1、高三数学（理）一轮复习 教案 第九编 解析几何 总第44期9.2 直线的方程基础自测1.下列四个命题中真命题的序号是 .经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y-y0=k（x-x0）表示经过任意两个不同点P1（x1,y1）,P2(x2,y2)的直线都可以用方程（y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示不经过原点的直线都可以用方程表示经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y=kx+b表示答案 2.A、B是x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x-y+1=0，则直线PB的方程为 .答案 x+y-5=03.（2008全国文）原点到直线x+2y-5
2、=0的距离为 .答案 4.过点P（-1，2）且方向向量为a=（-1，2）的直线方程为 .答案 2x+y=05.一条直线经过点A（-2，2），并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为 .答案 x+2y-2=0或2x+y+2=0例题精讲 例1 求适合下列条件的直线方程：（1）经过点P（3，2），且在两坐标轴上的截距相等；（2）经过点A（-1，-3），倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍.解 （1）方法一 设直线l在x,y轴上的截距均为a,若a=0，即l过点（0，0）和（3，2），l的方程为y=x，即2x-3y=0.若a0，则设l的方程为，l过点（3，2），a=5，l的方程为x+y-5
3、=0,综上可知，直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.方法二 由题意知，所求直线的斜率k存在且k0,设直线方程为y-2=k(x-3),令y=0，得x=3-,令x=0,得y=2-3k,由已知3-=2-3k，解得k=-1或k=,直线l的方程为： y-2=-（x-3）或y-2=(x-3),即x+y-5=0或2x-3y=0.（2）由已知：设直线y=3x的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为2.tan=3,tan2=-.又直线经过点A（-1，-3），因此所求直线方程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.例2 过点P（2，1）的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使：（1）AOB面积最小时
4、l的方程；（2）|PA|PB|最小时l的方程.解 方法一 设直线的方程为 (a2,b1), 由已知可得.（1）2=1，ab8.SAOB=ab4.当且仅当=,即a=4,b=2时，SAOB取最小值4，此时直线l的方程为=1,即x+2y-4=0.（2）由+=1,得ab-a-2b=0,变形得(a-2)(b-1)=2,|PA|PB|=. 当且仅当a-2=1,b-1=2,即a=3,b=3时，|PA|PB|取最小值4.此时直线l的方程为x+y-3=0.方法二 设直线l的方程为y-1=k(x-2) (k0),则l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B（0，1-2k）.（1）SAOB=（1-2k）=（4+4）=4.当
5、且仅当-4k=-,即k=-时取最小值，此时直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+2y-4=0.（2）|PA|PB|=4,当且仅当=4k2,即k=-1时取得最小值，此时直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0.例3 已知直线l过点P（3，1）且被两平行线l1:x+y+1=0,l2:x+y+6=0截得的线段长为5，求直线l的方程.解 方法一 若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=3,此时与l1,l2的交点分别是A（3，-4），B（3，-9），截得的线段长|AB|=|-4+9|=5,符合题意.若直线l的斜率存在时，则设直线l的方程为y=k(x-3)+1,分别与直线l1,l2的方程
6、联立，由,解得A.由,解得B, 由两点间的距离公式，得+=25，解得k=0,即所求直线方程为y=1.综上可知，直线l的方程为x=3或y=1.方法二 设直线l与l1,l2分别相交于A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+y1+1=0,x2+y2+6=0,两式相减，得(x1-x2)+(y1-y2)=5又(x1-x2)2+(y1-y2)2=25联立可得或,由上可知，直线l的倾斜角分别为0和90，故所求的直线方程为x=3或y=1.例4 求直线l1:y=2x+3关于直线l:y=x+1对称的直线l2的方程.解 方法一 由知直线l1与l的交点坐标为（-2，-1），设直线l2的方程为y+1=k(x+2),
7、即kx-y+2k-1=0.在直线l上任取一点（1，2），由题设知点（1，2）到直线l1、l2的距离相等，由点到直线的距离公式得=，解得k=(k=2舍去)，直线l2的方程为x-2y=0.方法二 设所求直线上一点P（x,y）,则在直线l1上必存在一点P1（x0,y0）与点P关于直线l对称.由题设：直线PP1与直线l垂直，且线段PP1的中点P2在直线l上.，变形得,代入直线l1:y=2x+3，得x+1=2(y-1)+3,整理得x-2y=0.所以所求直线方程为x-2y=0.巩固练习 1.（1）求经过点A（-5，2）且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程；（2）过点A（8，6）引三条直线l1
8、,l2,l3，它们的倾斜角之比为124，若直线l2的方程是y=x,求直线l1,l3的方程.解 （1）当直线l在x、y轴上的截距都为零时，设所求的直线方程为y=kx,将（-5，2）代入y=kx中，得k=-，此时，直线方程为y=-x,即2x+5y=0.当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为=1，将（-5，2）代入所设方程，解得a=-，此时，直线方程为x+2y+1=0.综上所述，所求直线方程为x+2y+1=0或2x+5y=0.（2）设直线l2的倾斜角为,则tan=.于是tan=,tan2=,所以所求直线l1的方程为y-6=(x-8),即x-3y+10=0,l3的方程为y-6=(x-8),即24
9、x-7y-150=0.2.直线l经过点P（3，2）且与x，y轴的正半轴分别交于A、B两点，OAB的面积为12，求直线l的方程.解 方法一 设直线l的方程为（a0,b0）,A(a,0),B(0,b),解得所求的直线方程为=1,即2x+3y-12=0.方法二 设直线l的方程为y-2=k(x-3),令y=0,得直线l在x轴上的截距a=3-,令x=0,得直线l在y轴上的截距b=2-3k.(2-3k)=24.解得k=-.所求直线方程为y-2=-(x-3).即2x+3y-12=0.3.已知三条直线l1：2x-y+a=0（a0）,直线l2:4x-2y-1=0和直线l3:x+y-1=0,且l1与l2的距离是.
