1、高三数学(理)一轮复习 教案 第九编 解析几何 总第44期9.2 直线的方程基础自测1.下列四个命题中真命题的序号是 .经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示经过任意两个不同点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示不经过原点的直线都可以用方程表示经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示答案 2.A、B是x轴上两点,点P的横坐标为2,且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程为 .答案 x+y-5=03.(2008全国文)原点到直线x+2y-5
2、=0的距离为 .答案 4.过点P(-1,2)且方向向量为a=(-1,2)的直线方程为 .答案 2x+y=05.一条直线经过点A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,则此直线的方程为 .答案 x+2y-2=0或2x+y+2=0例题精讲 例1 求适合下列条件的直线方程:(1)经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等;(2)经过点A(-1,-3),倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍.解 (1)方法一 设直线l在x,y轴上的截距均为a,若a=0,即l过点(0,0)和(3,2),l的方程为y=x,即2x-3y=0.若a0,则设l的方程为,l过点(3,2),a=5,l的方程为x+y-5
3、=0,综上可知,直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.方法二 由题意知,所求直线的斜率k存在且k0,设直线方程为y-2=k(x-3),令y=0,得x=3-,令x=0,得y=2-3k,由已知3-=2-3k,解得k=-1或k=,直线l的方程为: y-2=-(x-3)或y-2=(x-3),即x+y-5=0或2x-3y=0.(2)由已知:设直线y=3x的倾斜角为,则所求直线的倾斜角为2.tan=3,tan2=-.又直线经过点A(-1,-3),因此所求直线方程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.例2 过点P(2,1)的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点,求使:(1)AOB面积最小时
4、l的方程;(2)|PA|PB|最小时l的方程.解 方法一 设直线的方程为 (a2,b1), 由已知可得.(1)2=1,ab8.SAOB=ab4.当且仅当=,即a=4,b=2时,SAOB取最小值4,此时直线l的方程为=1,即x+2y-4=0.(2)由+=1,得ab-a-2b=0,变形得(a-2)(b-1)=2,|PA|PB|=. 当且仅当a-2=1,b-1=2,即a=3,b=3时,|PA|PB|取最小值4.此时直线l的方程为x+y-3=0.方法二 设直线l的方程为y-1=k(x-2) (k0),则l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B(0,1-2k).(1)SAOB=(1-2k)=(4+4)=4.当
5、且仅当-4k=-,即k=-时取最小值,此时直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+2y-4=0.(2)|PA|PB|=4,当且仅当=4k2,即k=-1时取得最小值,此时直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0.例3 已知直线l过点P(3,1)且被两平行线l1:x+y+1=0,l2:x+y+6=0截得的线段长为5,求直线l的方程.解 方法一 若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=3,此时与l1,l2的交点分别是A(3,-4),B(3,-9),截得的线段长|AB|=|-4+9|=5,符合题意.若直线l的斜率存在时,则设直线l的方程为y=k(x-3)+1,分别与直线l1,l2的方程
6、联立,由,解得A.由,解得B, 由两点间的距离公式,得+=25,解得k=0,即所求直线方程为y=1.综上可知,直线l的方程为x=3或y=1.方法二 设直线l与l1,l2分别相交于A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+y1+1=0,x2+y2+6=0,两式相减,得(x1-x2)+(y1-y2)=5又(x1-x2)2+(y1-y2)2=25联立可得或,由上可知,直线l的倾斜角分别为0和90,故所求的直线方程为x=3或y=1.例4 求直线l1:y=2x+3关于直线l:y=x+1对称的直线l2的方程.解 方法一 由知直线l1与l的交点坐标为(-2,-1),设直线l2的方程为y+1=k(x+2),
7、即kx-y+2k-1=0.在直线l上任取一点(1,2),由题设知点(1,2)到直线l1、l2的距离相等,由点到直线的距离公式得=,解得k=(k=2舍去),直线l2的方程为x-2y=0.方法二 设所求直线上一点P(x,y),则在直线l1上必存在一点P1(x0,y0)与点P关于直线l对称.由题设:直线PP1与直线l垂直,且线段PP1的中点P2在直线l上.,变形得,代入直线l1:y=2x+3,得x+1=2(y-1)+3,整理得x-2y=0.所以所求直线方程为x-2y=0.巩固练习 1.(1)求经过点A(-5,2)且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程;(2)过点A(8,6)引三条直线l1
8、,l2,l3,它们的倾斜角之比为124,若直线l2的方程是y=x,求直线l1,l3的方程.解 (1)当直线l在x、y轴上的截距都为零时,设所求的直线方程为y=kx,将(-5,2)代入y=kx中,得k=-,此时,直线方程为y=-x,即2x+5y=0.当横截距、纵截距都不是零时,设所求直线方程为=1,将(-5,2)代入所设方程,解得a=-,此时,直线方程为x+2y+1=0.综上所述,所求直线方程为x+2y+1=0或2x+5y=0.(2)设直线l2的倾斜角为,则tan=.于是tan=,tan2=,所以所求直线l1的方程为y-6=(x-8),即x-3y+10=0,l3的方程为y-6=(x-8),即24
9、x-7y-150=0.2.直线l经过点P(3,2)且与x,y轴的正半轴分别交于A、B两点,OAB的面积为12,求直线l的方程.解 方法一 设直线l的方程为(a0,b0),A(a,0),B(0,b),解得所求的直线方程为=1,即2x+3y-12=0.方法二 设直线l的方程为y-2=k(x-3),令y=0,得直线l在x轴上的截距a=3-,令x=0,得直线l在y轴上的截距b=2-3k.(2-3k)=24.解得k=-.所求直线方程为y-2=-(x-3).即2x+3y-12=0.3.已知三条直线l1:2x-y+a=0(a0),直线l2:4x-2y-1=0和直线l3:x+y-1=0,且l1与l2的距离是.
