1、桂梧高中2020-2021学年第一学期第二次月考高二数学试题（A卷）2020年12月卷面满分：150分考试时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式确定集合，然后由交集定义计算【详解】由题意，所以故选：D2. 不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】移项化右边为0，然后因式分解，得出相应二次方程的根，再结合二次函数性质得出结论【详解】原不等式化为，即，所以或故选：B3. 直线把平面分成两个区域，下列各
2、点与原点位于同一区域的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别将选项中的各点代入直线中，得出值的正负，与代入做对比，符号一样的为同一区域【详解】把代入把代入直线可得与在同一区域故选：D【点睛】本题主要考查了二元一次不等式表示平面区域，属于基础题4. 在正项等比数列中，和为方程的两根，则( )A. 16B. 32C. 6 4D. 256【答案】C【解析】【分析】由a1和a19为方程x210x+160的两根，根据韦达定理即可求出a1和a19的积，而根据等比数列的性质得到a1和a19的积等于a102，由数列为正项数列得到a10的值，然后把所求的式子也利用等比数列的性质化简为关于
3、a10的式子，把a10的值代入即可求出值【详解】因为a1和a19为方程x210x+160的两根，所以a1a19a10216，又此等比数列为正项数列，解得：a104，则a8a10a12（a8a12）a10a1034364故选C【点睛】本题考查学生灵活运用韦达定理及等比数列性质化简求值，是一道基础题5. 完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为，请木工需付工资每人元，请瓦工需付工资每人元，现有工资预算元，设木工人，瓦工人，满足的条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据木工和瓦工的比例为以及工资预算元可以列出不等式组，且是正整数，即可得出正确选项.【详解】设木工人，瓦工人，木工
4、和瓦工的比例为，所以，现有工资预算元，所以，因为是正整数，所以，满足的条件是，故选：C.6. 设Mx2，Nx1，则M与N大小关系是（ ）A. MNB. MNC. MND. 与x有关【答案】A【解析】【分析】作差配方即可得出大小关系【详解】因为，故选：【点睛】本题考查了作差配方法比较数的大小，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7. 已知不等式的解集为，则a，b的值等于（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】根据不等式的解集判断和的两根，再利用韦达定理求参数即可.【详解】不等式的解集为，故，且的两根为1和b，即，解得，.故选：C.8. 已知，那么命题p的一个必要条件是（
5、）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先解不等式，得到不等式的解，利用集合之间的关系，判断充分必要性，得到结果.【详解】，运用集合的知识易知，A中是p的充要条件；B中是p的必要条件；C中是p的充分条件；D中是p的既不充分也不必要条件.故选：B.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判段，正确解题的关键是理解充分必要条件的定义.9. 设，若，则的最小值等于（ ）A. 1B. 3C. 2D. 4【答案】C【解析】【分析】展开后利用基本不等式即可求最值.【详解】因为，当且仅当即时等号成立，故选：C.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1
6、）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.10. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ac3，且a3bsinA，则ABC的面积等于()A. B. C. 1D. 【答案】A【解析】【详解】a3bsinA，由正弦定理得sinA3sinBsinA.sinB.ac3，ABC的面积SacsinB3，故选A.11. 函数的最小值是()A.
7、22B. 22C. 2D. 2【答案】A【解析】【分析】先将函数变形可得y=（x1）+2，再利用基本不等式可得结论【详解】y=（x1）+2x1，x10（x1）+2（当且仅当x=+1时，取等号）y=2+2故选A【点睛】本题考查函数的最值，考查基本不等式的运用，属于中档题在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.12. 已知点，则向量在方向上的投影为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】，向量在方向上的投影为，故选A二、
8、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】结合不等式性质，移项，计算x的范围，即可【详解】结合不等式，可知，对不等式移项，得到，所以x的范围为【点睛】本道题考查了分式不等式计算方法，属于较容易的题14. “若，则”的逆否命题为_命题（填“真”或“假”）【答案】假【解析】【分析】判断原命题的真假后可得逆否命题的真假【详解】时，因此命题“若，则”是假命题从而逆否命题也是假命题故答案为：假【点睛】本题考查四种命题的关系，在四种命题中互为逆否的两个命题同真假即原命题与逆否命题同真假，逆命题与否命题同真假常常在一个命题不易判断真假时，可能通过判断其逆否
9、命题的真假得出结论15. 已知，求数列的前10项和_.【答案】【解析】【分析】用裂项相消法求得的和【详解】由题意，所以故答案为：【点睛】本题考查裂项相消法求和数列求和的常用方法：设数列是等差数列，是等比数列， （1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；（2）错位相减法：数列的前项和应用错位相减法；（3）裂项相消法；数列（为常数，）的前项和用裂项相消法；（4）分组（并项）求和法：数列用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足（为常数）的数列，需用倒序相加法求和16. 若不等式对一切恒成立，则的最小值是_【答案】.【解析】【分析】分离参数
