1、第2讲 等差数列 知 识 梳理 1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列，常数称为等差数列的公差. 2.通项公式与前项和公式通项公式，为首项，为公差.前项和公式或.3.等差中项如果成等差数列，那么叫做与的等差中项.即：是与的等差中项，成等差数列.4.等差数列的判定方法定义法：（，是常数）是等差数列；中项法：()是等差数列.5.等差数列的常用性质数列是等差数列，则数列、（是常数）都是等差数列；在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即为等差数列，公差为.；(,是常数)；(,是常数，)若，则；若等差数列的前项和，则是等差数列；当项
2、数为，则； 当项数为，则. 重 难 点 突 破 1.重点：理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式、前项和公式并能解决实际问题；理解等差中项的概念,掌握等差数列的性质.2.难点：利用等差数列的性质解决实际问题.3.重难点：正确理解等差数列的概念，灵活运用等差数列的性质解题.求等差数列的公差、求项、求值、求和、求最值等通常运用等差数列的有关公式及其性质.问题1：已知,且和都是等差数列，则 分析：问题转化为：在插入若干个数，使其成等差，利用等差数列公差的求法公式解答.解析：设等差数列和的公差分别是 则，同理，得，.求“首末项和为常数”的数列的和，一般用倒序相加法.问题2：已知函数则 ； .分析：
3、可以直接代入计算，也可以整体处理；寻找规律，整体处理.解析：，经计算，得，. 热 点 考 点 题 型 探 析考点1等差数列的通项与前n项和题型1已知等差数列的某些项，求某项【例1】已知为等差数列，则 【解题思路】可以考虑基本量法，或利用等差数列的性质【解析】方法1：方法2：，方法3：令，则方法4：为等差数列，也成等差数列，设其公差为，则为首项，为第4项.方法5：为等差数列，三点共线【名师指引】给项求项问题，先考虑利用等差数列的性质，再考虑基本量法.题型2已知前项和及其某项，求项数.【例2】已知为等差数列的前项和，求；若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个
4、数列的项数.【解题思路】利用等差数列的通项公式求出及，代入可求项数； 利用等差数列的前4项和及后4项和求出，代入可求项数.【解析】设等差数列的首项为，公差为，则【名师指引】解决等差数列的问题时，通常考虑两种方法：基本量法；利用等差数列的性质.题型3求等差数列的前n项和【例3】已知为等差数列的前项和，.求； 求；求.【解题思路】利用求出，把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题.【解析】4.，当时，当时，当时， .由，得，当时，；当时，.； ；当时， 当时， 【名师指引】含绝对值符号的数列求和问题，要注意分类讨论.【新题导练】1.已知为等差数列，（互不相等），求.【解析】2.已知为等差数列的前项
5、和，则 .【解析】设等差数列的公差为，则.3.已知个数成等差数列，它们的和为，平方和为，求这个数.【解析】设这个数分别为则解得当时，这个数分别为：；当时，这个数分别为：4.已知为等差数列的前项和，求.【解析】方法1：设等差数列的公差为，则；方法2：.考点2 证明数列是等差数列【例4】已知为等差数列的前项和，.求证：数列是等差数列.【解题思路】利用等差数列的判定方法定义法；中项法. 【解析】方法1：设等差数列的公差为，（常数）数列是等差数列.方法2：，数列是等差数列.【名师指引】判断或证明数列是等差数列的方法有：定义法：（，是常数）是等差数列；中项法：()是等差数列；通项公式法：（是常数）是等差
6、数列；前项和公式法：（是常数，）是等差数列.【新题导练】5.设为数列的前项和，求常数的值；求证：数列是等差数列.【解析】，由知：，当时，数列是等差数列.考点3 等差数列的性质【例5】已知为等差数列的前项和，则 ； 已知为等差数列的前项和，则 .【解题思路】利用等差数列的有关性质求解.【解析】；方法1：令，则.，；方法2：不妨设 .，；方法3：是等差数列，为等差数列三点共线.【名师指引】利用等差数列的有关性质解题，可以简化运算.【新题导练】6.含个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（ ） 【解析】（本两小题有多种解法），.选B.7.设、分别是等差数列、的前项和，则 . 【解析】 填. 考
7、点4 等差数列与其它知识的综合【例6】已知为数列的前项和，；数列满足：，其前项和为 求数列、的通项公式； 设为数列的前项和，求使不等式对都成立的最大正整数的值.【解题思路】利用与的关系式及等差数列的通项公式可求；求出后，判断的单调性.【解析】，当时，； 当时， 当时，；，是等差数列，设其公差为.则，. ，是单调递增数列.当时，对都成立所求最大正整数的值为.【名师指引】本题综合考察等差数列、通项求法、数列求和、不等式等知识，利用了函数、方程思想，这是历年高考的重点内容.【新题导练】8.已知为数列的前项和，.求数列的通项公式；数列中是否存在正整数，使得不等式对任意不小于的正整数都成立？若存在，求最
8、小的正整数，若不存在，说明理由.【解析】当时，且，是以为公差的等差数列，其首项为.当时，当时，；，得或，当时，恒成立，所求最小的正整数 抢 分 频 道 基础巩固训练1.(2009广雅中学)设数列是等差数列，且，是数列的前项和，则A B C D【解析】C另法：由，得，计算知2.在等差数列中，则 .【解析】 3.数列中，当数列的前项和取得最小值时， . 【解析】 由知是等差数列， 4.已知等差数列共有项，其奇数项之和为，偶数项之和为，则其公差是 . 【解析】 已知两式相减，得 5.设数列中，则通项 . 【解析】 利用迭加法（或迭代法），也可以用归纳猜想证明的方法.6.从正整数数列中删去所有的平方数
9、，得到一个新数列，则这个新数列的第项是 .【解析】 综合拔高训练7.(2009广雅中学)已知等差数列中，.求数列的通项公式；若数列满足，设，且，求的值.【解析】设数列的公差为，则，令，得当时，8.已知为等差数列的前项和，当为何值时，取得最大值；求的值；求数列的前项和【解析】等差数列中，公差，令当时，；当时，.当时，取得最大值；数列是等差数列；由得，当时，；当时，. 9.(2009执信中学)已知数列满足证明：数列是等比数列；求数列的通项公式；若数列满足证明是等差数列.【解析】证明：,是以为首项，2为公比的等比数列。解：由（I）得证明：，得 即，得 即， 是等差数列.10.(2008北京）数列满足，是常数.当时，求及的值；数列是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；求的取值范围，使得存在正整数，当时总有.【解析】由于，且，所以当时，得， 故.从而.数列不可能为等差数列.证明如下：由，得若存在，使为等差数列，则，即于是这与为等差数列矛盾，所以，对任意，都不可能是等差数列.记根据题意可知，且，即且，这时总存在，满足：当时，bn0；当时，所以，由及可知，若为偶数，则，从而当时； 若为奇数，则，从而当时因此“存在，当时总有”的充分必要条件是：为偶数，记，则满足：故的取值范围是
