2lnx，则g（x）=ex2，因为y=ex2和y=，在（0，+）上单调递增，所以g（x）在（0，+）上单调递增，因为g（1）=10，g（2）=1=0，所以存在x0（1，2）使得g（x0）=0，所以在（0，x0）上使得g（x）0，在（x0，+）上g（x）0，所以g（x）在（0，x0）单调递减，在（x0，+）上单调递增，所以g（x）g（x0），因为g（x0）=0，即ex02=，所以lnx0=2x0，所以g（x0）=ex02lnx0=+x02，因为x0（1，2），所以g（x0）=+x0222=0，所以f（x）0【点评】本题考查利用导数求函数的单调性及极值
28、，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题19已知点A（2，1）为椭圆G：x2+2y2=m上的一点（）求椭圆G的焦点坐标；（）若椭圆G上的B，C两点满足2k1k2=1（其中k1，k2分别为直线AB，AC的斜率）证明：B，C，O三点共线【分析】（）由点A（2，1）为椭圆G：x2+2y2=m上的一点，求出m，由此能求出椭圆G的焦点坐标（）由，得26=0，由此利用韦达定理能推导出y1=y2，从而能证明B、C、O三点共线【解答】解：（）点A（2，1）为椭圆G：x2+2y2=m上的一点，m=4+2=6，椭圆的标准方程为，c=，椭圆G的焦点坐标为（，0）和（，0）（）设B（x1，y1），C（x2，y2），由
29、，消去y，化简，得：26=0，同理得，2k1k2=1，=x1，2k1k2=2=1，y1=y2，B、C、O三点共线【点评】本题考查椭圆的焦点坐标的求法，考查三点共线的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用20定义是一个三位数，其中各数位上的数字a，b，c0，1，2，3，4，5，6，7，8，9且不全相同，定义如下运算f：把的三个数字a，b，c自左到右分别由大到小排列和由小到大排列（若非零数字不足三位则在前面补0），然后用“较大数”减去“较小数”，例如：f（100）=100001099，f（102）=2100.12198，如下定义一个三位数序列：第一次实施运算f的结果记为，对于n1
30、且nN，将的三个数字中的最大数字与最小数字的差记为dn（）当=636时，求，及d2的值；（）若d1=6，求证：当n1时，dn=5；（）求证：对任意三位数，n6时， =495【分析】（）利用新定义之间通过=636时，求解，及d2的值；（）不妨设，anbncn，推出f（）=dn99，若d1=6，得到=f（）=699=495，可得d2=5，然后利用数学归纳法证明当n1时，dn=5；（）数字a，b，c0，1，2，3，4，5，6，7，8，9且不全相同，三个数字中的最大数字与最小数字的差记为d，推出d1=，dn+1=，dn5，6，7，8，9，证明对任意三位数，n6时， =495【解答】解：（）当=636时
31、， =663366297，=972279693d2=6；（）不妨设，anbncn，则f（）=（an100+bn10+cn）（cn100+bn10+an）=（ancn）99=dn99，若d1=6，则=f（）=699=495，可得d2=94=5，所以n=2时成立，假设n=k（k1）时成立，即dk=5，则=f（）=dk99=495，dk+1=94=5综上：当n1时，dn=5；（）数字a，b，c0，1，2，3，4，5，6，7，8，9且不全相同，三个数字中的最大数字与最小数字的差记为d，则d1，2，3，4，5，6，7，8，9， =f（）=，所以a1=d1，b1=9，c1=10d，所以d1=，所以d15，6，7，8，9，同理： =f（）=dk99=，所以an+1=dn1，bn+1=9，cn+1=10dn，所以dn+1=，dn5，6，7，8，9，当n5时，dn=5，所以n6时，n6时， =dn+199=599=495【点评】本题考查归纳推理，数学归纳法的应用，数列与函数的关系，考查分析问题解决问题的能力
