1、保温卷一 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分共 150 分，考试时间 120 分钟第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合 Ax|1x2，xN，集合 B2,3，则 AB 等于()A1,0,1,2,3 B0,1,2,3C1,2,3 D2答案 B解析 因为集合 Ax|1x2，xN0,1,2，B2,3，所以 AB0,1,2,32设 i 为虚数单位，复数 z 满足(1 3i)z(3i)2，则共轭复数 z的虚部为()A.3i B 3i C.3 D 3解 析 (1 3 i)z (3 i)2 2 23 i，z 2
2、1 3i1 3i 21 3i21 3i1 3i1 3i，z1 3i，复数 z的虚部为 3.答案 C3设 a，b 为非零向量，则“ab”是“a 与 b 方向相同”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案 B解析 因为 a，b 为非零向量，所以 ab 时，a 与 b 方向相同或相反，因此“ab”是“a 与 b 方向相同”的必要而不充分条件4函数 f(x)2x3x 的零点所在的一个区间是()A(2，1)B(1,0)C(0,1)D(1,2)解析 易知函数 f(x)2x3x 在定义域上单调递增且连续，且 f(2)2260，f(1)2130，所以由零点存在性定理得
3、，零点所在的区间是(1,0)答案 B5执行如图所示的程序框图，则输出 x 的值为()A2 B13 C.12 D3答案 A解析 x12，当 i1 时，x13；i2 时，x2；i3 时，x3；i4 时，x12，即 x 的值周期性出现，周期数为 4，201850442，输出 x 的值为2.6已知实数 x，y 满足约束条件xy20，x2y20，x1，则目标函数 zy2x1的最小值为()A23 B54 C43 D12答案 B解析 作出不等式组对应的平面区域如图，则目标函数 zy2x1的几何意义为动点 M(x，y)到定点 D(1，2)的斜率，当 M 位于 A1，12 时，DA 的斜率最小，此时 zmin1
4、2211 54.7数列an中，a12，且 anan1nanan12(n2)，则数列1an12前 2019 项和为()A.40362019 B.20191010 C.40372019 D.40392020答案 B解析 anan1nanan12(n2)，a2na2n12(anan1)n，整理得(an1)2(an11)2n，(an1)2(a11)2n(n1)2，又 a12，(an1)2nn12，可得1an122nn121n 1n1.则数列1an12 的前 2019 项和为 21121213 12019 12020 21 12020 20191010.8下列四个图中，函数 yln|x1|x1 的图象可
5、能是()答案 C解析 yln|x|x 是奇函数，其图象向左平移 1 个单位所得图象对应的函数解析式为 yln|x1|x1，yln|x1|x1 的图象关于(1，0)中心对称，故排除A，D，当 x2 时，y0 恒成立故选 C.9某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A72 B120 C144 D168答案 B解析 解法一：先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品 1，小品 2，相声”，“小品 1，相声，小品 2”和“相声，小品 1，小品 2”对于第一种情况，形式为“，小品
6、1，歌舞 1，小品 2，相声，”，有 A22C13A2336(种)安排方法；同理，第三种情况也有 36 种安排方法，对于第二种情况，其形式为“，小品1，相声，小品 2，”有 A22A3448 种安排方法，故共有 363648120 种安排方法解法二：先不考虑小品类节目是否相邻，保证歌舞类节目不相邻的排法共有 A33A34144(种)，再剔除小品类节目相邻的情况，共有 A33A22A2224(种)，于是符合题意的排法共有 14424120(种)10已知在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，ABBC，AA12AB，则 CD与平面 BDC1 所成角的正弦值等于()A.23 B.33 C.23 D
7、.13答案 A解析 设 ACBDO，连接 OC1，过 C 点作 CHOC1 于点 H，连接 DH.BDAC，BDAA1，ACAA1A，AC，AA1平面 ACC1A1，BD平面 ACC1A1，又 CH平面 ACC1A1，BDCH，又 CHOC1，BDOC1O，BD，OC1平面 C1BD，CH平面 C1BD，则CDH 为 CD 与平面 BDC1 所成的角，设 AA12AB2，则 OC1 CC21OC242223 22，由等面积法得 OC1CHOCCC1，代入得 CH23，sinCDHCHCD23.11已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F(c,0)圆 C：(xc)2y21 上所有
8、点都在椭圆 E 的内部，过椭圆上任一点 M 作圆 C 的两条切线，A，B 为切点，若AMB，3，2，则椭圆 C 的离心率为()A2 2B32 2C.32 2D.21答案 B解析 如图可知，当且仅当点 M 为椭圆的左顶点时，AMB 最小，即AM1B3，在 RtAM1C 中，|AC|1，AM1C6，则|M1C|ac2，同理，当点 M 为椭圆的右顶点时，AMB 最大，可得|M2C|ac 2，解得 a2 22，c2 22，离心率 eca32 2，故选 B.12已知函数 f(x)ln xx2 与 g(x)(x2)2122xm(mR)的图象上存在关于(1,0)对称的点，则实数 m 的取值范围是()A(，1
9、ln 2)B(，1ln 2C(1ln 2，)D1ln 2，)答案 D解析 函数 f(x)ln xx2 与 g(x)(x2)2122xm(mR)的图象上存在关于(1,0)对称的点，f(x)g(2x)有解，ln xx2x2 12xm 在(0，)上有解，即 mln x 12x在(0，)上有解，令 h(x)ln x 12x，则 h(x)2x12x2，x0，h(x)在0，12 上单调递减，在12，上单调递增，h(x)minh12 ln 121，mln 1211ln 2.第卷本卷包括必考题和选考题两部分第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：
10、本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13已知平面向量 a，b 满足(ab)(2ab)4，且|a|2，|b|4，则 a与 b 的夹角为_答案 3解析 由题意可得(ab)(2ab)2a2b2ab816ab4，解得 ab4，设 a 与 b 的夹角为，所以 cos ab|a|b|12，又因为 0，所以 3.14已知数列 a1，a2a1，a3a2，anan1，是首项为 1，公差为1 的等差数列，则数列an的通项公式为_答案 annn12(nN*)解析 a1，a2a1，a3a2，anan1，是首项为 1，公差为 1 的等差数列，当 n2 时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)nn1
