1、第2讲 新定义型、创新型、应用型试题突破 第二编 讲专题专题八 数学文化与创新应用考情研析 本讲内容主要考查学生的阅读理解能力，信息迁移能力，数学探究能力以及创造性解决问题的能力高考中一般会以选择题的形式出现，分值 5 分，题目新而不难，备考时要高度重视1 核心知识回顾 PART ONE 1.新定义型问题“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解对于此类题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，
2、掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝2创新型问题创新型试题在命题的立意，背景的取材，情境的设置，设问的方式等方面新颖灵活，解题时要注意进行文字阅读训练，培养从冗长的或不熟悉的问题情境中获取重要信息的能力，加强数学语言符号语言图形语言相互转换的能力训练，善于把不熟悉的问题转化为熟悉的问题来加以解决3实际应用型问题将实际问题抽象为数学问题，此类问题往往含有文字语言、符号语言、图表语言，要明确题中已知量与未知量的数学关系，要理解生疏的情境、名词、概念，将实际问题数学化，将现实问题转化为数学问题，构建数学模型，运用恰当的数学方法解模(如借助不等式、导数等工具加以解决)2 热点考向探究 PART TWO
3、 考向 1新定义型问题例 1(1)(2019北京市顺义区高三第二次统练)已知集合 M(x，y)|yf(x)，若对于(x1，y1)M，(x2，y2)M，使得 x1x2y1y20 成立，则称集合 M 是“互垂点集”给出下列四个集合：M1(x，y)|yx21；M2(x，y)|yln x；M3(x，y)|yex；M4(x，y)|ysinx1其中是“互垂点集”集合的为()AM1 BM2 CM3 DM4答案 D解析 设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)是曲线上的两点，对于集合 M1，当 x10 时，y11，x1x2y1y2y2x2210 不成立，所以集合 M1 不是“互垂点集”对于集合 M2，x0，当
4、 x11 时，y10，x1x2y1y2x20 不成立，所以集合 M2 不是“互垂点集”对于集合 M3，当 x10 时，y11，x1x2y1y2y2e x20 不成立，所以集合 M3 不是“互垂点集”排除 A，B，C.故选D.(2)若函数 yf(x)的图象上存在两个点 A，B 关于原点对称，则称点对A，B为 yf(x)的“友情点对”，点对A，B与B，A可看作同一个“友情点对”，若函数 f(x)2，x0 时，f(x)x36x29xa，则f(x)x36x29xa，即x36x29xa2(x0)有两个实数根，即 ax36x29x2(x0)有两个实数根画出 yx36x29x2(x1，x2y21，0 x1，
5、0y1，作出满足不等式组的可行域，如图中阴影部分所示，依题意有10236041211，解得 4715.(2)(2019重庆模拟)古典著作连山易中记载了金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为()A.23 B.25 C.12 D.15答案 C解析 本题考查古典概型和排列组合依题意，从 5 种物质中任取 2 种，共有 C2510 种选法，根据相生相克原理，可知恰有 5 种选法具有相克关系，故恰是相克关系的概率为 P12，故选 C.高中数学创新试题呈现的形式是多样化的，但是考查的知识和能力并没有太大的变化，解决创新型问题应
6、注意三点：认真审题，确定目标；深刻理解题意；开阔思路，发散思维，运用观察、比较、类比、猜想等进行合情推理，以便为逻辑思维定向方向确定后，又需借助逻辑思维，进行严格推理论证，这两种推理的灵活运用，两种思维成分的交织融合，便是处理这类问题的基本思想方法和解题策略1把数列12n1 的所有数按照从大到小的原则写出如图所示的数表，第k 行有 2k1 个数，第 t 行的第 s 个数(从左数起)记为 A(t，s)，则数列12n1 中的项 1287应记为_113 1517 19 111 113115 117 119 129 答案 A(8,17)解析 令 2n1287n144 1287是数列12n1 的第 14
7、4 项，由 S727121 127A(8,17)2(2019南充市高三第一次高考适应性考试)在实数的原有运算法则(“”“”仍为通常的乘法和减法)中，我们补充定义新运算“”如下：当 ab 时，aba；当 a1，2x2x2，x2x2，所以 f(x)x2x1，x3212，可求出当 x1 时，函数的最大值是1；当 1x2 时，函数的最大值是6.所以当 x2,2时，函数 f(x)(1x)x(2x)的最大值等于 6，选 C.考向 3实际应用型问题例 3(1)小明在如图 1 所示的跑道上匀速跑步，他从点 A 出发，沿箭头方向经过点 B 跑到点 C，共用时 30 s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的