10、(1)求a的值；(2)能否找到一点P,使得P点同时满足下列三个条件:P是第一象限的点;P点到l1的距离是P点到l2的距离的;P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是.若能,求P点坐标;若不能,说明理由.解 (1)l2即为2x-y-=0,l1与l2的距离d=,=,=,a0,a=3.(2)假设存在这样的P点.设点P(x0,y0),若P点满足条件,则P点在与l1、l2平行的直线l：2x-y+C=0上，且=，即C=或C=，2x0-y0+=0或2x0-y0+=0；若P点满足条件，由点到直线的距离公式=，即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|，x0-2y0+4=0或3x0+2=0；由于P点在第一象限，
11、3x0+2=0不满足题意.联立方程，解得 (舍去).由解得假设成立，P即为同时满足三个条件的点.4.光线沿直线l1:x-2y+5=0射入，遇直线l:3x-2y+7=0后反射，求反射光线所在的直线方程.解 方法一 由得反射点M的坐标为（-1,2）.又取直线x-2y+5=0上一点P（-5，0），设P关于直线l的对称点P(x0,y0)，由PPl可知,kPP=-=.而PP的中点Q的坐标为,Q点在l上，3-2+7=0.由得根据直线的两点式方程可得l的方程为29x-2y+33=0.方法二 设直线x-2y+5=0上任意一点P（x0,y0）关于直线l的对称点为P(x,y),则,又PP的中点Q在l上，3-2+7
12、=0,由可得P点的坐标为x0=，y0=，代入方程x-2y+5=0中，化简得29x-2y+33=0,即为所求反射光线所在的直线方程.回顾总结 知识方法思想课后作业 一、填空题1.过点（1，3）作直线l，若经过点（a，0）和（0，b），且aN*，bN*，则可作出的l的条数为 .答案 22.已知直线l1的方向向量为a=(1,3),直线l2的方向向量为b=(-1,k),若直线l2过点（0，5），且l1l2，则直线l2的方程是 .答案 x+3y-15=03.若直线l与两直线y=1,x-y-7=0分别交于M，N两点，且MN的中点是P（1，-1），则直线l的斜率是 .答案 -4.直线x-2y+1=0关于直线
13、x=1对称的直线方程是 .答案 x+2y-3=05.经过点P（1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为 .答案 2x+y-6=06.点（1，cos）到直线xsin+ycos-1=0的距离是(0180)，那么= .答案 30或1507.设l1的倾斜角为，l1绕其上一点P沿逆时针方向旋转角得直线l2，l2的纵截距为-2，l2绕P沿逆时针方向旋转-角得直线l3：x+2y-1=0，则l1的方程为 .答案 2x-y+8=08.若直线l:y=kx-1与直线x+y-1=0的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是 .答案 (1,+)二、解答题9.已知直线l与两坐标轴围成的三角形
14、的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：（1）过定点A（-3，4）；（2）斜率为.解 （1）设直线l的方程是y=k(x+3)+4,它在x轴，y轴上的截距分别是-3，3k+4，由已知，得（3k+4）（+3）=6，解得k1=-或k2=-.直线l的方程为2x+3y-6=0或8x+3y+12=0.（2）设直线l在y轴上的截距为b,则直线l的方程是y=x+b,它在x轴上的截距是-6b,由已知，得|-6bb|=6，b=1.直线l的方程为x-6y+6=0或x-6y-6=0.10.一条光线经过P（2，3）点，射在直线l:x+y+1=0上，反射后穿过Q（1，1）.（1）求光线的入射方程；（2）求这条光线从
15、P到Q的长度.解 （1）设点Q(x,y)为Q关于直线l的对称点且QQ交l于M点，kl=-1，kQQ=1.QQ所在直线方程为y-1=1（x-1）即x-y=0.由解得l与QQ的交点M的坐标为.又M为QQ的中点，由此得.解之得Q（-2，-2）.设入射线与l交点N，且P，N，Q共线.则P（2，3），Q（-2，-2），得入射线方程为，即5x-4y+2=0.(2)l是QQ的垂直平分线，因而|NQ|=|NQ|.|PN|+|NQ|=|PN|+|NQ|=|PQ|=,即这条光线从P到Q的长度是.11.已知正方形的中心为直线2x-y+2=0,x+y+1=0的交点，正方形一边所在的直线方程为x+3y-5=0,求正方形
16、其他三边的方程.解 设与直线l:x+3y-5=0平行的边的直线方程为l1:x+3y+c=0.由得正方形的中心坐标P（-1，0），由点P到两直线l,l1的距离相等，则,得c=7或c=-5（舍去）.l1：x+3y+7=0.又正方形另两边所在直线与l垂直，设另两边方程为3x-y+a=0,3x-y+b=0.正方形中心到四条边的距离相等，=，得a=9或a=-3,另两条边所在的直线方程为3x-y+9=0,3x-y-3=0.另三边所在的直线方程为3x-y+9=0,x+3y+7=0,3x-y-3=0.12.过点P（3，0）作一直线，使它夹在两直线l1：2x-y-2=0与l2:x+y+3=0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程.解 方法一 设点A（x，y）在l1上，由题意知，点B（6-x，-y），解方程组，得，k=.所求的直线方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.方法二 设所求的直线方程为y=k(x-3),则,解得,由,解得.P(3,0)是线段AB的中点，yA+yB=0，即+=0，k2-8k=0，解得k=0或k=8.又当k=0时，xA=1,xB=-3,此时,k=0舍去，所求的直线方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.283
