1、14.4 函数的连续性及极限的应用巩固夯实基础 一、自主梳理 1.函数的连续性 一般地，函数f(x)在点x=x0处连续必须满足下面三个条件: (1)函数f(x)在点x=x0处有定义；(2)f(x)存在；(3)f(x)=f(x0).如果函数y=f(x)在点x=x0处及其附近有定义，而且f(x)=f(x0),就说函数f(x)在点x0处连续. 2.如果f(x)是闭区间a,b上的连续函数，那么f(x)在闭区间a,b上有最大值和最小值. 3.若f(x)、g(x)都在点x0处连续,则f(x)g(x),f(x)g(x),(g(x)0)也在点x0处连续.若u(x)在点x0处连续,且f(u)在u0=u(x0)处
2、连续,则复合函数fu(x)在点x0处也连续.链接提示 (1)连续必有极限,有极限未必连续. (2)从运算的角度来分析,连续函数在某一点处的极限运算与函数关系“f”是可以交换顺序的. 二、点击双基1.f(x)在x=x0处连续是f(x)在x=x0处有定义的_条件.( )A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要解析:f(x)在x=x0处有定义不一定连续.答案:A2.定义f(-1)使函数f(x)=在x=-1处连续,则( )A.f(-1)=1 B.f(-1)=-1 C.f(-1)=2 D.f(-1)=-2解析:f(x)=(1-x)=2.答案:C3.四个函数:f(x)=；g(x)=s
3、inx；f(x)=|x|；f(x)=ax3+bx2+cx+d.其中在x=0处连续的函数是_.(把你认为正确的代号都填上)答案:4.若函数f(x)=在定义域内连续,则c=_.解析:f(x)=-2+c,f(x)=5,f(-1)=-2+c. f(x)在定义域内连续,-2+c=5.c=7.答案:7诱思实例点拨【例1】 (1)讨论函数f(x)=在点x=0处的连续性；(2)讨论函数f(x)=在区间0,3上的连续性.剖析:(1)需判断f(x)=f(x)=f(0). (2)需判断f(x)在(0,3)上的连续性及在x=0处右连续,在x=3处左连续.解:(1)f(x)=-1,f(x)=1, f(x)f(x), f
4、(x)不存在.f(x)在x=0处不连续. (2)f(x)在x=3处无定义, f(x)在x=3处不连续. f(x)在区间0,3上不连续.【例2】已知函数f(x)=()x(x0).(1)化简函数表达式并作出函数的图象;(2)讨论函数f(x)在x=1和x=处的连续性.剖析:对x的取值进行讨论,可确定函数f(x)的解析式,再利用函数连续性的定义.解:(1)当x1时,=-1; 当0x0)个单位后,向左转90,前进ar(0r1)个单位,再向左转90,又前进ar2个单位,如此连续下去.(1)若有一小分队出发后与设在原点处的大本营失去联系,且可以断定此小分队的行动与原定方案相同,则大本营在何处寻找小分队?(2)若其中的r为变量,且0r,y0), 即行动的最终目的地在以(,0)为圆心,为半径的圆上.
