1、2015-2016学年北京人大附中朝阳学校高二（上）12月月考数学试卷（理科）一、选择题：本题包括8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意1若pq是假命题，则（）Apq是假命题Bpq是假命题Cp是假命题Dq是假命题2椭圆x2+25y2=100上的一点M到椭圆的一个焦点的距离等于5，那么M到另一个焦点的距离等于（）A5B10C15D203抛物线y2=4ax（a0）的焦点坐标是（）A（a，0）B（a，0）C（0，a）D（0，a）4如图，某三棱锥的三视图都是直角边为的等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是（）ABC1D25已知m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，有
2、下列4个命题：若mn，n，则m；若mn，m，n，则n；若，m，n，则mn；若m、n是异面直线，m，n，m，则n其中正确的命题有（）ABCD246“m=n”是“方程mx2+ny2=1表示圆”的（）ZA充分而不必要条件B必要而不充分条件nC充分必要条件D既不充分也不必要条件r7设点P是双曲线=1（a0，b0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率为（）HABCDO8已知正方体ABCDA1B1C1D1，点E，F，G分别是线段B1B，AB和A1C上的动点，观察直线CE与D1F，CE与D1G给出下列结论：b对于任意给定
3、的点E，存在点F，使得D1FCE；0对于任意给定的点F，存在点E，使得CED1F；G对于任意给定的点E，存在点G，使得D1GCE；z对于任意给定的点G，存在点E，使得CED1GC其中正确结论的个数是（）PA1个B2个C3个D4个u二、填空题：本题包括6小题，每小题6分，共36分19如图是古希腊数学家阿基米德墓碑上的图案，圆柱内有一个内切球，球的直径恰好等于圆柱的高，此时球与圆柱的体积之比为C10双曲线=1渐近线方程为/11在三棱柱ABCA1B1C1中，若=， =， =，则=（用向量，表示）O12如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，ABCD是边长为1的正方形，D1B与平面ABCD所成的角为4
4、5，则棱AA1的长为，二面角BDD1C的大小为T13已知命题p：xR，x2+ax+10，写出p：；若命题p是假命题，则实数a的取值范围是714在平面直角坐标系中，动点P到x轴的距离的平方恰比点P的横纵坐标的乘积小1记动点P的轨迹为C，下列对于曲线C的描述正确的是A曲线C关于原点对称；O曲线C关于直线y=x对称；j当变量|y|逐渐增大时，曲线C无限接近直线y=x；w当变量|y|逐渐减小时，曲线C与x轴无限接近=三、解答题：本题包括5大题，共74分=15已知圆M的圆心在直线x2y+4=0上，且与x轴交于两点A（5，0），B（1，0）（）求圆M的方程；（）求过点C（1，2）的圆M的切线方程16在斜三
5、棱柱ABCA1B1C1中，侧面ACC1A1平面ABC，ACB=90，D为BC中点（）求证：BCAA1；6558764（）求证：A1C平面AB1D；（）若AC=AA1=BC=2，A1AC=60，求三棱锥A1ABC的体积17如图所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱垂直于底面，DB=BC，DBAC，点M是棱BB1上的一点（1）若DB=BC=CD，求BD与平面CDD1C1所成角；（2）求证：MDAC；（3）是否存在点M，使得平面DMC1平面CC1D1D？若存在，试确定点M的位置，并给出证明；若不存在，说明理由18在圆x2+y2=4上取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足（1）当点P在
6、圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？（2）若直线y=x+与（1）问中的点M的轨迹相交于A、B两点，求|AB|19以F1（1，0）和F2（1，0）为焦点的椭圆C过点A（1，）（）求椭圆C的方程；（）如图，过点A作椭圆C的两条倾斜角互补的动弦AE，AF，求直线EF的斜率；（）求OEF面积的最大值2015-2016学年北京人大附中朝阳学校高二（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题包括8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意1若pq是假命题，则（）Apq是假命题Bpq是假命题Cp是假命题Dq是假命题【考点】复合命题的真假【分析】由题意，可得p，q的真假
7、性，进而得到正确选项【解答】由于pq是假命题，则p是假命题，q是假命题，所以p是真命题，q是假命题，所以pq是假命题，pq是真命题，q是真命题，故选A2椭圆x2+25y2=100上的一点M到椭圆的一个焦点的距离等于5，那么M到另一个焦点的距离等于（）A5B10C15D20【考点】椭圆的简单性质【分析】将椭圆化成标准方程，根据椭圆的定义，即可求得M到另一个焦点的距离【解答】解：由椭圆的标准方程：，焦点F1，F2，由椭圆的定义可知：丨MF1丨+丨MF2丨=2a=20，由题意可知：丨MF1丨=5，丨MF2丨=15，故答案选：C3抛物线y2=4ax（a0）的焦点坐标是（）A（a，0）B（a，0）C（0
