1、山东省济南市历下区德润高级中学2021届高三数学上学期期中试题（含解析）一、单项选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合，由此求得.【详解】，解得或，即，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查集合交集，考查一元二次不等式的解法.2. （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由，再利用诱导公式，即可得到答案.【详解】因为.故选：B.【点睛】本题考查诱导公式的应用，求解时注意符号问题，属于容易题.3. 已知，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D.
2、【答案】B【解析】【分析】与0和1比较大小后可得【详解】，故选：B【点睛】方法点睛：本题考查幂和对数的大小比较，解题方法是利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，但要求能化为同底数的幂或对数，如果不能化为同底数，则借助中间值如0，1等比较后可得4. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解出不等式根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可.【详解】由题解，解得：，解可得：；则不能推出成立，能推出成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和
3、必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题.5. 已知为等比数列，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】法一：由等比数列可求得，再由和求得.法二：由等比数列的性质，等比中项求得.【详解】法一：为等比数列，且，法二：为等比数列【点睛】本题考查等比数列求公比和其中一项的值，等比中项，属于简单题.6. 函数的大致图象为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由解析式先判断函数的奇偶性，再结合极限思想进行排除即可【详解】函数的定义域为，则函数是奇函数，图象关于原点对称，排除，当且，排除.故选：A.【点睛】本题主要函数图象的识别和判断，结合函数的奇偶性，对称性以及
4、极限思想，利用排除法是解决本题的关键，考查数形结合思想的应用.7. 为了得到函数的图像，只需把函数的图像A. 向左平移个长度单位B. 向右平移个长度单位C. 向左平移个长度单位D. 向右平移个长度单位【答案】B【解析】试题分析：记函数，则函数函数f（x）图象向右平移单位，可得函数的图象把函数的图象右平移单位，得到函数的图象,故选B.考点：函数y=Asin（x+）的图象变换8. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，若，则实数的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先判断函数的单调性，再把转化为自变量的关系，进而可解得的取值范围.【详解】当时，所以在上单调递减且.又是定
5、义在上的奇函数，所以在上单调递减.由，可得，则，所以，即，解得或.故选:A.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、单调性求解函数不等式.一般思路是先判断函数的单调性，再把函数不等式转化为自变量的关系.二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）A. B. C. D. 【答案】CD【解析】【分析】对每一个选项中的函数分别从是否满足,根据常见的初等函数的单调性判断在上是否单调递增，可得出选项.【详解】本题主要考查函数的单调性和函数的奇偶性.A项，对于函数，因为，所以函数不是偶函数。故A项不符合题意。B项，对于函数，因为当
6、时，当，所以函数在区间上不是单调递增的。故B项不符合题意.C项，对于函数，因为定义域为，所以函数为偶函数，因为函数，当时，而，函数在上单调递增，所以函数在区间上为增函数。故C项符合题意.D项，对于函数，因为函数，所以函数是偶函数。而在上单调递增，在上单调递增，所以函数在上单调递增。故D项符合题意.故选：CD.【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断，和一些常见的初等函数的单调性的判断，属于基础题.10. 在平面直角坐标系中，角顶点在原点，以正半轴为始边，终边经过点，则下列各式的值恒大于0的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AB【解析】【分析】根据角终边经过点，结合三角函数的定义可以判断角的正弦
7、、余弦、正切的正负性，对四个选项逐一判断即可选出正确答案.【详解】由题意知，.选项A；选项B，；选项C，；选项D，符号不确定.故选：AB.【点睛】本题考查了三角函数的定义，属于基础题.11. 关于函数有下列命题，其中正确的是（ ）A. 是以为最小正周期的周期函数B. 的表达式可改写为C. 的图象关于直线对称D. 的图象关于点对称【答案】BD【解析】【分析】根据周期公式求出周期，不正确；根据诱导公式可知正确；根据可知不正确；根据可知正确.【详解】对于，根据周期公式可得，故不正确；对于，故正确；对于，因为，故不正确；对于，因为，故正确.故选：BD.【点睛】本题考查了正弦型函数的周期、对称轴、对称中
8、心，考查了诱导公式，属于基础题.12. 已知定义在上的奇函数满足，且时，给出下列结论正确的是（ ）A. ；B. 若，则关于的方程在上所有根之和为4；C. 函数关于直线对称；D. 函数在上是减函数.【答案】ABD【解析】【分析】由已知得周期性，又由奇偶性及函数关系式得对称性，从而可判断各选项【详解】是奇函数，则，又满足，是周期函数，8是它的一个周期A由得，A正确；B时，在上单调递增，、的图象关于直线对称，则在上单调递减，又，点与点关于点对称，的图象关于成中心对称时，时，则关于的方程在上只有两个根，且关于2对称，B正确；C若函数又关于直线对称，由B知是其对称中心，则与题意不符，故C错误；D由B的推
9、导，在上单调递减，的图象关于成中心对称则在上递减，从而在上是减函数，是奇函数，在上是减函数D正确故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题考查函数的奇偶性、单调性、周期性与函数图象的关系，综合性较强，难度较大，属于中档题解题关键是利用函数关系式及周期性、奇偶性得出两个对称性，关于直线对称，关于点成中心对称三、填空题：本题共4小题.13. 已知且，则_.【答案】【解析】【分析】本题考查同角三角函数及其关系，借助公式，求解即可，求解时需要判定符号的正负.【详解】解：法一：由可得，代入解得，因为，所以，所以法二：由且可取终边上的一点坐标为，根据三角函数终边定义公式.故答案为：.【点睛】方法点睛：同角三角函