10、(1)求a的值;(2)能否找到一点P,使得P点同时满足下列三个条件:P是第一象限的点;P点到l1的距离是P点到l2的距离的;P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是.若能,求P点坐标;若不能,说明理由.解 (1)l2即为2x-y-=0,l1与l2的距离d=,=,=,a0,a=3.(2)假设存在这样的P点.设点P(x0,y0),若P点满足条件,则P点在与l1、l2平行的直线l:2x-y+C=0上,且=,即C=或C=,2x0-y0+=0或2x0-y0+=0;若P点满足条件,由点到直线的距离公式=,即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|,x0-2y0+4=0或3x0+2=0;由于P点在第一象限,
11、3x0+2=0不满足题意.联立方程,解得 (舍去).由解得假设成立,P即为同时满足三个条件的点.4.光线沿直线l1:x-2y+5=0射入,遇直线l:3x-2y+7=0后反射,求反射光线所在的直线方程.解 方法一 由得反射点M的坐标为(-1,2).又取直线x-2y+5=0上一点P(-5,0),设P关于直线l的对称点P(x0,y0),由PPl可知,kPP=-=.而PP的中点Q的坐标为,Q点在l上,3-2+7=0.由得根据直线的两点式方程可得l的方程为29x-2y+33=0.方法二 设直线x-2y+5=0上任意一点P(x0,y0)关于直线l的对称点为P(x,y),则,又PP的中点Q在l上,3-2+7
12、=0,由可得P点的坐标为x0=,y0=,代入方程x-2y+5=0中,化简得29x-2y+33=0,即为所求反射光线所在的直线方程.回顾总结 知识方法思想课后作业 一、填空题1.过点(1,3)作直线l,若经过点(a,0)和(0,b),且aN*,bN*,则可作出的l的条数为 .答案 22.已知直线l1的方向向量为a=(1,3),直线l2的方向向量为b=(-1,k),若直线l2过点(0,5),且l1l2,则直线l2的方程是 .答案 x+3y-15=03.若直线l与两直线y=1,x-y-7=0分别交于M,N两点,且MN的中点是P(1,-1),则直线l的斜率是 .答案 -4.直线x-2y+1=0关于直线
13、x=1对称的直线方程是 .答案 x+2y-3=05.经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的,且截距之和最小,则直线的方程为 .答案 2x+y-6=06.点(1,cos)到直线xsin+ycos-1=0的距离是(0180),那么= .答案 30或1507.设l1的倾斜角为,l1绕其上一点P沿逆时针方向旋转角得直线l2,l2的纵截距为-2,l2绕P沿逆时针方向旋转-角得直线l3:x+2y-1=0,则l1的方程为 .答案 2x-y+8=08.若直线l:y=kx-1与直线x+y-1=0的交点位于第一象限,则实数k的取值范围是 .答案 (1,+)二、解答题9.已知直线l与两坐标轴围成的三角形
14、的面积为3,分别求满足下列条件的直线l的方程:(1)过定点A(-3,4);(2)斜率为.解 (1)设直线l的方程是y=k(x+3)+4,它在x轴,y轴上的截距分别是-3,3k+4,由已知,得(3k+4)(+3)=6,解得k1=-或k2=-.直线l的方程为2x+3y-6=0或8x+3y+12=0.(2)设直线l在y轴上的截距为b,则直线l的方程是y=x+b,它在x轴上的截距是-6b,由已知,得|-6bb|=6,b=1.直线l的方程为x-6y+6=0或x-6y-6=0.10.一条光线经过P(2,3)点,射在直线l:x+y+1=0上,反射后穿过Q(1,1).(1)求光线的入射方程;(2)求这条光线从
15、P到Q的长度.解 (1)设点Q(x,y)为Q关于直线l的对称点且QQ交l于M点,kl=-1,kQQ=1.QQ所在直线方程为y-1=1(x-1)即x-y=0.由解得l与QQ的交点M的坐标为.又M为QQ的中点,由此得.解之得Q(-2,-2).设入射线与l交点N,且P,N,Q共线.则P(2,3),Q(-2,-2),得入射线方程为,即5x-4y+2=0.(2)l是QQ的垂直平分线,因而|NQ|=|NQ|.|PN|+|NQ|=|PN|+|NQ|=|PQ|=,即这条光线从P到Q的长度是.11.已知正方形的中心为直线2x-y+2=0,x+y+1=0的交点,正方形一边所在的直线方程为x+3y-5=0,求正方形
16、其他三边的方程.解 设与直线l:x+3y-5=0平行的边的直线方程为l1:x+3y+c=0.由得正方形的中心坐标P(-1,0),由点P到两直线l,l1的距离相等,则,得c=7或c=-5(舍去).l1:x+3y+7=0.又正方形另两边所在直线与l垂直,设另两边方程为3x-y+a=0,3x-y+b=0.正方形中心到四条边的距离相等,=,得a=9或a=-3,另两条边所在的直线方程为3x-y+9=0,3x-y-3=0.另三边所在的直线方程为3x-y+9=0,x+3y+7=0,3x-y-3=0.12.过点P(3,0)作一直线,使它夹在两直线l1:2x-y-2=0与l2:x+y+3=0之间的线段AB恰被点P平分,求此直线的方程.解 方法一 设点A(x,y)在l1上,由题意知,点B(6-x,-y),解方程组,得,k=.所求的直线方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.方法二 设所求的直线方程为y=k(x-3),则,解得,由,解得.P(3,0)是线段AB的中点,yA+yB=0,即+=0,k2-8k=0,解得k=0或k=8.又当k=0时,xA=1,xB=-3,此时,k=0舍去,所求的直线方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.283