8、过程，设小明跑步的时间为 t(s)，他与教练间的距离为 y(m)，表示 y 与 t 的函数关系的图象大致如图 2 所示，则这个固定位置可能是图 1 中的()A点 M B点 N C点 PD点 Q答案 D解析 由题图 2 可知固定位置到点 A 距离大于到点 C 距离，所以舍去 N，M 两点，不选 B，A；若是 P 点，则从最高点到点 C 依次递减，与图 2 矛盾，因此取 Q，即选 D.(2)(2019湖南六校联考)生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为 f(x)12x22x20(万元)，商品的售价是每件 20 元，为获取最大利润(利润收入成本)，该
9、企业一个月应生产该商品的数量为()A9 万件B18 万件C22 万件D36 万件答案 B解析 由题意可得，获得最大利润时的收入是 20 x 万元，成本是12x22x20，所以此时的利润为 M20 x12x22x20 12x218x2012(x18)2142142，当且仅当 x18 时，取最大值故选 B.1(2019全国卷)2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 L2 点的轨道运行L2 点是
10、平衡点，位于地月连线的延长线上设地球质量为 M1，月球质量为 M2，地月距离为 R，L2 点到月球的距离为 r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：M1Rr2M2r2(Rr)M1R3.设 rR.由于 的值很小，因此在近似计算中333451233，则 r 的近似值为()A.M2M1RB.M22M1RC.3 3M2M1 RD.3M23M1R答案 D解析 由 rR得 rR，代入M1Rr2M2r2(Rr)M1R3，整理得3334512M2M1.又333451233，33M2M1，3M23M1，rR3M23M1R.故选 D.2某网店是一家以销售袜子为主的店铺，该网店月销量 L(x)(单位：千双
11、)是关于销售单价 x(单位：元)的函数已知销售单价不低于 1 元当月销售量最少为 0.205 千双时，该店才会正常营业，否则会亏本停业；当销售单价为 20 元时，月销售量恰好可以保证该店正常营业；当销售单价不超过 4 元时，月销售量为 2.125 千双研究表明：当 4x20 时，月销售量 L(x)与销售单价 x 的函数关系为 L(x)ax2b(a，b 为常数)记月销售额(单位：千元)为 f(x)xL(x)，为使 f(x)达到最大值，则销售单价 x 应为()A1 元 B2 元 C3 元 D4 元答案 D解析 由题得，当 1x4 时，L(x)2.125；当 x20 时，L(x)0.205；当 4x
12、20 时，L(x)ax2b(a，b 为常数)，则L42.125，L200.205，即 a42b2.125，a202b0.205，解得a32，b18，所以 L(x)32x218，故函数 L(x)的表达式为L(x)2.125，1x4，32x218，4x20.故 f(x)xL(x)2.125x，1x4，32x x8，4x20.当 1x4 时，f(x)为增函数，故当 x4 时，f(x)的最大值为 8.5；当 43，故选 B.3(2019上海市嘉定(长宁)区高三二模)对于ABC，若存在A1B1C1，满足cosAsinA1cosBsinB1cosCsinC11，则称ABC 为“V 类三角形”“V 类三角形
13、”一定满足()A有一个内角为 30 B有一个内角为 45C有一个内角为 60 D有一个内角为 75答案 B解析 由对称性，不妨设 A1 和 B1 为锐角，则 A12A，B12B，所以 A1B1(AB)C，于是 cosCsinC1sin(A1B1)sinC，即 tanC1，解得 C45，故选 B.4(2019北京高考)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 C：x2y21|x|y 就是其中之一(如图)给出下列三个结论：曲线 C 恰好经过 6 个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 2；曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于 3.其中，所有正确结论的序号