10、数基本关系3个应用技巧：（1）弦切互化利用公式实现角的弦切互化；（2）和(差)积转换利用进行变形、转化；（3）巧用“1”的变换.14. 函数，则_.【答案】【解析】【分析】根据分段函数解析式，结合对数运算，求得所求表达式的值.【详解】依题意.故答案为：【点睛】本小题主要考查分段函数求值，考查对数运算，属于基础题.15. 若存在实数，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】分类讨论，时，使得不等式成立，时结合二次函数的性质可得【详解】时，若，则不等式为，不等式成立，满足题意，时，在在使得不等式成立，则，综上，故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查不等式有解问题，可结合
11、二次函数性质求解，本题也可按二次项系数的正负分类：分，三类分别求解16. 已知定义域为的函数满足，其中为的导函数，则不等式的解集为_.【答案】【解析】【分析】引入函数，求导后利用已知条件得，即为增函数，计算，题设不等式又化为，由单调性可求解最后再由正弦函数性质得出结论【详解】设，则，单调递增，即为，故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查用导数解函数不等式，解题关键是引入新函数，利用导数确定单调性，不等式转化为的不等式，从而求解解题时要善于观察，分析如何引入函数，引入什么样的函数四、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 记为等差数列的前项和，已知， （1）求的通
12、项公式； （2）求，并求的最小值【答案】（1）an=2n9，（2）Sn=n28n，最小值为16【解析】分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.详解：（1）设an的公差为d，由题意得3a1+3d=15由a1=7得d=2所以an的通项公式为an=2n9（2）由（1）得Sn=n28n=（n4）216所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值16点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.18. 在，这三个条件中任选一
13、个，补充在下面的问题中，并解决该问题.已知的内角，的对边分别为，_，求的面积.注：如果选择多个条件分别解答.【答案】答案见解析.【解析】【分析】若选利用余弦定理，可得，再利用正弦定理可求得，进而可求得，再利用面积公式求解即可若选利用正弦定理将边化角，可得，即可得到三角形为等边三角形若选利用辅助角公式可得，再利用正弦定理可求得，进而可求得，再利用面积公式求解即可【详解】解：选.由余弦定理，因为，所以由正弦定理得，所以因为，所以，所以所以.选，由正弦定理得，因，所以，所以，因为，所以，因为，所以，所以选，则，所以，因为，所以，所以，所以由正弦定理得，所以因为，所以，所以所以【点睛】解三角形的基本策
14、略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.19. 设函数的图象关于直线对称，其中为常数，且(1)求函数的解析式；(2)若，求的值【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）利用降幂公式、辅助角公式得，再根据图象的对称轴求得的值，进而得到函数的解析式；（2）根据得到关于的方程，再解三角方程得到的值.【详解】（1）.图象关于直线对称，.又，令时，符合要求，.（2）即，当时，；当时，；或【点睛】本题考查三角恒等变换
15、、三角函数图象性质、已知三角函数值求角，考查基本运算求解能力，注意在解题过程中关注和角的范围.20. 已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在处有极小值，求函数在区间上的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1）利用导数的几何意义求切线的斜率，再利用点斜式方程即可求出切线方程。(2）根据极小值点求出的值，根据导数值的正负判断函数的单调性，即可求出最大值【详解】（1）当时， ，所以，所以切线方程为，整理得.（2），因为函数在处有极小值，所以，解得，所以，令，解得或，当或时，单调递增，当时，单调递减，所以在区间，单调递增，在上单调递减，所以，因为，所以的最大值为.【
16、点睛】本题主要考查导数的概念及其几何意义，导数在研究函数中的应用.21. 某市近郊有一块大约的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为平方米（1）分别用表示和的函数关系式，并给出定义域；（2）怎样设计能使取得最大值，并求出最大值【答案】（1），其定义域是（2）设计，时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米【解析】【分析】（1）总面积为，且，则，（其中，从而运动场占地面积为，代入整理即得
17、；（2）由（1）知，占地面积，由基本不等式可得函数的最大值，以及对应的的值【详解】解：（1）由已知，其定义域是，其定义域是（2），当且仅当，即时，上述不等式等号成立，此时，答：设计，时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米【点睛】本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查应用基本不等式求函数最值，构建函数关系式是关键，属于中档题22. 已知函数.（1）当时，设函数的最小值为，证明：；（2）若函数有两个极值点，证明：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）对函数求导，根据导数的方法判定其单调性，得出，令，用导函数的方法求其最大值，即可得出结论成立；（2）对函数求导，根据导数的方法判定其单调性，得到，推出，令，对其求导，根据导数的方法求出最小，即可得出结论成立.【详解】证明：（1）由得，令，解得，当时，即函数单调递增；当时，即函数单调递减；，所以，令，则，令，解得，当时，即函数单调递增；当时，即函数单调递减；，当时，；（2）由得，令，令，解得，当时，即单调递增；当时，即单调递减；，又函数有两个极值点，且，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，又，令，则令，在上单调递增，在上单调递增，即，.【点睛】本题主要考查由导数的方法证明不等式，熟记导数的方法判断函数单调性，求函数最值即可，属于常考题型.