8、，a）D（0，a）【考点】抛物线的简单性质【分析】根据抛物线的性质得出p的值，然后即可得到焦点坐标【解答】解：整理抛物线方程得y2=4ax，p=2a6558764焦点坐标为 （a，0）故选A4如图，某三棱锥的三视图都是直角边为的等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是（）ABC1D2【考点】由三视图求面积、体积【分析】判断几何体的形状，然后求出最大的三角形的面积即可【解答】解：由三视图可知几何体是三棱锥，三个面两两垂直，并且是全等的等腰直角三角形，面积是=1，另一个侧面是边长为2的正三角形，面积为=故选A5已知m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，有下列4个命题：若mn，n，则
9、m；若mn，m，n，则n；若，m，n，则mn；若m、n是异面直线，m，n，m，则n其中正确的命题有（）ABCD【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】由题意，可由点面线的位置关系对四个命题逐一判断得出正确选项，可由线面平行的条件判断，可由线面平行的条件判断，可由线线的垂直的条件判断，可线面平行的条件判断【解答】解：若mn，n，此时有m或m，故不正确；若mn，m，n，可得出n，故正确；若，m，n，可得出mn，故正确；若m、n是异面直线，m，n，m，此时n或n，故不正确 综上，正确故选B6“m=n”是“方程mx2+ny2=1表示圆”的（）6558764A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充
10、分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据圆的方程，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若m=n=0时，方程mx2+ny2=1等价为0=1，无意义，不能表示圆，若方程mx2+ny2=1表示圆，则m=n0，“m=n”是“方程mx2+ny2=1表示圆”的必要不充分条件，故选：B7设点P是双曲线=1（a0，b0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率为（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】由P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，推导出
11、F1PF2=90再由|PF1|=2|PF2|，知|PF1|=4a，|PF2|=2a，由此求出c=a，从而得到双曲线的离心率【解答】解：P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，点P到原点的距离|PO|=，F1PF2=90，|PF1|=2|PF2|，|PF1|PF2|=|PF2|=2a，|PF1|=4a，|PF2|=2a，16a2+4a2=4c2，c=a，故选A8已知正方体ABCDA1B1C1D1，点E，F，G分别是线段B1B，AB和A1C上的动点，观察直线CE与D1F，CE与D1G给出下列结论：对于任意给定的点E，存在点F，使得D1FCE；对于任意给定的点F，存在点E，使得CED1
12、F；对于任意给定的点E，存在点G，使得D1GCE；对于任意给定的点G，存在点E，使得CED1G其中正确结论的个数是（）A1个B2个C3个D4个6558764【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的性质【分析】根据直线与直线、直线与平面的位置关系，分别分析选项，利用排除法能得出结论【解答】解：只有D1F平面BCC1B1，即D1F平面ADD1A1时，才能满足对于任意给定的点E，存在点F，使得D1FCE，过D1点于平面DD1A1A垂直的直线只有一条D1C1，而D1C1AB，正确；当点E与B1重合时，CEAB，且CE，CE平面ABD1，对于任意给定的点F，都有D1F平面ABD1，对于任
13、意给定的点F，存在点E，使得CED1F，正确；只有CE垂直D1G在平面BCC1B1中的射影时，D1GCE，正确；只有CE平面A1CD1时，才正确，过C点的平面A1CD1的垂线与BB1无交点，错误故选C二、填空题：本题包括6小题，每小题6分，共36分9如图是古希腊数学家阿基米德墓碑上的图案，圆柱内有一个内切球，球的直径恰好等于圆柱的高，此时球与圆柱的体积之比为2：3【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；球的体积和表面积【分析】根据两图形的关系可得圆柱的底面半径与球的半径相等，设半径为r，计算出两几何体的体积，求出比值即可【解答】解：圆柱内切一个球，圆柱的底面半径与球的半径相等，不妨设为r，则圆柱的