14、是()A B C D答案 C解析 由 x2y21|x|y，当 x0 时，y1；当 y0 时，x1；当 y1 时，x0，1.故曲线 C 恰好经过 6 个整点：A(0,1)，B(0，1)，C(1,0)，D(1,1)，E(1,0)，F(1,1)，所以正确由基本不等式，当 y0 时，x2y21|x|y1|xy|1x2y22，所以 x2y22，所以 x2y2 2，故正确如图，由知长方形 CDFE 面积为 2，三角形 BCE 面积为 1，所以曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于 3，故错误故选 C.5(2019江苏高考)定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M-数列”(1)已知等比数列an(nN*)
15、满足：a2a4a5，a34a24a10，求证：数列an为“M-数列”；(2)已知数列bn(nN*)满足：b11，1Sn 2bn 2bn1，其中 Sn 为数列bn的前 n 项和求数列bn的通项公式；设 m 为正整数若存在“M-数列”cn(nN*)，对任意正整数 k，当km 时，都有 ckbkck1 成立，求 m 的最大值解(1)证明：设等比数列an的公比为 q，所以 a10，q0.由a2a4a5，a34a24a10，得a21q4a1q4，a1q24a1q4a10，解得a11，q2.因此数列an为“M-数列”(2)因为 1Sn 2bn 2bn1，所以 bn0.由 b11，S1b1，得1121 2b
16、2，则 b22.由 1Sn 2bn 2bn1，得 Snbnbn12bn1bn.当 n2 时，由 bnSnSn1，得 bnbnbn12bn1bnbn1bn2bnbn1，整理得 bn1bn12bn.所以数列bn是首项和公差均为 1 的等差数列因此，数列bn的通项公式为 bnn(nN*)由知，bkk，kN*.因为数列cn为“M-数列”，设公比为 q，所以 c11，q0.因为 ckbkck1，所以 qk1kqk，其中 k1,2,3，m(mN*)当 k1 时，有 q1；当 k2,3，m 时，有ln kk ln q ln kk1.设 f(x)ln xx(x1)，则 f(x)1ln xx2.令 f(x)0，
17、得 xe.列表如下：因为ln 22 ln 86 b，abb，ab，a，ab，若正数 a，b，c，d 满足 ab4，cd4，则()Aab2，cd2 Bab2，cd2Cab2，cd2 Dab2，cd2答案 C解析 不妨设 ab，cd，则 abb，cdc.若 b2，则 a2，ab2，则 d2，cd4，与 cd4矛盾，c2.故 cd2.故选 C.5某班级有一个学生 A 在操场上绕圆形跑道逆时针方向匀速跑步，每52 秒跑完一圈，当学生 A 开始跑步时，在教室内有一个学生 B，往操场看了一次，以后每 50 秒他都往操场看一次，则该学生 B“感觉”到学生 A 的运动是()A逆时针方向匀速前跑 B顺时针方向匀
18、速前跑C顺时针方向匀速后退 D静止不动答案 C解析 令操场的周长为 C，则学生 B 每隔 50 秒看一次，学生 A 都距上一次学生 B 观察的位置 C26(弧长)，并在上一次位置的后面，故学生 B“感觉”到学生 A 的运动是顺时针方向匀速后退的6对函数 f(x)，如果存在 x00 使得 f(x0)f(x0)，则称(x0，f(x0)与(x0，f(x0)为函数图象的一组奇对称点若 f(x)exa(e 为自然对数的底数)存在奇对称点，则实数 a 的取值范围是()A(，1)B(1，)C(e，)D1，)答案 B解析 由题意可知，函数存在奇对称点，即函数图象上存在两点关于原点对称，可设两点为 P(x1，y
19、1)，Q(x2，y2)，即 y1ex1a，y2e x2a，因为关于原点对称，所以 e x1ae x2a，即 2ae x1e x22e x1e x22 e02，因为 x1x2，所以 a1，故选 B.7若存在正实数 a，b，使得xR 有 f(xa)f(x)b 恒成立，则称 f(x)为“限增函数”给出以下三个函数：f(x)x2x1；f(x)|x|；f(x)sin(x2)，其中是“限增函数”的是()A B C D答案 B解析 对于，f(xa)f(x)b 即(xa)2(xa)1x2x1b，即2axa2ab，xa2ab2a对一切 xR 恒成立，显然不存在这样的正实数 a，b.对于，f(x)|x|，即|xa
20、|x|b，|xa|x|b22b|x|，而|xa|x|a，|x|a|x|b22b|x|，则|x|ab22b，显然，当 ab2 时式子恒成立，f(x)|x|是“限增函数”对于，f(x)sin(x2)，1f(x)sin(x2)1，故 f(xa)f(x)2，当 b2 时，对于任意的正实数 a，b 都成立故选 B.8某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入若该公司 2017 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是()(lg 20.3，lg 1.30.11，lg 1.120.05)A2018 年B20
