1、基础诊断考点突破基础诊断考点突破第1讲 绝对值不等式基础诊断考点突破最新考纲 1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|ab|a|b|(a，bR)；|ab|ac|cb|(a，bR)；2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xc|xb|a.基础诊断考点突破知 识 梳 理1绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a 的解集不等式a0a0a0|x|a(，a)(a，)(，0)(0，)R基础诊断考点突破(2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法|axb|c caxbc；|axb|c axbc 或 axbc；(
2、3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想基础诊断考点突破2含有绝对值的不等式的性质(1)如果 a，b 是实数，则|a|b|ab|a|b|，当且仅当ab0 时，等号成立(2)如果 a，b，c 是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0 时，等号成立基础诊断考点突破诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)(1)若|x|c的解集为R，则c0.()(2)不等式|x1|x2|2的解集为.()(3)
3、对|ab|a|b|当且仅当ab0时等号成立()(4)对|a|b|ab|当且仅当|a|b|时等号成立()(5)对|ab|a|b|当且仅当ab0时等号成立()答案(1)(2)(3)(4)(5)基础诊断考点突破2若函数 f(x)|x1|2xa|的最小值为 3，则实数 a 的值为()A5 或 8 B1 或 5C1 或4 D4 或 8解析 分类讨论：当 a2 时，f(x)3x1a，xa2，基础诊断考点突破显然，xa2时，f(x)mina21a3，a4，当 a2 时，f(x)3x1a，x1，显然 xa2时，f(x)mina21a3，a8.答案 D基础诊断考点突破3(2015山东卷)不等式|x1|x5|2
4、的解集为_解析 当 x1 时，原不等式可化为 1x(5x)2，42，不等式恒成立，x1.当 1x5 时，原不等式可化为 x1(5x)2，x4，1x4，当 x5 时，原不等式可化为 x1(x5)2，该不等式不成立综上，原不等式的解集为(，4)答案(，4)基础诊断考点突破4若不等式|kx4|2 的解集为x|1x3，则实数 k_.解析|kx4|2，2kx42，2kx6.不等式的解集为x|1x3，k2.答案 2基础诊断考点突破5若不等式|2x1|x2|a212a2 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围为_解析 设 y|2x1|x2|3x1，x2，x3，2x1 的解集基础诊断考点突破解(1)f
5、(x)x4，x1，3x2，132，yf(x)的图像如图所示基础诊断考点突破(2)由 f(x)的表达式及图像，当 f(x)1 时，可得 x1 或 x3；当 f(x)1 时，可得 x13或 x5，故 f(x)1 的解集为x|1x3；f(x)1 的解集为xx5.所以|f(x)|1 的解集为xx13或1x5.基础诊断考点突破考点二 含参数的绝对值不等式问题【例 2】(1)对任意 x，yR，求|x1|x|y1|y1|的最小值；(2)对于实数 x，y，若|x1|1，|y2|1，求|x2y1|的最大值基础诊断考点突破解(1)x，yR，|x1|x|(x1)x|1，|y1|y1|(y1)(y1)|2，|x1|x
6、|y1|y1|123.|x1|x|y1|y1|的最小值为 3.(2)|x2y1|(x1)2(y1)|x1|2(y2)2|12|y2|25，即|x2y1|的最大值为 5.基础诊断考点突破规律方法 求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用绝对值三角不等式，即|a|b|ab|a|b|；(3)利用零点分区间法基础诊断考点突破【训练 2】(1)若关于 x 的不等式|2 014x|2 015x|d 有解，求实数 d 的取值范围；(2)不等式x1x|a2|sin y 对一切非零实数 x，y 均成立，求实数 a 的取值范围基础诊断考点突破解(1)|2 014x|2 01
7、5x|2 014x2 015x|1，关于 x 的不等式|2 014x|2 015x|d 有解时，d1.(2)x1x(，22，)，x1x 2，)，其最小值为 2.又sin y 的最大值为 1，故不等式x1x|a2|sin y 恒成立时，有|a2|1，解得 a1,3.基础诊断考点突破考点三 含绝对值的不等式的应用【例 3】(2016全国卷)已知函数 f(x)|2xa|a.(1)当 a2 时，求不等式 f(x)6 的解集；(2)设函数 g(x)|2x1|.当 xR 时，f(x)g(x)3，求实数 a 的取值范围基础诊断考点突破解(1)当 a2 时，f(x)|2x2|2.解不等式|2x2|26 得1x
8、3.因此 f(x)6 的解集为x|1x3(2)当 xR 时，f(x)g(x)|2xa|a|12x|2xa12x|a|1a|a，当x12时等号成立，所以当 xR 时，f(x)g(x)3 等价于|1a|a3.当 a1 时，等价于 1aa3，无解当 a1 时，等价于 a1a3，解得 a2.所以实数 a 的取值范围是2，)基础诊断考点突破规律方法(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法基础诊断考点突破【训练 3】(2015全国卷)已知函数 f(x)|x1|2|xa|，a0.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)1 的解集
9、；(2)若 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求实数 a 的取值范围基础诊断考点突破解(1)当 a1 时，f(x)1 化为|x1|2|x1|10.当 x1 时，不等式化为 x40，无解；当1x0，解得23x0，解得 1x1 的解集为x23x2.基础诊断考点突破(2)由题设可得，f(x)x12a，xa.所以函数 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A2a13，0，B(2a1,0)，C(a，a1)，ABC 的面积为23(a1)2.由题设得23(a1)26，故 a2.所以实数 a 的取值范围为(2，)基础诊断考点突破思想方法1绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，数形结合法，构造函数法2不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决易错防范1可以利用绝对值三角不等式定理|a|b|ab|a|b|求函数最值，要注意其中等号成立的条件2掌握分类讨论的标准，做到不重不漏