14、高为2r，V圆柱=r22r=2r3，V球=球与圆柱的体积之比为2：3故答案为2：310双曲线=1渐近线方程为y=x【考点】双曲线的简单性质【分析】在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得此双曲线的渐近线方程【解答】解：在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得=1的渐近线方程为=0，化简可得y=x故答案为：y=x11在三棱柱ABCA1B1C1中，若=， =， =，则=+（用向量，表示）6558764【考点】空间向量的加减法【分析】利用向量的三角形法则可得： =+，即可得出【解答】解： =+=+故答案为： +12如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，ABCD是边长为1的正方形，D1B与平面ABCD所
15、成的角为45，则棱AA1的长为，二面角BDD1C的大小为45【考点】二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算【分析】连结BD，BD1，CD1，由题意知D1BD=45，由此能求出棱AA1的长；由已知条件推导出BDC是二面角BDD1C的平面角，由此能求出二面角BDD1C的大小【解答】解：如图，连结BD，BD1，CD1，长方体ABCDA1B1C1D1中，ABCD是边长为1的正方形，D1B与平面ABCD所成的角为45，D1BD=45，；CDDD1，BDDD1，BDC是二面角BDD1C的平面角，DC=BC，BCD=90，BDC=45，二面角BDD1C的大小为 45故答案为：，4513已知命题p：xR
16、，x2+ax+10，写出p：xR，x2+ax+10；若命题p是假命题，则实数a的取值范围是a2或a2【考点】命题的否定【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果，然后利用假命题列出不等式求解即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：xR，x2+ax+10，p：xR，x2+ax+10命题p是假命题，可知=a240，解得a2或a2故答案为：xR，x2+ax+10；a2或a214在平面直角坐标系中，动点P到x轴的距离的平方恰比点P的横纵坐标的乘积小1记动点P的轨迹为C，下列对于曲线C的描述正确的是曲线C关于原点对称；曲线C关于直线y=x对称；当变量|y|逐渐增大时，曲线C无限接近
17、直线y=x；当变量|y|逐渐减小时，曲线C与x轴无限接近【考点】轨迹方程【分析】设P（x，y），由题意可得：y2=xy1，可得曲线C把（x，y）代入曲线C得到y2=xy1，曲线方程不变，即可得出对称性；把点（y，x）代入曲线C：得到曲线x2=xy1，即可判断出曲线C关于直线y=x不对称；把曲线C的方程变为：，当变量|y|逐渐增大时，0，1，可得曲线C无限接近直线y=x；曲线C的方程变为x=y+，当变量|y|逐渐减小时，x，可得曲线C与x轴无限接近【解答】解：设P（x，y），由题意可得：y2=xy1，可得曲线C把（x，y）代入曲线C得到y2=xy1，曲线方程不变，因此曲线C关于原点对称，正确；把
18、点（y，x）代入曲线C：得到曲线x2=xy1，可得曲线C关于直线y=x不对称，不正确；把曲线C的方程变为：，当变量|y|逐渐增大时，0，1，因此曲线C无限接近直线y=x，正确；曲线C的方程变为x=y+，当变量|y|逐渐减小时，x，因此曲线C与x轴无限接近，正确综上可得：对于曲线C的描述正确的是故答案为：三、解答题：本题包括5大题，共74分15已知圆M的圆心在直线x2y+4=0上，且与x轴交于两点A（5，0），B（1，0）（）求圆M的方程；（）求过点C（1，2）的圆M的切线方程【考点】圆的切线方程【分析】（I）根据圆的性质，可得圆心M为AB垂直平分线与直线x2y+4=0的交点因此联解两直线的方程
19、，得到圆心M的坐标，由两点的距离公式算出半径r=，即可得到圆M的方程；（II）由于点C是圆M上的点，所以过点C的圆M的切线与CM垂直因此利用直线的斜率公式算出CM的斜率，从而得到切线的斜率k=3，根据直线方程的点斜式列式，化简即得所求切线的方程【解答】解：（）圆M与x轴交于两点A（5，0）、B（1，0），圆心在AB的垂直平分线上，即C在直线x=2上由，解得，即圆心M的坐标为（2，1）半径，因此，圆M的方程为（x+2）2+（y1）2=10（）点C（1，2）满足（1+2）2+（21）2=10，点C在圆M上，可得经过点C与圆M相切的直线与CM垂直CM的斜率kCM=，过点C的切线斜率为k=3，由此可得
20、过点C的圆M的切线方程为y2=3（x1），化简得3x+y5=016在斜三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ACC1A1平面ABC，ACB=90，D为BC中点（）求证：BCAA1；（）求证：A1C平面AB1D；（）若AC=AA1=BC=2，A1AC=60，求三棱锥A1ABC的体积6558764【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定【分析】（）因为ACB=90，推断出 ACBC，同时侧面ACC1A1平面ABC，平面ACC1A1平面ABC=AC，BC平面ABC，推断出BC平面ACC1A1，最后利用线面垂直的性质证明出 BCAA1（）设A1B与AB1的交点为O，连接OD