11、2，又a11 满足上式，annn12(nN*)15在三棱锥 DABC 中，ABBCDBDC1，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为_答案 73解析 在三棱锥 DABC 中，当且仅当 AB平面 BCD 时，三棱锥体积达到最大，此时，设外接球的半径为 R，外接球的球心为 O，点 F 为BCD 的中心，则有 R2OB2OF2BF2122332 712，所以表面积 S4R273.16已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 A2B，则bcab2 的最小值是_答案 3解析 由 A2B 及正弦定理可得，bcab2sinBsinABsinAsinB2sinBsinB2B2sinBcos
12、BsinB2sinBsinBcos2BcosBsin2B4cos2B1cos2B2cos2B4cos2B14cos2B14cos2B113AB3B180，则0B60，12cosB0，当且仅当14cos2B14cos2B1，即 cosB 22，即 B45时取等号所以bcab2 的最小值为 3.三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分 12 分)已知等差数列an满足 a66a3，且 a31 是 a21，a4 的等比中项(1)求数列an的通项公式；(2)设 bn1anan1(nN*)，数列bn的前 n 项和为 Tn，求使 Tn17成立的最大正整数 n 的值解(1
13、)设等差数列an的公差为 d，a6a33d6，即 d2，a31a13，a21a11，a4a16，a31 是 a21，a4 的等比中项，(a31)2(a21)a4，即(a13)2(a11)(a16)，解得 a13.数列an的通项公式为 an2n1.(2)由(1)得 bn1anan112n12n31212n112n3.Tnb1b2bn121315151712n112n3 121312n3 n32n3，由n32n317，得 n9.使得 Tnb0)的左顶点为 M(2,0)，离心率为 22.(1)求椭圆 C 的方程；(2)过点 N(1,0)的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，当MA MB 取得最大
14、值时，求MAB 的面积解(1)由题意可得 a2，ca 22，得 c 2，则 b2a2c22.所以椭圆 C：x24y221.(2)当直线 l 与 x 轴重合时，不妨取 A(2,0)，B(2,0)，此时MA MB 0；当直线 l 与 x 轴不重合时，设直线 l 的方程为 xty1，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立xty1，x24y221得(t22)y22ty30，显然 0，y1y2 2tt22，y1y2 3t22.所以MA MB(x12)(x22)y1y2(ty13)(ty23)y1y2(t21)y1y23t(y1y2)9(t21)3t223t 2tt2293t236t2t2299t2
15、3t22 9 15t22.当 t0 时，MA MB 取最大值152.此时直线 l 方程为 x1，不妨取 A1，62，B1，62，所以|AB|6.又|MN|3，所以MAB 的面积 S12 633 62.21(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)14x412ax2，aR.(1)当 a1 时，求曲线 f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)设函数 g(x)(x22x2a)exef(x)，其中 e2.71828是自然对数的底数，讨论 g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值解(1)由题意 f(x)x3ax，所以当 a1 时，f(2)2，f(2)6，因此曲线 yf(x)在点(2，f(2
16、)处的切线方程是 y26(x2)，即 6xy100.(2)因为 g(x)(x22x2a)exef(x)，所以 g(x)(2x2)ex(x22x2a)exef(x)(x2a)exe(x3ax)(x2a)(exex)，令 h(x)exex，则 h(x)exe，令 h(x)0 得 x1，当 x(，1)时，h(x)0，h(x)单调递增，所以当 x1 时，h(x)minh(1)0，也就说，对于xR 恒有 h(x)0.当 a0 时，g(x)(x2a)h(x)0，g(x)在(，)上单调递增，无极值；当 a0 时，令 g(x)0，可得 x a.当 x a时，g(x)(x2a)h(x)0，g(x)单调递增，当
17、ax a时，g(x)0 时，g(x)在(，a)和(a，)上单调递增，在(a，a)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值为 g(a)(2 a2)eae4a2，极小值为 g(a)(2 a2)eae4a2.请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号22(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是xt，yt1(t 为参数)，曲线 C 的参数方程是x22cos，y2sin(为参数)，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求直线 l 和曲线 C 的极坐标方程；(2)已知射线 OP：
18、1其中02 与曲线 C 交于 O，P 两点，射线 OQ：22与直线 l 交于 Q 点，若OPQ 的面积为 1，求 的值和弦长|OP|.解(1)直线 l 的普通方程为 xy10，极坐标方程为 cossin10，曲线 C 的普通方程为(x2)2y24，极坐标方程为 4cos.(2)依题意，0，2，|OP|4cos，|OQ|1sin2 cos21sincos，SOPQ12|OP|OQ|2coscossin1，tan1，0，2，4，|OP|2 2.23(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲设函数 f(x)|x1|，g(x)|x2|.(1)解不等式 f(x)g(x)2；(2)对于实数 x，y，若 f(x)1，g(y)1，求证：|x2y1|5.解(1)令 y|x1|x2|，则 y32x，x1，1，1x2，2x3，x2，作出函数 y|x1|x2|的图象(如图)，它与直线 y2 的交点为12，2 和52，2.所以 f(x)g(x)2 的解集为12，52.(2)证明：因为|x2y1|(x1)2(y1)|x1|2|(y2)1|x1|2(|y2|1)f(x)2g(y)25，所以|x2y1|5.本课结束