10、，将问题转化为求函数最大值的问题，则问题得解.【详解】不等式对一切成立，等价于对于一切成立设，则因为函数在区间上是增函数，所以，所以，所以的最小值为故答案为：.【点睛】本题考查由一元二次不等式恒成立求参数范围的问题，属基础题.三、解答题（本大题共6小题，其中第17题10分，其余每题12分，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 若，且，（1）求的最小值；（2）求的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先画可行域，再利用目标函数z与动直线的截距之间的关系判断z何时最小并计算最小值即可；（2）先判断目标函数的几何意义是可行域中动点与定点连线的斜率，再结合可行域进行
11、判断何时最大和最小，并计算即可.【详解】解：画出可行域，如图所示，（1）因为目标函数即，故动直线的纵截距越小，z越小.画与平行的直线，结合图象可知，动直线过点B时纵截距最小，z最小，由得，故z最小为；（2）表示可行域内点与的连线的斜率，如图可知，在B时斜率最小，即；在C时斜率最大，由得，斜率最大为，故.18. 在中，角所对的边分别为，且满足，（）求的面积；（）若，求的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式由已知可得；根据向量的数量积运算，由得，再由三角形面积公式去求的面积；（2）由（1）知，又，解方程组可得或，再由余弦定理去求的值【详解】（1）因为，所以又，所以，由，得
12、，所以故的面积（2）由，且，得或由余弦定理得，故考点：（1）二倍角公式及同角三角函数基本关系式；（2）余弦定理19. 已知数列an满足a11，an12an1.（1）求证：数列an1是等比数列；（2）求数列an的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2）an2n1.【解析】【分析】（1）利用等比数列的定义可证明数列an1是等比数列；（2）求出数列an1的通项公式，进而可得数列an的通项公式【详解】（1）an12an1，an112(an1)由a11，知a110，an10.2(nN)数列an1是首项为，公比为2等比数列（2）由（1）知an1(a11)2n122n12n，an2n1.20. 给定两个命
13、题，对任意实数都有恒成立；关于的方程有实数根；如果与中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围【答案】【解析】【分析】先根据命题均为真命题时，求出对应的取值范围，再根据与一真一假讨论即可得答案.【详解】解：对于命题，若，显然满足，若，则且，即所以当命题为真命题时，实数的取值范围为；对于命题，根据题意得，解得，所以当命题为真命题时，实数的取值范围为.由于与中有且仅有一个为真命题，所以当真假时，实数的取值范围为；当假真时，实数的取值范围为.综上，实数的取值范围是【点睛】本题考查根据命题真假求参数的求值范围，涉及一元二次不等式恒成立等，考查分类讨论思想和运算能力，是中档题.21. 把参加某次铅球投掷的
14、同学的成绩（单位：米）进行整理，分成以下6个小组：，并绘制出频率分布直方图，如图3所示是这个频率分布直方图的一部分已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6小组的频数是7，规定：投掷成绩不小于7.95米的为合格.（1）求这次铅球投掷成绩合格的人数；（2）若参加这次铅球投掷的学生中，有5人的成绩为优秀，现在要从成绩优秀的学生中，随机选出2人参加相关部门组织的经验交流会，已知a、b两位同学的成绩均为优秀，求a、b两位同学中至少有1人被选到的概率【答案】（1）36；（2）.【解析】【分析】（1）首先计算第6小组的频率，再根据频数为7，计算总人数，再根据合
15、格标准计算合格人数；（2）首先将5人设为，再通过列举的方法，计算概率.【详解】（1）第6小组的频率为参加这次铅球投掷的总人数为根据规定，第4、5、6组的成绩均为合格，人数为（2）设这次铅球投掷成绩优秀的5人分别为a、b、c、d、e，则选出2人的所有可能的情况为：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种，其中a、b至少有1人的情况为：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，共有7种，a、b两位同学中至少有1人被选到的概率为22. 如图所示，平面四边形中，为直角，为等边三角形，现把沿着AB折起，使得与垂直，且点为的中点（1）求证：平面平面（2）若，求直线与平面所成角的
16、正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质定理证明平面，可得，再证明即可证明平面，利用面面垂直的判定定理即可证明；（2）首先利用等体积法求出点到平面的距离，该距离与长度的比值为直线直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）因为平面平面且交线为，又因为为直角，所以平面，故，又因为为等边三角形，点为的中点，所以，又因为，所以平面，又平面，所以平面平面（2）假设，则，再设到平面的距离为则，在直角三角形中，由，得，在等边三角形中，边上的高，而三角形为直角三角形，故面积为又，所以，故所以直线与平面所成角的正弦值【点睛】方法点睛：证明面面垂直的方法（1）利用面面垂直的判定定理，先找到其中一个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另外一个平面内或与另外一个平面内的一条直线平行即可；（2）利用性质：（客观题常用）；（3）面面垂直的定义（不常用）；（4）向量方法：证明两个平面的法向量垂直，即法向量数量积等于.