21、，在A1BC中，O，D分别为A1B，BC的中点，进而可知 ODA1C，进而利用线面平行的判定定理得出A1C平面AB1D（）由（）知，BC平面ACC1A1，进而可知三棱锥A1ABC的体积为SACA1BC求得SACA1=，则三棱锥A1ABC的体积可得【解答】（）证明：因为ACB=90，所以 ACBC，又侧面ACC1A1平面ABC，且平面ACC1A1平面ABC=AC，BC平面ABC，所以 BC平面ACC1A1，又AA1平面ACC1A1，所以 BCAA1（）证明：设A1B与AB1的交点为O，连接OD，在A1BC中，O，D分别为A1B，BC的中点，所以 ODA1C，又 OD平面AB1D，A1C平面AB1
22、D，所以 A1C平面AB1D（）解：由（）知，BC平面ACC1A1，所以三棱锥A1ABC的体积为SACA1BC又 AC=AA1=2，A1AC=60，所以 SACA1=22sin60=，所以 SACA1|BC|=2=三棱锥A1ABC的体积等于17如图所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱垂直于底面，DB=BC，DBAC，点M是棱BB1上的一点（1）若DB=BC=CD，求BD与平面CDD1C1所成角；（2）求证：MDAC；（3）是否存在点M，使得平面DMC1平面CC1D1D？若存在，试确定点M的位置，并给出证明；若不存在，说明理由【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定【分析】（
23、2）根据直四棱柱的几何特征，我们易得BB1面ABCD，即BB1AC，又由BDAC，线面垂直的判定定理，即可得到MDAC；（3）取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，连接OM由N是DC中点，BD=BC，根据等腰三角形“三线合一”可得BNDC，又由面ABCD面DCC1D1，结合面面垂直的性质，可得BN面DCC1D1，又由O是NN1的中点，可得四边形BMON是平行四边形，所以BNOM，则OM平面CC1D1D，由面面垂直的判定定理，即可得到平面DMC1平面CC1D1D【解答】（1）解：取CD的中点N，连接BN，则BNCD直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱垂直于底面，BN平面
24、CDD1C1，DBN是BD与平面CDD1C1所成角，DB=BC=CD，BD与平面CDD1C1所成角是30；（2）证明：因为BB1面ABCD，AC面ABCD，所以BB1AC又因为BDAC，且BDBB1=B，所以AC面BB1D而MD面BB1D，所以MDAC（3）当点M为棱BB1的中点时，平面DMC1平面CC1D1D取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，连接OM因为N是DC中点，BD=BC，所以BNDC；又因为DC是面ABCD与面DCC1D1的交线，而面ABCD面DCC1D1，所以BN面DCC1D1又可证得，O是NN1的中点，所以BMON且BM=ON，即BMON是平行四边形，所
25、以BNOM，所以OM平面CC1D1D，因为OM面DMC1，所以平面DMC1平面CC1D1D18在圆x2+y2=4上取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足（1）当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？（2）若直线y=x+与（1）问中的点M的轨迹相交于A、B两点，求|AB|【考点】轨迹方程【分析】（1）设出M点的坐标，由M为线段PD的中点得到P的坐标，把P的坐标代入圆x2+y2=4整理得线段PD的中点M的轨迹方程；（2）直线y=x+与+y2=1联立可得5x2+4x3=0，求出方程的解，再利用弦长公式进行计算即可【解答】解：（1）设M（x，y），由题意D（x，0），P（x，y1）M为
26、线段PD的中点，y1+0=2y，y1=2y又P（x，y1）在圆x2+y2=4上，x12+y12=4，x2+4y2=4，即+y2=1轨迹C为椭圆，且方程为+y2=1；（2）直线y=x+与+y2=1联立可得5x2+4x3=0，x=，|AB|=19以F1（1，0）和F2（1，0）为焦点的椭圆C过点A（1，）（）求椭圆C的方程；（）如图，过点A作椭圆C的两条倾斜角互补的动弦AE，AF，求直线EF的斜率；（）求OEF面积的最大值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（）由题意，根据椭圆的定义，求出a，利用c=1，求出b，由此能够求出椭圆方程（）设直线AE方程为：y=k（x1）+代入椭圆方程，求出E，F
27、的坐标，即可求直线EF的斜率；（）设直线EF的方程，代入椭圆方程，求出OEF面积，利用基本不等式求OEF面积的最大值【解答】解：（）由题意，2a=+=4，a=2，c=1，b2=3，椭圆方程为（）设直线AE方程为：y=k（x1）+，代入椭圆方程得（3+4k2）x2+4k（32k）x+（32k）212=0设E（xE，yE），F（xF，yF），A（1，）在椭圆上，xE=又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以k代k，可得xF=直线EF的斜率为k=即直线EF的斜率为定值，其值为（）设直线EF：x2y+c=0，E（x1，y1），F（x2，y2），直线EF：x2y+c=0代入椭圆方程可得16y212cy+3（c24）=0，由0可得4c4，|EF|=|y1y2|=，O到直线EF的距离d=，OEF面积为|EF|d=，当且仅当c=2时，OEF面积的最大值为2016年11月13日