21、19 年C2020 年D2021 年答案 D解析 设从 2017 年后第 n 年该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元，由已知得 130(112%)n200，1.12n200130，两边取常用对数得 nlg 1.12lg 200130，nlg 2lg 1.3lg 1.120.30.110.053.8，n4，故选 D.9(2019湖南省宁乡一中、攸县一中高三联考)微信运动是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号用户可以通过关注微信运动公众号查看自己每天或每月行走的步数，同时也可以和其他用户进行运动量的 PK 或点赞加入微信运动后，为了让自己的步数能领先于朋友，人们运动的积极性明显增强，
22、下面是某人 2018 年 1 月至 2018 年 11 月期间每月跑步的平均里程(单位：十公里)的数据，绘制了下面的折线图根据折线图，下列结论正确的是()A月跑步平均里程的中位数为 6 月份对应的里程数B月跑步平均里程逐月增加C月跑步平均里程高峰期大致在 8,9 月D1 月至 5 月的月跑步平均里程相对于 6 月至 11 月，波动性更小，变化比较平稳答案 D解析 根据折线图得中位数为 5 月份对应的里程数；月跑步平均里程在2 月、7 月、8 月、11 月减少，月跑步平均里程高峰期大致在 9 月，10 月；1月至 5 月的月跑步平均里程相对于 6 月至 11 月，波动性更小，变化比较平稳，故选
23、D.二、填空题10国家规定个人稿费纳税办法是：不超过 800 元的不纳税；超过 800元而不超过 4000 元的按超过 800 元部分的 14%纳税；超过 4000 元的按全部稿酬的 11%纳税已知某人出版一本书，共纳税 420 元，则这个人应得稿费(扣税前)为_元答案 3800解析 设扣税前应得稿费为 x 元，则应纳税额为分段函数，由题意，得 y0，0 x800，x80014%，8004000.如果稿费为 4000 元应纳税为 448 元，现知，某人共纳税 420 元，稿费应在 8004000 元之间，(x800)14%420，x3800.11(2019北京市东城区高三综合练习)设 A，B
24、是 R 上的两个子集，对任意 xR，定义：m0，xA，1，xA，n0，xB，1，xB.若 AB，则对任意 xR，m(1n)_；若对任意 xR，mn1，则 A，B 的关系为_答案 0 ARB解析 AB.则当 xA 时，m0，m(1n)0.当 xA 时，必有 xB，mn1，m(1n)0.综上可得 m(1n)0.对任意 xR，mn1，则 m，n 的值一个为 0，另一个为 1，即当 xA 时，必有 xB 或 xB 时，必有 xA，A，B 的关系为 ARB.12(2019濮阳市高二下学期升级考试)某工程由 A，B，C，D 四道工序组成，完成它们需用时间依次为 2,5，x,4 天，四道工序的先后顺序及相互
25、关系是：A，B 可以同时开工；A 完成后，C 可以开工；B，C 完成后，D 可以开工若完成该工程共需 9 天，则完成工序 C 需要的天数最大是_答案 3解析 A 完成后，C 才可以开工；B，C 完成后，D 才可以开工，完成 A，C，D 需用时间依次为 2，x,4 天，且 A，B 可以同时开工，又该工程共需 9 天，2xmax49xmax3.13(2019湖州三校普通高等学校招生全国统一模拟考试)已知函数 f(x)2x，x0，x24x，x0，则 ff(1)_，若实数 abc，且 f(a)f(b)f(c)，则 abc 的取值范围是_答案 4(2,4解析 ff(1)f(21)484，因为 abc，且
26、 f(a)f(b)f(c)，所以2a0b2c，bc4，因此 abca4(2,414如图，在直角梯形 ABCD 中，ABBC，ADBC，ABBC12AD1，点 E 是线段 CD 上异于点 C，D 的动点，EFAD 于点 F，将DEF 沿EF 折起到PEF 的位置，并使 PFAF，则五棱锥 PABCEF 的体积的取值范围为_答案 0，13解析 PFEF，PFAF，EFAFF，PF平面 ABCEF，设 DFx(0 x1)，则 EFx，FA2x，SABCEFSABCDSDEF12(12)112x212(3x2)，五棱锥 PABCEF 的体积 V(x)1312(3x2)x16(3xx3)，V(x)12(1x2)0，得 x1 或 x1(舍去)，当 0 x0，V(x)单调递增，故 V(0)V(x)V(1)，即 V(x)的取值范围是0，13，故答案为0，13.本课结束
