1、12.2 离散型随机变量的期望值和方差巩固夯实基础 一、自主梳理 1.期望：若离散型随机变量,=xi的概率为P(=xi)=pi(i=1,2,n,),则称E=xipi为的数学期望,反映了的平均值. 2.方差：称D=(xi-E)2pi为随机变量的均方差，简称方差.叫标准差，反映了的离散程度. 3.性质：(1)E(a+b)=aE+b,D(a+b)=a2D(a、b为常数). (2)若B(n,p),则E=np,D=npq(q=1-p). 二、点击双基1.袋子里装有5只球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3个球,用表示取出的球的最大号码,则E等于( )A.4 B.5 C.4.5 D.4.75解析：可以取
2、3,4,5, P(=3)=,P(=4)=,P(=5)=. E=3+4+5=4.5.答案：C2.设导弹发射的事故率为0.01,若发射10次,其出事故的次数为,则下列结论正确的是( )A.E=0.1 B.D=0.1C.P(=k)=0.01k0.9910-k D.P(=k)=Ck100.99k0.0110-k解析:B(n,p),E=100.01=0.1.答案:A3.已知B(n,p),且E=7,D=6,则p等于（ ）A. B. C. D.解析:E=np=7,D=np(1-p)=6,所以p=.答案:A4.一个盒子里装有n-1个白球,1个红球,每次随机地取出一个球,若取到白球则放回再取,若取到红球则停止取
3、球,则取球次数的数学期望为_.解析：可以取1,2,3,n, P(=k)=(k=1,2,n), E=(1+2+3+n)=.答案：5.有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量1、2,已知E1=E2,D1D2,则自动包装机_的质量较好.解析:E1=E2说明甲、乙两机包装的重量的平均水平一样.D1D2说明甲机包装重量的差别大,不稳定. 乙机质量好.答案:乙诱思实例点拨【例1】设是一个离散型随机变量,其分布列如下表,试求E、D.-101P1-2qq2剖析:应先按分布列的性质,求出q的值后,再计算出E、D.解:因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1,所以 解得q=1-.
4、 于是,的分布列为-101P-1- 所以E=(-1)+0(-1)+1(-)=1-, D=-1-(1-)2+(1-)2(-1)+1-(1-)2(-)=-1.讲评:解答本题时,应防止机械地套用期望和方差的计算公式,出现以下误解:E=(-1)+0(1-2q)+1q2=q2-.链接提示 既要会由分布列求E、D,也要会由E、D求分布列,进行逆向思维.如:若是离散型随机变量,P(=x1)=,P(=x2)=,且x1x2,又知E=,D=.求的分布列. 解:依题意只取2个值x1与x2,于是有 E=x1+x2=, D=x12+x22-E2=. 从而得方程组 解之,得或 而x1x2, x1=1,x2=2. 的分布列
5、为12P【例2】 把4个球随机地投入4个盒子中去,设表示空盒子的个数,求E、D.剖析:每个球投入到每个盒子的可能性是相等的.总的投球方法数为44,空盒子的个数可能为0个,此时投球方法数为A44=4!, P(=0)=;空盒子的个数为1时,此时投球方法数为C14C24A33, P(=1)=. 同样可分析P(=2),P(=3).解:的所有可能取值为0,1,2,3. P(=0)=, P(=1)=, P(=2)=, P(=3)=. 的分布列为0123P E=,D=.讲评:本题的关键是正确理解的意义,写出的分布列.链接提示 求投球的方法数时,要把每个球看成不一样的.=2时,此时有两种情况:有2个空盒子,每
6、个盒子投2个球;1个盒子投3个球,另1个盒子投1个球.【例3】（2005辽宁高考）某工厂生产甲、乙两种产品,每种产品都是经过第一和第二道工序加工而成,两道工序的加工结果相互独立,每道工序的加工结果均有A、B两个等级.对每种产品,两道工序的加工结果都为A级时,产品为一等品,其余均为二等品.(1)已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示,分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙.表一(2)已知一件产品的利润如表二所示,用、分别表示一件甲、乙产品的利润,在(1)的条件下,求、的分布列及E、E.表二(3)已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人40名,可
7、用资金60万元.设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量,在(2)的条件下,x、y为何值时,z=xE+yE最大?最大值是多少?(解答时需给出图示)表三解:(1)P甲=0.80.85=0.68,P乙=0.750.8=0.6. (2)随机变量、的分布列是52.5P0.680.322.51.5P0.60.4 E=50.68+2.50.32=4.2, E=2.50.6+1.50.4=2.1. (3)由题设知 目标函数为z=xE+yE=4.2x+2.1y.作出可行域(如图): 作直线l:4.2x+2.1y=0, 将l向右上方平移至l1位置时,直线经过可行域上的点M且与原点距离最大,此时z=4.2x+2.1y取最大值. 解方程组 得 故x=4,y=4时,z取最大值,z的最大值为25.2.讲评:考查相互独立事件的概率,随机变量的分布列及期望,线性规划模型的建立与求解,考查通过建模解决实际问题的能力.
